1、传染病传播及预防的数学模型传染病传播及预防的数学模型摘要：随着社会和经济的开展， 医学水平能力渐渐得到提高， 现今社会的医学水平 已经能够有效地预防和控制许多传染病， 但是仍然有一些传染病爆发或流行， 危 害人们的健康和生命。 人们也认识到定量地研究传染病的传播规律、 为预测和控 制传染病蔓延创造条件的重要性。 通过建立传染病的传播模型， 可以了解传染病 的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。传染病病毒是随时间演变的过程。本文以微分方程的SIR模型为根底，分析 传染病的扩散传播规律， 建立动态模型。 应用传染病动力学模型来描述疾病开展 变化的过程和传播规律， 预测疾病发生的状
2、态， 评估各种控制措施的效果， 为预 防控制疾病提供最优决策依据 , 维护人类健康与社会经济开展。通过人数的规 划，建立了传染病的微分方程模型，并用 matlab 软件拟合出患者人数随着时间 的变化的关系曲线， 利用控制变量的方法， 控制某些变量不变， 改变其中某个变 量，通过比拟找出导致传染病的传染的主要因素，以便做出相应的措施。本模型的关键在于把确诊患者、 疑似患者、 治愈者、死亡和正常人划分成可 传染者和不可传染者两类人，辅加一些特殊的参数，如：传染率，治愈率等等， 构成微分方程组， 找出单位时间内正常人人数的变化， 确诊患者人数的变化， 疑 似患者人数的变化，死亡者或治愈者即退出系统者
3、的人数的变化，从而建立 了微分方程模型。在模型建立的根底上，通过 matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线 关系图，分析图形，得出结果，从而找到解决问题的响应措施。关键词：动力学模型 微分方程模型 控制变量 matlab 软件一、问题重述某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为 di d2到，病患者的治愈时间为d3天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患 者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度 p (潜伏期内的患者被隔离的百分数)。通过合理的假设建立传染病传播的数学模型。二、问
4、题分析据题目意思，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，我们要分析、预 测、研究它就得建立动态模型，在此我们选用微分方程。因题目中把人群分为五 类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用 SIR模型。模型中我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程， 得出模型。再利用matlab画出图形，加以分析，到达得出应对措施的目的。把考察范围内的人群分为以下种类：1、 健康人群，即易感染(Susceptible人群。记其数量为S(t),表示t时刻未感 染病但有可能感染该疾病的人数；2、 潜伏期人群，即被感染(Infection)该疾病的人群，记其数量为 I(t)表示t 时刻可能
5、感染该疾病的但又不是疑似病患的人数；3、 疑似病患，记其数量为E(t)表示示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数；4、 确诊病患，记其数量为Q(t)表示示t感染该疾病并确诊为患者的人数；5、 恢复人群(Recovered，记其数量为R(t)，表示t时刻已从感染病者中移出的 人数(这局部人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不 会再次被感染，他们已经推出了传染系统)。基于以上的假设，健康人群 从潜伏期到移出传染 系统的过程图如下：三、模型假设1假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比 ；2假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比 ；3假设考察地区内疾病传
6、播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素 对总人数的影响。即：总人口数不变，记为N。4假设潜伏期人群不会传染健康人，不具有传染性。5假设被隔离的患者无法跟别人接触，不会传染健康人。6假设治愈者已对该病毒有免疫力，不会再被该传染病传染，可以退出系统7假设初始时刻健康人群的总人数为 So 千万，潜伏期的总人数为1。=1，疑似病患的总人数为Eo =0,确诊病患的总人数为 Qo =0,恢复人群的总人数为R0 =0。四、符号说明病毒潜伏期(天) d1 d2病患者治愈时间(天) d3病患人均每天接触人数 r隔离措施强度 p时刻t内健康人群 S(t)时刻t内潜伏期人群 l(t)时刻t内病症疑似人群 E
7、(t)时刻t内已患病人群 Q(t)时刻t内治愈或死亡人群 R(t)传染病传染率 五、建立模型由模型的假设得到如下关系：S(t)+l(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N1) 根据假设在时刻氏内健康人群变化有:S(t ：t) S(t) Q(t)(1 - p)S(t) ：t1 12) 在时刻氏内治愈或死亡人群的变化有：R(t At)-R(t) I (t) t ( 为单d3 d3位时间内患者的恢复率)3) 在时刻 t内病症疑似人群的变化有：1E(t p - E(t)二 - Q(t)(1 - p) E(t)(1 - p) E(t)p L td34) 在时刻氏内已患病人群的变化有(已患病人群等于潜伏期
