1、概率公式大全第一章随机事件和概率(1)排列组 合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。(2)加法和 乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来元成，则这件事可由 m+n种方法来元成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) ：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由 n种方法来元成，则这件事可由 mxn种方法来元成。(3) 一些常 见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试 验和随机事 件如果一个试
2、验在相同条件下可以重复进行， 而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事 件、样本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下 性质：1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A , B ,C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，？为
3、不可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必 然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算1关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，(A发生必有事件 B发生)： 如果冋时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B: A-B。A、B中至少有一个发生的事件： A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B，也可表示 为A-AB或者，匕表示A发生而B不发生的事件。A、B冋时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能冋时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件
4、是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。 互斥未必对立。2运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (BU C) (A U B) n C=(AC)U (BC)德摩根率： ，(7)概率的 公理化定义设为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0 0，则称为事件A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 P( /A)=1 -P(B/A)(13
5、)乘法公 式乘法公式：更一般地，对事件 A1 , A2 ,An，若P(A1A2-An -1)0 ,则有。(14)独立性1两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到 与、与、与 也都相互独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。2多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，p(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件满足1
6、 两两互不相容， ，2 , 则有。(16 )贝叶斯设乞事件，及满足公式1 ,，两两互不相容， 01, 2,，,2 ,则,i=1 , 2,n。此公式即为贝叶斯公式。,(,，),通常叫先验概率。,(,，),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 因果”的概率规律，并作出了 由果朔因”的推断。我们作了次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生； 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；(17)伯努利u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验 发生与否是互不影概型响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则发生的概率为，用 表示 重伯努
7、利试验中 出现次的概率，, 。第二章随机变量及其分布(1)离散型 随机变量的 分布律设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件：X=Xk)的概率为p(X=xk)=pk , k=1,2,则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：显然分布律应满足下列条件：(1) , , (2)。(2)连续型 随机变量的 分布密度设是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数，有则称为连续型随机变量。 称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4个性质：1 。2 。(3)离散与 连续型随机 变量的关系积分元在连续型随机变量理
8、论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函 数设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(x内 的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2是单调不减的函数，即 时，有；3 ,；4。，即卩是右连续的；-5 。对于离散型随机变量， ； 对于连续型随机变量， 。(5)八大分 布0-1分布P(X=1)=p, P(X=O)=q二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为 。当时，
9、这就是(0-1)分布，所以(0-1 )分布是二项分布 的特例。泊松分布设随机变量的分布律为? ? ?则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为 或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=X, nis)。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布，其中 p0 q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量 的值只洛在a,b内，其密度函数 在a,b上为常数，即a x b其他，则称随机变量 在a, b上服从均匀分布，记为 XU(a , b)。 分布函数为a x b0, xb。当a x1x2w时，X洛在区间()内的概率为。
10、指数分布50, ,其中，则称随机变量 X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为x0。记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为其中、为常数，则称随机变量 服从参数为、的正态分布或咼斯(Gauss)分布，记为 。具有如下性质：1的图形是关于对称的；2当时，为最大值； 若，贝U的分布函数为O。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为分布函数为O是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Qx) = 1-(x且 (0)=。如果，贝U O。(6)分位数下分位表：； 上分位表： 。(7)函数分 布离散型已知的分布列为的分布列( 互不相等)如下：若有某些 相等，则应将对应的 相加作
11、为 的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X) 0(i,j=1,2, );(2)连续型对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一 个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cy 0;(2)(2)二维随 机变量的本 质(3)联合分布函数设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域， 以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：(1)(2)F( x,y)分别对x和y是非
12、减的，即当 x2x1 时，有 F (x2,y) F(x1,y)当 y2y1 时，有 F(x,y2) F(x,y1);(3)F (x,y)分别对x和y是右连续的，即(4)(4)对于(4)离散型 与连续型的 关系(5)边缘分离暫散型X的边缘分布为布;Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分 布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为;在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY
13、(y) 直接判断，充要条件：1可分离变量2正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1；Xn 相互独立， h,g为连续函 数，则：h (X1 , X2,Xm) 和 g ( Xm+1,Xn )相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h (X )和g ( Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(8)二维均 匀分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称(X，丫 )服从D上的均匀分布，记为(X，丫 ) U (D )。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O 1 x图3.1yD211O 2 x图3.2yD3dcO a b x
