1、全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）(x+y)ln(1+yxdy=_，其中区域D由直线x+y=1与两)1计算D-x-y坐标轴所围成三角形区域.0解 令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1(x+y)ln(1+y)ulnu-ulnvD1dudv=dudv， -1D-x-yxdy=10-uudv=(10ulnu-uulnu-uu22udv-u-u-uulnvdv)du-u(ulnu-u)du=-udu （*）令t=-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1
2、-u)=t2(1-t)(1+t)，24(*)=-2(1-2t+t)dt=21023151624(1-2t+t)dt=2t-t+t=351502设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-解 令A=A=20f(x)dx-2, 则f(x)=_.20f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，220(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,2解得A=432。因此f(x)=3x-103。3曲面z=x22+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是_.x22解 因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=2+y-2在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0
3、,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与(2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0，即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0)处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z=2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。x+y-2平行平面4设函数y=y(x)由方程xe则dydx22f(y)y=eln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，=_.f(y)解 方程xee=eln29的两边对x求导
4、，得yf(y)f(y)y+xf(y)ye=eyln29因eyln29=xedydx22f(y)，故1x+f(y)y=y，即y=1x(1-f(y)，因此=y=-1x(1-f(y)+f(y)yx1-f(y)=f(y)23x1-f(y)-1x(1-f(y)=f(y)-1-f(y)23x1-f(y)nxe不会：二、（5分）求极限lim(x0e+ex2x+ +en)x，其中n是给定的正整数.解法1 因lim(x0e+ex2x+ +ennxe)x=lim(1+x0e+ex2x+ +ennx-ne)x故A=lim=elime+ee+exx2x+ +en+ +enxxnx-nex-nx02xnxx0=elim
5、e+2e2x+ +nennxx0=e1+2+ +nn=n+12e因此lim(x0e+ex2x+ +ennxen+1)x=eA=ee解法2 因limln(x0e+ex2x+ +enxnxe)x=elimln(e+enxx2x+ +e)-lnnxnxx0=elime+2ee+ex2x2x+ +ne+ +eex0nx=e1+2+ +nn=n+12e故lim(x0e+ex2x+ +ennxn+1)x=eA=ee三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)=g(x)并讨论g(x)在x=0处的连续性.10f(xt)dt，且limf(x)xx0=A，A为常数，求解 由lim因g(x)=f(x)x10x0=A和
6、函数f(x)连续知，f(0)=limf(x)=limxlimx0x0f(x)xx0=0f(xt)dt，故g(0)=1x10f(0)dt=f(0)=0，因此，当x0时，g(x)=x0f(u)du，故limg(x)=limx0x0f(u)dux=limx0f(x)1x0=f(0)=0当x0时，g(x)=-1x2x0f(u)du+f(x)x， f(t)dtx=lim=limx0x01g(0)=limg(x)-g(0)x1x2x0x0=limxx0x0f(t)dtx2=lim1x2f(x)2xx0x0=A2A2=A2limg(x)=lim-x0x0f(u)du+f(x)xf(x)xx0-limx0f(
7、u)du=A-这表明g(x)在x=0处连续.四、（15分）已知平面区域D=(x,y)|0x,0y，L为D的正向边界，试证：（1）xeLsinydy-ye-sinxdx=xeL-sinydy-yesinxdx；（2）xeLsinydy-ye-sinydx52.2证 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1）xeLsinydy-ye-sinxdx=Dsiny-sinx(xe)-(-ye)dxdy yx=D(esiny+e-sinx)dxdyLxe-sinydy-yesinxdx=D-sinysinx(xe)-(-ye)dxdy xy=D(e-siny+esinx)dxdy而D关于x和
8、y是对称的，即知D(esiny+e-sinx)dxdy=D(e-siny+esinx)dxdy因此Lxesinydy-ye-sinxdx=xeL-sinydy-yesinxdx（2）因e+et-t=2(1+t22!+t4!+ )2(1+t)2故esinx+e-sinx2+sin2x=2+1-cos2x2=5-cos2x2由xeLsinydy-ye-sinydx=(eDsiny+e-sinx)dxdy=(eD-siny+esinx)dxdy知Lxe12sinydy-yesiny-sinydx=12D(e12siny+e-sinx)dxdy+sinx12D(e-siny+esinx)dxdy=D(
9、e+e-siny)dxdy+D(e-sinx+e)dxdy=522D(e-sinx+esinx)dxdy=(e-sinx+esinx)dx5-cos2x2dx=即Lxxesinydy-ye-sinydx-x522五、（10分）已知y1=xe+ex2x2x，y2=xe+e-xxx2x-x，y3=xe+e-e是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设y1=xe+e次微分方程y+by+cy=f(x)，y2=xe+exx2x-x，y3=xe+e-e是二阶常系数线性非齐的三个解，则y2-y1=e-x-e2x-x和y3-y1=e都是二阶常系数线性齐次微分方程y+by+cy=0的解，因
10、此y+by+cy=0的特征多项式是(-2)(+1)=0，而y+by+cy=0的特征多项式是+b+c=0-y1-2y1=f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y-y-2y=0，由y1=e+xe+2ey1xx2xxx2x2=2e+xe+4e，y1xx-(xe+e+2exx2x-y1-2y1=xe+2e+4e知，f(x)=y1=(1-2x)ex2x)-2(xe+ex2x)二阶常系数线性非齐次微分方程为xxy-y-2y=e-2xe六、（10分）设抛物线y=ax2+bx+2lnc过原点.当0x1时,y0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为的旋转体的体积最小.解 因抛物线y=ax2+b
11、x+2lnc过原点，故c=1，于是 1aba3b2=(ax+bx)dt=x+x=+ 032323012113.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成即b=23(1-a)而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V(a)=(ax12+bx)dt=a=15131322(ax12+23(1-a)x)dt1321xdt+13443a(1-a)xdt+492(1-a)21xdt2a+2a(1-a)+427(1-a)即V(a)=15a+2a(1-a)+427827(1-a)2令V(a)=25a+(1-2a)-(1-a)=0，得54a+45-90a-40+40a=0即4a+5=0因此a=-54,b=32
12、,c=1.(x)=un(x)+xn-1ex(n=1,2, ), 且un(1)=七、（15分）已知un(x)满足unen, 求函数项级数un(x)之和.n=1解(x)=un(x)+xunn-1e， x即y-y=xn-1xe由一阶线性非齐次微分方程公式知y=e(C+xxxnn-1dx) 即y=e(C+xn)因此un(x)=e(C+xx1nnn) )知，C=0， 由en=un(1)=e(C+于是un(x)=xennx下面求级数的和：令nnxS(x)=un=1(x)=n=1xen 则S(x)=(xn=1n-1e+xxennx)=S(x)+xn=1n-1e=S(x)+xex1-x即S(x)-S(x)=e
13、x1-x1 由一阶线性非齐次微分方程公式知 S(x)=e(C+x1-xx)n=1令x=0，得0=S(0)=C，因此级数un(x)的和S(x)=-eln(1-x)-x八、（10分）求x1时, 与xn等价的无穷大量.n=02tt解 令f(t)=x，则因当0x1，t(0,+)时，f(t)=2txlnx0，故 -tln2221xf(t)=xt2=e在(0,+)上严格单调减。因此+0f(t)dt=n=0n+1nf(t)dtn=0f(n)f(0)+n=1nn-1f(t)dt=1+0f(t)dt即又+0f(t)dtn=02f(n)1+0f(t)dt，n=0f(n)=n=0xn， 1limx1+0=lim=1
14、x1-11-xf(t)dt=ln1-+0xdt=t2+0e-tln21xdt=1ln1x+0e-t2dt=1ln1x2，所以，当x1时, 与xn等价的无穷大量是n=0-2121-x。2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）(150分钟)一、（25分，每小题5分）（1）设xn=(1+a)(1+a2) (1+a2),其中|a|0，求I=e-sxxdx(n=1,2, )。gg1。 +g(x,y)=f ，求22xyrn22（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r=（5）求直线l1:x-y=0z=0与直线l2:x-24n=y-1-2=z-3-1的距离。解：（1）xn=(1+a)(1+a2)
15、(1+a2)=xn=(1-a)(1+a)(1+a2) (1+a2)/(1-a) =(1-a2)(1+a2) (1+a2)/(1-a)= =(1-a2)/(1-a)limxn=lim(1-ann2n+1nnn+1)/(1-a)=1/(1-a)-x(2) limex-x11+ xx2=limexlne(1+1x)x2=limexxln(1+21x)-x令x=1/t,则(ln(1+t)-t)1/(1+t)-1原式=limet0t2-12(1+t)=limet02t=limet0=e-12In=（3）0e-sxxdx=(-)xdes0dx=nsIn-1=s2n1n-sx=(-)xesIn-2= =1n
16、-sx|-e0-sxdx=nns0e-sxxn-1n(n-1)n!snI0=n!sn+1（4）略（不难，难得写）（5二、（15分）设函数f(x)在(-,+)上具有二阶导数，并且f(x)0,limf(x)=0,limf(x)=0,且存在一点x0，使得f(x0)-1)所确定，其中(t)具有二阶三、（15分）设函数y=f(x)由参数方程y=(t)导数，曲线y=(t)与y=22t21e-u2du+32e在t=1出相切，求函数(t)。 t22解：（这儿少了一个条件32e2edydx= ）由y=(t)与y=1e-udu+32e在t=1出相切得 (1)=dydx2，(1)= =dy/dtdx/dt=(t)2
17、+2t dydx2=d(dy/dx)dx=d(dy/dx)/dtdx/dt=(t)(2+2t)-2(t)(2+2t)3=。上式可以得到一个微分方程，求解即可。n四、（15分）设an0,Sn=+ak=1k,证明：（1）当1时，级数n=1anSn收敛；+（2）当1且sn(n)时，级数n=1anSn发散。解：（1）an0, sn单调递增当an收敛时， n=1ansnans1，而ans1收敛，所以ansn收敛；当an发散时，n=1limsn= nansn=sn-sn-1sn=snsn-1dxsnsnsn-1dxx 所以，n=1ansna1s1+n=21-snsn-1dxx=a1s1+sns1dxx 而
18、sns1dxx=a1s1+limsn-s11-n1-=a1s1+s11-1=k，收敛于k。 所以，n=1ansn收敛。（2） limsn= nk1所以an发散，所以存在k1，使得ana1 n=1n=2k1k1于是，2ansnk12ansna2nsk112依此类推，可得存在1k1k2. ki+1使得kikNansn12成立 所以1ansnN12当n时，N 所以n=1ansn发散五、（15分）设l是过原点、方向为(,)，（其中+xa22222=1)的直线，均匀椭球 +yb22+zc221，其中（0cbbc当=1时，Imax=415abc(a+b)2222当=1时，Imin=415abc(b+c)六
19、、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线2xydx+(x)dyx+y42积分 c的值为常数。（1）设L为正向闭曲线(x-2)+y=1,证明 c222xydx+(x)dyx+y42=0;（2）求函数(x)；2xydx+(x)dyx+y42（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 c。解：（1） L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段L1，L2，再从A，B作一曲线L3，使之包围原点。则有L2xydx+(x)dyx+y42= L1+L32xydx+(x)dyx+y42-L2+L3- 2xydx+(x)dyx+y42（2） 令P=2xyx+yPy42
20、,Q=(x)x+y42 由（1）知Qx-=0，代入可得42352(x)(x+y)-(x)4x=2x-2xy 上式将两边看做y的多项式，整理得y(x)+(x)x-(x)4x=y(-2x)+2x 24325由此可得(x)=-2x435(x)x-(x)4x=2x 解得：(x)=-x2（3） 取L为x4+y2=4，方向为顺时针 Qx-Py=02xydx+(x)dy c2xydx+(x)dyx+y42= c+L2x+y42+ L-2xydx+(x)dyx+y42=1 4 2xydx-xL-dy=（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一计算下列各题（
21、本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。）1sinx1-cosx（1）.求lim ； x0x解：方法一（用两个重要极限）：1xsinx-xx(1-cosx)sinx-xsinx-xsinx1-cosxlim =lim 1+x0x0xxsinx-xsinx-xx013x2limcosx-1x032x2limlimx0-1=limex0x(1-cosx)=e=e=e32x2x2=e-方法二（取对数）：sinx1sinxln xlimx01-cosxlimx0sinx1-cosxlim =ex0xsinx-xlimx013x212-12=e1x2x-limx0=e=ecosx-1limx032x2=e32x2=e-111+.+（2）.求lim ； nn+nn+1n+2解：方法一（用欧拉公式）令xn=由欧拉公式得1+则1+12+ +1n+12+ +1n+11n1n+1+1n+2+.+1n+n-ln