8、病人转为感染者减2 1去移除人数)：Q(t =t)-Q(t) - l(t)- Q(t)dj +d2 d35)在时刻氏内潜伏群期人群的变化有1 2I(t E)Q(t)(1-p)S(t)Egp) E乜-卡1(心根据以上变化有翠- gti pst卩訓jdHQ(t)(1p)S+E(t)(1p)+E(t)p汁启1(t)六、模型的求解与验证模型一分析：当d! =1,d2 = 14, d3 = 30,r = 20, p = 60%，患者2天后入院治疗，疑似患者2 天后被隔离。有初始状态的患者人数 为：Q =Q0*N 一0一0*2，那么患N者人数随时间变化如图一：由上图可以得到：在当d, =1,d2 =14,
9、d3 =30,r =20, p=60%，患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离的条件下。当时，患者的人数是 急剧上升的，在到达最大值，此时患者人数为 在采取 医疗措施，比方患者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现 下降的趋势，在250天后患者人数为模型二分析：当d1 =1,d2 =14,d3 =30,r =20,60%，患者天后入院治疗，疑似患者天后被隔离。有初始状态的患者人数为：Q二Q(0)*(NQ_E(0)，N那么患者人数随时间变化如下列图二:由上图可得：在当d“ =1,d2 4,d3 =30,r =20,p =60%，患者天后入院治疗，疑似患者天后被隔离的条件下。当时，
10、患者的人数是急 剧上升的，在到达最大值，此时患者人数为在采取医疗 措施，比方患者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降 的趋势，在250天后患者人数为8。模型三分析：当d1 =1,d2 =14,d3 =30,r =20,p=40%，患者2天后入院治疗，疑似患者 2天后被隔离。有初始状态的患者人数为：_Q0*QN E0*r*2，那么患 者人数随时间变化如下列图三：由上图可得：在当di =1,d2 =14,d3 =30,r =20,p =40%，患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离的条件下。当1时，患者的人数是急剧上 升的，在到达最大值，此时患者人数为在采取医疗措施， 比方患
11、者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋 势，在250天后患者人数。表1各个参数对应的数值问题最大值 时间患病人数 最大值隔离措 施强度P患者入院 刖天数n人均每天接 触人数r250天后患病 人数第二 问220第三 问20第四 问220从上表可以看出，1.当隔离强度一样的时，患者入院的开始时间将在一定时间内影响到患病人数。明显可以看出，患者 2天后入院与天后入院相比，患 者的治疗时间延长了，而且患病的人数也增多。因此相关部门应及时将病人隔离 并治疗。2.当患者入院开始时间一样时，隔离措施强度将影响到患病人数到达最 大时的时间长短。可以看出，隔离措施强度降低后，患者人数相对
12、偏高。因此相 关部门应该加强隔离措施强度，提高警惕。从上述两个参数取值变化分析可知，“得病后入院时间与“隔离措施强度对于传染病疫情态势开展，具有很大的敏感性与相关性，其中得病后的患者几时去医院治疗，对于疫情的控制具有更重 要的意义。所以，“早发现、早隔离、早治疗，能够帮助我们有效地、较快地控 制传染病的扩散与传播。当患者入院开始时间一样，隔离强度不一样时，患者人数随时间的变化如六模型分析与评估 本模型中采用微分方程的模型，对传染病传播做出合理假设，并对其得过 拟合，得出传染病的开展趋势， 可以有效预报传染病高潮到来的时刻， 对群众接 受传染病的预防知识起到很好的警示作用。 但模型中的参数都具有
13、随机性， 所以 得出的结果还是会有误差的存在， 不能准确预报每次传染病高潮的到来的准确时 间，只能限定在一定时间内。本模型建立的传染病模型因能有效地预报传染病高潮到来的时刻，所以在 现实生活中可以得到进一步的应用， 特别是对现今社会中的传染病的爆发跟流行 有很好的控制作用。七、模型应用根据以上建立的模型可以得到： 病毒传播控制的建议和措施： 根据以上建模的结果分析，我们明确了要制止传染病的蔓延主要手段有： 提高医院的医疗水平和卫生水平， 加强医疗工作人员的效率， 这样可以提高隔离 强度，减少入院时间。对此，政府需要积极采取措施来控制传染病的传播，及早 发现被传染的人员，将其隔离，切断传染病传播
14、的途径。可以采取的措施有：1.控制传染源 防止传染源到处活动排出病原体传播他人，应该将他们隔离看护，直到完 全康复。2.切断传播途径加强公共场所的管理(如公共厕所，商场，娱乐场所等) ； 建筑物通风条件的改善 ;3.保护易感人群 加强易感人群的个人卫生意识，号召他们接种疫苗，防止传染病的感染， 提高自身的免疫力。八、参考文献【 1】数学建模简明教程 戴朝寿 孙世良 编著【 2】数学建模方法及其应用 解放军信息工程大学 韩中庚九、附录模型一：图一：MATLAB勺.m文件function x=illness(t,x)%S=x(1)I=x(2)Q=x(3)R=x(4)E=x(5);a1=0.1429