14、图3.3(9)二维正 态分布设随机向量(X , Y)的分布密度函数为其中 是5个参数，则称(X , Y)服从二维正态分布，记为(X，Y )N (由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即XN (但是若XN ( , (X , Y)未必是二维正态分布。(10)函数 分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，fZ(z)=两个独立的正态分布的和仍为正态分布( )。n个相互独立的正态分布的线性组合， 仍服从正态分布。Z=max,mi n(X1,X2, Xr若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,mi n(X1,X2, Xr的 分布函数为：分布设n个随机变量 相互独立
15、，且服从标准正态分布，可 以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W服从自由度为 n的分布，记为 W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数， 它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则:分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T t(n)。F分布设，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量 F服从第一个自由度为 n 1,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n 1, n2).第四章 随机变量的数字特征(1 )一 维随机 变量的 数字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其
16、分布律为 P( )= pk, k=1,2,n,(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密 度为f(x)，(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2 ,标准差矩1对于正整数k，称随机变量X的 k次幕的数学期望为 X的k阶原点 矩，记为vk,即v k=E(Xk)= , k=1,2,2对于正整数k，称随机变量X与 E (X)差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=，k=1,2,1对于正整数k，称随机变量X的k 次幕的数学期望为X的k阶原点矩， 记为vk,即v k=E(Xk)=k=1,2,.2对于正整数k，称随机变量X与E (X)差的k次幕的数学期望为
17、 X的k阶中心矩，记为，即k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X)=卩，方差D (X) =2,则对于任 意正数8,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。(2 )期(1)E(C)=C望的性(2)E(CX)=CE(X)质(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)(4)E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3 )方(1)D(C)=0 ； E(C)=C差的性(2)D(aX)=a2D(X) ； E(aX)=aE(X)质(3)D(aX+b)= a2D(X)；E(aX+b)=aE(
18、X)+b(4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X 土Y)=D(X)+D(Y) E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。(4 )常期望方差见分布0-1分布P的期望二项分布叩和方差泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2n分布0(n2)(5 )二 维随机期望变量的 数字特函数的期望征方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为，即与记号 相对应，X与Y的方差D(X )与D (Y )也可分别记为与。相关系数
19、对于随机变量 X与Y，如果D (X ) 0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作 (有时可简记为 )。II ，当11=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的：；2cov(X,Y)=0;3E(XY)=E(X)E(Y);4D(X+Y)=D(X)+D(Y);5D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为 X与Y的k+l阶混合 原点矩，记为 ;k+l阶混合中心矩记为：(6 )协 方差的 性质(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov
20、(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7 )独 立和不 相关(i)若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。(ii)若(X , Y )N (),则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1 )大数定律切比雪 夫大数 定律设随机变量 X1 , X2 ,相互独立，均具有有限方差，且被同 一常数C所界：D (Xi) C(i=1,2，)则对于任意的正数 s,有特殊情形：若X1 , X2 ,具有相同的数学期望 E ( XI )=卩, 则上式成为伯努利 大数定 律设卩是n次独立试验中事件 A发
21、生的次数，p是事件A在每次 试验中发生的概率，则对于任意的正数 s,有伯努利大数定律说明， 当试验次数n很大时，事件A发生的 频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1 , X2 ,，Xn ,是相互独立同分布的随机变量序列， 且E (Xn )=卩，则对于任意的正数 s有(2)中心极限定理列维一 林德伯 格定理设随机变量 X1 , X2 ,相互独立，服从同一分布，且具有相 同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普设随机变量为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对
22、于任意实 数x,有拉斯定理（3 ）二项定理若当，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4 ）泊松疋理若当，则其中k=0, 1, 2,，n,。 二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理统 计的基本概 念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单兀称为样品（或个体） 。样本我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相冋分布的随机变量，这样 的样本称为简单随机样本。在
23、泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设为总体的一个样本，称（）为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本万差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩其中，为二阶中心矩（2）正态总 体下的四大正态分布设 为来自正态总体的一个样本，则样本函数分布分布设 为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中t（n-1）表示自由度为 n-1的t分布。设 为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中表示自由度为r1-1的分布。F分布设 为来
24、自正态总体 样本，则样本函数的一个样本，而 为来自正态总体 的一个其中表示第 自由度为 ，第一自由度为 的F分布。(3)正态总 体下分布的 性质与独立。第七章参数估计(1)点估 计矩估计设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原 点矩 中也包含了未知参数 ，即。又设为总体X的n个样本值，其样 本的k阶原点矩为这样，我们按照 当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩 ”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的 m个未知参数 即为参数()的矩估计 量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。极大似然 估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中
25、为未知参数。又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相 应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。(2)估计 量的评选无偏性设为未知参数的估计量。若E ()=，则称为的无偏估计量。E ( ) =E (X), E ( S2) =D (X )标准有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若 ，则称有效。 :致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量(或相合估计量)。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩
