1、1. 离散傅里叶变换（DFT）要把傅里叶变换应用到数字图像处理中，就必须处理离散数据，离散傅里叶变换的提出使得这种数学方法能够和计算机技术联系起来。正变换：逆变换：幅度：相位角：功率谱：2. 快速傅里叶变换（FFT）离散傅里叶变换运算量巨大，计算时间长，其运算次数正比于N2，当N比较大的时候，运算时间更是迅速增长。而快速傅里叶变换的提出将使傅里叶变换的复杂度由N2下降到NlgN/lg2,当N很大时计算量可大大减少。快速傅里叶变换需要进行基2或者基4的蝶形运算，算法上面较离散傅里叶变换困难。3. 离散余弦变换（DCT）为FT的特殊形式，被展开的函数是实偶函数的傅氏变换，即只有余弦项。变换核固定，
2、利于硬件实现。具有可分离特性，一次二维变换可分解为两次一维变换。其中：四、 实验步骤：1. 1D离散信号FFT计算及频率分布曲线绘制（1） 打开计算机，进入matlab程序；（2） 画出程序设计流程图；（3） 在matlab中输入代码输入所需的1D连续信号x，并设置采样频率；（4） 对信号x进行离散化，并分别做128点和1024点的FFT变换；并将中心平移；（5） 在同一窗口作出全部采样频率fs围、频谱中心化后及去负频3种方式的幅值随频率变化的分布图；（6） 记录下图像，并对结果进行分析。2. 模型图像的 2D FFT 实验（1） 画出程序设计流程图；（2） 在matlab中输入代码生成两幅数
3、字图像；（3） 分别进行DFT变换，并做频谱中心化处理；（4） 在同一窗口作出生成的及DFT变换后的2D频谱图；（5） 记录下图像，并对结果进行分析。3. 任选图像的 2D FFT 实验（2） 在matlab中输入代码读取一幅大小合适的灰度图像；（3） 分别进行6464、128128、256256 FFT变换，并做频谱中心化处理；（4） 画出变换前的原始图像及其频谱的二维平面图；（5） 显示6464的3D FFT图像；（6） 记录图像，并对结果进行分析。五、 程序框图六、 程序源代码：clf;clc;clear all;fs=100;N1=128;N2=1024; % 采样频率和数据点数n1=
4、0:N1-1;n2=0:N2-1;t1=n1/fs;t2=n2/fs; % 时间序列x1=0.5*sin（30*pi*t1）+2*sin（80*pi*t1）; % 输入信号x2=0.5*sin（30*pi*t2）+2*sin（80*pi*t2）;y1=fft（x1,N1）;y2=fft（x2,N2）; % 对信号FFTmag1=abs（y1）;mag2=abs（y2）; % 求得FFT幅值y1=fftshift（y1）;y2=fftshift（y2）; % 频谱原点对称mag3=abs（y1）;mag4=abs（y2）; % 求取FFT振幅f1=n1*fs/N1;f2=n2*fs/N2; %
5、频率采样序列subplot（3,2,1）,plot（f1,mag1）; % 随频率变化的振幅xlabel（频率/Hz）;ylabel（振幅title（N=128,全部频率grid on;subplot（3,2,2）,plot（f2,mag2）;N=1024,全部频率f3=f1-f1（N1/2）;subplot（3,2,3）,plot（f3,mag3）;N=128，对称频谱f4=f2-f2（N2/2）;subplot（3,2,4）,plot（f4,mag4）;N=1024，对称频谱subplot（3,2,5）,plot（f1（1:N1/2）,mag1（1:N1/2）; % 绘制有效频谱N=128
6、，有效频率subplot（3,2,6）,plot（f2（1:N2/2）,mag2（1:N2/2）;N=1024，有效频率clf,clc,clear all;f1=zeros（50,50）;f2=zeros（50,50）;f1（11:40,11:40）=1;f2（21:30,21:30）=1;subplot（2,2,1）,imshow（f1）;subplot（2,2,2）,imshow（f2）;F1=fft2（double（f1）;F1=fftshift（F1）;F2=fft2（double（f2）;F2=fftshift（F2）;ref1=real（F1）,imf1=imag（F1）;A1=s
7、qrt（ref1.2+imf1.2）;F3=A1;ref2=real（F2）,imf2=imag（F2）;A2=sqrt（ref2.2+imf2.2）;F4=A2;subplot（2,2,3）,imshow（F3）;subplot（2,2,4）,imshow（F4）;f=imread（C:UsersCancer_5kaiDesktopbarbara.jpgf1=fft2（f,64,64）;f2=fftshift（f1）;A=double（real（f2）;B=double（imag（f2）;C=sqrt（A.2+B.2）;f64=（C/max（max（C）*255;f1=fft2（f,128,
8、128）;f128=（C/max（max（C）*255;f1=fft2（f,256,256）;f256=（C/max（max（C）*255;subplot（2,2,1）,imshow（f）;原始图像subplot（2,2,2）,imshow（f64）;6464的2D频谱图subplot（2,2,3）,imshow（f128）;128128的2D频谱图subplot（2,2,4）,imshow（f256）;256256的2D频谱图figurex,y=meshgrid（-31:32,-31:32）;surfl（x,y,f64）;64的3D频谱图）grid on七、 实验结果及分析：下图中，左侧为1
9、28点傅里叶变换的频谱图，右侧为1024点的傅里叶变换频谱图。可以看出右侧的傅里叶变换后频谱谱线宽度较窄，所得出的频率更为精准。上图上方为两幅原图，下方为其分别进过FFT后得到的频谱图。从图中可以看出。频谱分布满足平移的性质，所看到的图像为将频谱中心平移后的图像。对比左右两幅图像还可以看出满足尺度变换的性质。左面的图高灰度区域多，傅里叶变换后频谱谱线宽度较窄。右面的图高灰度区域相对上图少，傅里叶变换后谱线较宽。上图中，左上为原图，右上为64X64 FFT变换频谱图，左下为128X128 FFT变换频谱图，右下为256X256 FFT变换频谱图。从上图中可以看出不同采样率的FFT变换对频谱图照成
10、的影响。显然当采样率较高时，从右下图可以看出频谱精细度越高。当采样率较低时，从右上图可以看出频谱图较为模糊。从上图还可以得出，当图像较小时，较低的采样率将采不到样。得到的频谱图像为黑色。故在做FFT变换的时候，合理的根据图像大小选择采样率十分重要。下图为64X64 FFT变换的3D图像。八、思考题1. 分别阐述和解释什么叫信号的采样频率、奈奎斯特频率、采样时间及频率分辨率？答：采样频率：每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数；奈奎斯特频率：是离散信号系统采样频率的一半；采样时间：是采样之间的时间间隔，是采样频率的倒数；频率分辨率：是指将两个相邻谱峰分开的能力。2. 根据所学知识，简要叙述
11、离散傅立叶变换（DFT）在数字图像处理中的主要用途。傅里叶变换时数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建中。九、实验结论1. 对图像进行FFT变换后可以得到相应的频谱函数，并可以画出频谱图。2. 从频谱图的平移后的显示体现了FFT变换的平移特性和尺度特性。3. 通过设置FFT函数，可以控制FFT变换的采样率，得到不同图像。4. 可以将2D图像的FFT频谱图进行3D显示。以显示其灰度的空间信息。十、总结及心得体会1.了解了各种图像正交变换的作用和用途。2.通过实验了解和掌握了利用快速傅立叶变换FFT和正交余弦变换的对图像方法和原理。3.通过实验，深入理解了FFT变换和DCT变换的性质。4.熟悉和掌握了利用Matlab工具进行图像傅立叶变换及离散余弦变换的基本步骤，Matlab函数使用及具体变换处理流程。5. 掌握了对处理后的图像能根据需要进行必要的频谱分析和可视化显示。6. RGB图像需要灰度化处理。7. 对像素进行处理时，需要转换类型为双精度型；以免因数据类型问题造成计算精度误差。8. 对图像进行64X64FFT变换时由于采样率比较低，因此在选取图像时应注意图像大小，不能太小，否则将得不到显示结果。