15、;p=0.6;d3=30;d2=14;d1=1; x=-a1*x(3)*(1-p)*x(1),a1*x(3)*(1-p)*(x(1)+x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)-2/(d1+d2)*x( 2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),-a1*x(3)*(1-p)*(x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)JMATLAB源代码：s0=900*(0.9997*20)A2,500,900,0,2000t,x=ode23s(illness,0,250,s0);y_max,i_max=max(x(:,3) t_text=t=,num2str(t(i
16、_max);y_text=y=,num2str(y_max); max_text=char(maximum,t_text,y_text);% 生成标志最大值点的字符串 y=num2str(x(end,3)plot(t,x(:,3);hold onplot(t(i_max),y_max,r,MarkerSize,20); text(t(i_max)+0.3,y_max+0.05,max_text);xlabel(t),ylabel(y),hold off模型二：图二：function x=ill3(t,x)%S=x(1)I=x(2)Q=x(3)R=x(4)E=x(5);a1=0.1429;p=0
17、.6;d3=30;d2=14;d1=1;x=-a1*x(3)*(1-p)*x(1),a1*x(3)*(1-p)*(x(1)+x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)-2/(d1+d2)*x( 2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),-a1*x(3)*(1-p)*(x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)JMATLAB源 程序：s0=900*(0.9997*20)X.5,500,900,0,2000t3,x3=ode23s(ill3,0,250,s0);y_max3,i_max3=max(x3(:,3) t_text3=t=,num2str(t3(
18、i_max3);y_text3=y=,num2str(y_max3); t_end3=t=,num2str(t3(end);y_end3=y=,num2str(x3(end,3);max_text3=char(maximum,t_text3,y_text3);% 生成标志最大值点的字符串 y3=num2str(x3(end,3)plot(t3,x3(:,3);hold onplot(t3(i_max3),y_max3,r,MarkerSize,20); text(t3(i_max3)+0.3,y_max3+0.05,max_text3);xlabel(t),ylabel(y),hold off
19、模型三：图三：MATLAB .m 文件function x=ill4(t,x) %S=x(1)I=x(2)Q=x(3)R=x(4)E=x(5);a1=0.1429;p=0.4;d3=30;d2=14;d1=1;x=-a1*x(3)*(1-p)*x(1),a1*x(3)*(1-p)*(x(1)+x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)-2/(d1+d2)*x( 2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),-a1*x(3)*(1-p)*(x(5)*(1-p)+x(5)*p*1/d3)JMATLAB源 程序：s0=900*(0.9997*20)A2,500,90
20、0,0,2000t4,x4=ode23s(ill4,0,250,s0);y_max4,i_max4=max(x4(:,3) t_text4=t=,num2str(t4(i_max4);y_text4=y=,num2str(y_max4);max_text4=char(maximum,t_text4,y_text4);% 生成标志最大值点的字符串y4=num2str(x4(end,3)plot(t4,x4(:,3);hold onplot(t4(i_max4),y_max4,r,MarkerSize,20);text(t4(i_max4)+0.3,y_max4+0.05,max_text4);x
21、label(t),ylabel(y),hold off图四：s0=900*(0.9997*20)A2,500,900,0,2000t,x=ode23s(illness,0,250,s0);t4,x4=ode23s(ill4,0,250,s0);plot(t,x(:,3),k+,t4,x4(:,3),g+);图五：s0=900*(0.9997*20)A2,500,900,0,2000t,x=ode23s(illness,0,250,s0);s3=900*(0.9997*20)X.5,500,900,0,2000t3,x3=ode23s(illness,0,250,s3);plot(t,x(:,3),k+,t3,x3(:,3),g+);
