1、线性方程组；算法中图分类号：T P 3 9 1 9文献标识码：AO 引言众所周知，在科技、医学、经济等各领域以及工程的实际应用中，很多问题的求解常常可以归结为线性方程组A x=B 的求解问题。如曲线拟合中常用的最d x-乘法，解非线性方程组，求解偏微分方程的差分法及有限元法，经济学中的投入产出问题等。因此线性方程组的求解问题是一个非常重要的实用性问题。求解线性方程组的最常用的方法主要有直接法和迭代法两大类，其中直接法中最常用的方法是高斯消元法。在没有舍入条件的情况下，直接法可以求得方程组的精确解，但该法计算繁琐，又受到计算机存储量等因素的限制，只能用于结束不太高的方程组，实用性不强。目前，人们
2、常采用迭代法中的共轭斜量法以及奇异值分解（S V D）法来求解线性方程组，并能得到比较满意的计算结果。但是，这两种方法都存在一定的局限性，其中共轭斜量法存在最佳迭代次数问题；而S V D 法对奇异值截断位置比较敏感，因而给应用带来很大不便B J。神经网络是由大量简单的、反映非线性本质特征的处理单元（神经元）广泛连接而成的复杂网络系统。具有高度的并行计算和分布式数据处理能力，可实时处理大量数据，因而在工程中得到广泛的应用。近年来，在神经网络理论研究取得较大进展的同时，有关神经网络的应用研究也极为活跃，并取得了一定的成果【3】。本文正是基于单层线性神经网络的结构，结合实系数线性方程组的特点，对网络
3、的权值和阈值进行训练，从而求得方程组的解。其特点是只要输入未知数的系数矩阵，就可以准确求出方程组的解，而且算法比较简单。大量实验结果表明：该方法对于求解线性方程组是非常有效的。1 线性神经网络的结构特点线性神经网络模型如图1 所示。输入多输入神经元广-，一L、l、，），产，（荟w 口矿8 j），一l。圈1 线性神经网络结构其输入向量P=p 一，P 2，n ，蛳表示与输入信号毋（=l，2，n）连接的权值，巩为阈值。净输入I t i=埘扔+佛J=1（1）设期望输出为T t，t 2，t。，神经网络的学习过程就是迭代的修改网络的权值，从而使网络的实际输出Y 与期望输出的误差为最小H J。线性神经网络的
4、神经元结构与感知器的神经元结构相似，差异仅在于传递函数的不同。线性神经网络的传递函数为只戈）=茗（2）线性神经网络的学习过程如下：（1）网络初始化；（2）任选一组学习模式提供给网络；（3）计算网络输出值：（3）（4）计算网络各输出单元的实际输出与目标向量之间的误差：d=屯一儿（4）（5）进行连接权值的修正：（+1）-W#（）+o t d f（5）收稿日期：2 0 0 9 1 2 1 6作者简介：曲婧（1 9 8 5-），女，山西太原人，鹰读研究生，主要研究方向是通信与信息系统，智能信息系统及神经网络理论应用。p+册彬。一=y万方数据1 0山西电子技术2 0 1 0 年A 鼹吲A，X 埘B 埘b
5、 A JL bI；l=IA 2 lA 2 22。l，=I 菇II，=lII 卜i；lliI L A。A，2L 茗。J。J成立。由此可见，若以系数矩阵A 的转置A 7 作为输入，未知数x 作为权矩阵w 以b。）（线性网络中为B）作为相应的期望输出，则可通过神经网络的学习求出线性方程组的解。3 程序步骤说明（1）将系数矩阵的转置A。以及常数项矩阵B 分别作为网络的输入和期望输出。（2）利用函数n e w t i n d 设计一个线性层（它可以通过输入和输出来计算线性层的权值和阈值），并对其初始化。（3）对网络进行训练和仿真并计算均方误差。（4）输出网络权值，即方程组的解。4 结果分析利用本文方法，
6、对具有唯一解的线性方程组进行求解并计算误差，部分结果如表1。表l基于神经网络求懈线性方程组实验结果系数矩阵A常数矩阵B标准解实验解X均方误差M S E3，5，76 0l0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 94，3，11 933 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01-3 5 0 5 2 9 8 6 9 7 3 8 3 7 2 e 0 2 76，5，65 766 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 5 1，1 4 8，4 5 30 0 51 4 5 3 l1 4 5 3 l o o l 0 2 6I 4 9，0 9 3，一1 31 0 3一1 5 8 9 21 5 8 9 1 9 4
7、 8 6 4 47 7 9 2 8 9 3 9 2 9 0 4 3 3 0 2 e 0 2 72 6 8，3 0 4，一I 4 8一O 5 3一O 2 7 4 9一O 2 7 4 8 9 4 6 7 0 r 71，1 4，l 73 5 3 4 2 02 3O 6 6 6 6 6 6 6 6 6 71 2，I 5，I 85 6 9 1 2 0 03 乃0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 08 6 1 6 4 6 4 7 l4 1）9 4 0 3 8 e 一0 2 71 3。l 6。1 99 2 2 7 0l 60 1 6 6 6 6 6 6 6 6 71，3，5，7，91 3 2l0 9 9
8、 9 9 9 9 9 9 9 93，6，9，1 2，1 52 2 82 52 4 9 9 9 9 9 9 9 9 92。4，7，9，1 11 6 8 533 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 9 2 4 6 9 r 7 0 7 1 1 4 1 0 6 e 0 2 76，3，2，5，81 0 86 56 4 9 9 9 9 9 9 9 9 99，1。7，3。69 477 o o O O O o（）0 0 01，5，0，3，75 8l0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 96，3，4，0，02 422 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08，5，9，3，68 733 o 0 0 0
9、 0 0 0 0 0 l2 2 2 1 4 3 2 3 0 9 1 0 2 3 6 9 e 0 2 82，7，0，9，36 744 0 0 0（）o O 0 0 0 00。0。1。5。75 855 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 结论（1）根据神经网络的特点，输入矩阵包含元素的绝对值应大于1，所以对于小数和分数应先对方程进行等价变换再求解，所得结果较为理想。（2）利用本文方法对各种线性方程组进行求解，所得结果表明，利用此种方法可以达到较高的计算精度。参考文献 2【3 4 i t e ds i 印a l s J I E E ET r a n sA S S P，1 9 7 9，2 7（1
10、）：4 一1 2 王宏禹，林治铖信号处理中的不适定问题 J 信号处理1 9 8 5，1（3）：1 7 3 1 8 0 王伟人工神经网络原理入门与应用 M 北京：北京航空航天大学出版社，1 9 9 5 阎平凡，张长水人工神经网络与模拟进化计算 M 1 北京：清华大学出版社，2 0 0 5【1 C A D Z O WJA A nE x t r a p o l a t i o nP r e d u mf o rB a n d-t i m-AN o v e lM e t h o do fS o l u t i o nf o rL i n e a rE q u a t i o n ss y s t e
11、mB a s e do nN e u r a lN e t w o r kQ uJ i n g（I n s t i t u t eo f 驯C a p t u r i n g P r o c e s s i n gT e c h n o l o g y，N o r t hU n i v e r s 如yo f C h i n a，T a i y n a n5 h a a x i0 3 0 0 5 1，C h i n a）A b s t r a c t：I ns c i e n t i f i cc o m p u t i n ga n de n g i n e e r i n ga p p l
12、 i c a t i o n，m a n yi s s u e sw i l le v e n t u a l l yt r a n s f o r m e di n t ot h ep r o b l e mo fl i n e a re q u a t i o n s T h e r e f o r e，t h eq u e s t i o no fl i n e a re q u a t i o n ss y s t e ms o l v i n gb e c o m e sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n t I nt h i sp a p
13、e r，i tp r e s e n t san o v e lm e t h o db a s e do nl i n e a rn e u r a ln e t w o r kt os o l v el i n e a re q u a t i o n ss y s t e mw h i c hh a sau n i q u es o l u t i o n T h eq u e s t i o no fl i n e a re q u a t i o n ss y s t e ms o l v i n gi st r a n s f o r m e di n t ot h eq u e
14、s t i o no fs e e k i n gw e i g h t so fn e u r a ln e t w o r k T h em e t h o di sp r o v e dt ob er e l i a b l ea n de f f e c t i v et h a th a sb e e nu s e dt os o l v eal 哪en u m b e r0 fv a r i o u sf o r m so fl i n e a re q u a t i o n s K e yw o r d s：l i n e a rn e u r a ln e t w o r k
15、；l i n e a rs y s t e m0 fe q u a t i o n s；s t u d y i n ga l g o r i t h m万方数据一种基于神经网络求解线性方程组的新方法一种基于神经网络求解线性方程组的新方法作者：曲婧作者单位：中北大学电子测试技术国家重点实验室,山西,太原,030051刊名：山西电子技术英文刊名：SHANXI ELECTRONIC TECHNOLOGY年，卷（期）：2010（2）参考文献（4条）参考文献（4条）1.阎平凡;张长水 人工神经网络与模拟进化计算 20052.王伟 人工神经网络原理-入门与应用 19953.王宏禹;林治铖 信号处理中的不适
16、定问题 1985（03）4.CADZOW J A An Extrapolation Procedure for Band-limited Signals 1979（01）本文读者也读过（9条）本文读者也读过（9条）1.李海滨.尚凡华.LI Hai-bin.SHANG Fan-hua 基于神经网络的病态线性方程组求解期刊论文-辽宁工程技术大学学报2007,26（6）2.曲婧.Qu Jing 基于神经网络的高速飞行体定位技术研究期刊论文-电子测试2010（2）3.陈泽安.Chen Zean 线性方程组求解的新方法期刊论文-长沙通信职业技术学院学报2002,1（2）4.段淑娟.夏宪伟 线性方程组的线
17、性无关解的教学研究期刊论文-当代教育理论与实践2010,02（6）5.王立志.WANG Li-zhi 广义行列式在线性方程组求解中的应用期刊论文-太原科技大学学报2008,29（1）6.张云.周华民.崔树标.李德群.ZHANG Yun.ZHOU Hua-min.CUI Shu-biao.LI De-qun 一种求解线性方程组的SOR并行算法期刊论文-计算机工程与科学2010（10）7.郎建华.姚金杰.韩焱.Lang Jianhua.Yao Jinjie.Han Yan 基于多目标检测系统的盲多用户检测算法的改进期刊论文-电子测试2010（5）8.李永红.程耀瑜.刘哲 自动调整图像质量的焊管检测系统改进设计期刊论文-中国科技信息2008（22）9.胡颖.王峰.张立毅.刘哲.Hu Ying.Wang Feng.Zhang LiYi.Liu Zhe 基于模糊控制器的变步长盲均衡算法期刊论文-太原科技2007（1）本文链接：http:/
