1、（1）差分法（difference method）,也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数, 最终化为代数方程求解；（2）有限元法（finite element method）；（3）把边值问題转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 2差分法 2.1 类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为（&2）（8.2.2）yXx）-q（x）y（x） = f（x a 0.用差分法解微分方程边值问题的过程是：（i）把求解区间40分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；（ii）构造逼近微分方程边值问题的差分格式.构造差分格式的方法有差分法，积分 插值法及变分
2、插值法；本节采用差分法构造差分格式；（iii）讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方程.现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题（8.2. 1）. （8. 2. 2）的差分方程.（i ）把区间I=a.bN等分，即得到区间I=a.b的一个网格剖分:a = x 畑 + X+i = h2fi, i = 1,2,N -1,Xv-2 -（2 + q）yN = hh 0这个方程组就称为逼近边值问题（8.2. 1）, （8. 2. 2）的差分方程组（system of differenceequations）或差分格式（difference scheme）,写成矩阵形式-（2+/1） 1
3、1 一 （2 + qjr） 11 -（2 + M ）1 ）?12心-a h工1 -（2 + 孤/ ） 1儿-2叽1 - （2+.Xv-1.hH 2. 8） 用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组（8. 2. 7）或（8.2.8）,其解，称为边值问题（8.2.1）, （8.2.2）的差分解（dif;ference solution）.由于 （& 2. 5）是用二阶中心差商代替方程（8. 2. 1）中的二阶微商得到的，所以也称式（8. 2. 7）为中 心差分格式（centered-difference scheme）.（iii ）讨论差分方程组（8. 2. 7）或（8.2.8）的解是否
4、收敛到边值问题（8.2.1）, （& 2. 2）的解，估计误差.对于差分方程组（8. 2. 7）,我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密， 或当TO时，差分解儿是否收敛到微分方程的解y（x-）.为此介绍下列极值原理：定理& 2.1 （极值原理）设儿,）,）$是给定的一组不全相等的数，设心5一；+1_4 q，i = l,2,N. （&2.9）（1）若心jnO, f = l,2,N ,则”：（）中非负的最大值只能是儿或（2）若心JSO,心1,2,N ,则牙二中非正的最小值只能是儿或证只证（1） /（y,）0的情形，而（2） /（；）0的情形可类似证明.全相等，所以总可以找到某个/0（1/
5、0o,这与假设矛盾，故M只能是儿或片证毕! 推论 差分方程组（8. 2. 7）或（8. 2. 8）的解存在且唯一.证明只要证明齐次方程组o= yN =0只有零解就可以了.由定理& 7. 1知，上述齐次方程组的解凡,的非负的最大值 和非正的最小值只能是儿或）而y0=0,=0,于是x=0, f = l,2,N.证毕！利用定理8. 2. 1还可以证明差分解的收敛性及误差估计.这里只绐出结果：定理8. 2.2设儿是差分方程组（& 2. 7）的解，而是边值问题（8. 2. 1）, （8.2.2） 的解y（x）在兀上的值，其中1=0,1,-,N.则有其中 M4 = max y（4）（x）.4 ab -显然
6、当/?T0时， = y（兀）”t0.这表明当tO时，差分方程组（&2. 7）或（8. 2. 8）的解收敛到原边值问题（8. 7. 1）, （8. 7. 2）的解.例&2.1取步长力=0.1,用差分法解边值问題y*_4y = 3x, 0 x 1,，（0） = y（l） = 0,并将结果与精确解y（x） = 3（戶一e亠）/4（e2-e2）-3x/4进行比较.解 因为 N = 1? = 10, q（x） = 4, /（x） = 3x ,由式（8. 2. 7）得差分格式一（2 + 4xO.F）y +儿=3xO.l2 xO.l, X_1-（2 + 4x0.12）yf+ yf+l =3x0.12x/,
7、i = 2,3,&ys-（2 + 4x0.12）y9 =3x0.12x0.9,yQ = ylQ = 0 兀=O + z/? = O.lz i = 1,2,9 ,其结果列于表 8. 2. 1.表 8,2.1兀准确值y（x.）0. 1-0. 0332923-0. 033365620.2-0. 0649163-0. 065060430. 3-0. 0931369-0. 093346140. 4-0. 1160831-0. 116348250.5-0. 1316725-0. 131979660.6-0. 1375288-0. 137857870.7-0. 1308863-0. 131208780.8-
8、0. 1084793-0. 108755390.9-0. 0664114-0. 0665865101.0从表8.21可以看出.差分方法的计算结果的精度还是比较高的.若要得到更精确的 数值解，可用缩小步长力的方法来实现.8. 2.2 一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法对一般的二阶微分方程边值问题yx） + p（x）yXx） + q（x）y（x） = f（x ab,* + a2ya） - a, （8.2. 12）0ye）+02）O） = 0，假定其解存在唯一.为求解的近似值，类似于前面的做法，（i ）把区间/ 等分，即得到区间I=a,b的一个网格剖分：a = x0 x, %、xn =b ,其中
9、分点兀 = a +认（i = 0,1,N）,步长h =呻.（ii ）对式（8. 2. 12）中的二阶导数仍用数值微分公式心）/（心一等）+曲丄容）,代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为O（胪），则用3点数值澈分公式；另外 为了保证插，在2个端点所用的3点数值微分公式与网格点所用的公式不同，即 y（兀）=$di）_2）严（），兀-I i = 2/z 6畑）=FZ十）* + /r刃知，无-! + 3 ） = 0,其中=（兀），Pi = P（X /；=/（%） i = 2、N- ,儿是y（xj的近似值.整理 得2lia _3冬）儿 +402” _&2儿=2ha, （2 - /?/?,）;_!
10、 2（2 - A）y, + （2 + /?,）yf+1 = 2h2/, f = l,2,N 1, （8. 2. 15）02儿2 - 402”“ +（302 +2馆） =2力0 解差分方程组（8. 2. 15）,便得边值问題（8. 2. 12）的差分解y,比,，yiV.特别地，若冬=1,勺=，A=l，02=，则式（8.2.12）中的边界条件是第一类边值 条件:y（a） = a, y（b） = 0;此时方程组（7. 7.为-2（2 -必i ）必 +（2 + hpl）y2 = 2 力丁一 （2 -妙）a,（2-/?,）_! -2（2-hqi）. + （2 + hpj）y/+1 =2h2i = 2、3
11、、N-2、（2-hpN_x）yN_2 -2（2-力如-）珈_1 = 2力九一（2+ 叽）0.（8. 2. 16）方程组（8.2. 16）是三对角方程组，用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组（8.216）,便得边值问题（8. 2. 12）的差分解（iii ）讨论差分方程组（8. 2. 16）的解是否收敛到微分方程的解，估计误差.这里 就不再详细介绍.例8.2.2取步长力=兀/16,用差分法求下列边值问题的近似解，并将结果与精确解 进行比较.（x） = yx） + 2y（x） + cosx, 0z+1=2（兀/16）- cos（zr/16）, i = 2,3,6,2-（兀/16）x（
12、-1）_2 -2 2-（兀/16）一 x（-2）“=2（龙/16） cos（7/16）-2 + （/16）x（-l）x（-0.1）,儿=一03, =-0.11召=0+加=01 = 1,2,9,其结果列于表8. 2. 2.表 8.2.2准确值y（兀）-0.3-0. 3/T/16-0.3137967-0.31374462/16-0.3154982-0.31543223/16-0.3050494-0.30499794/16-02828621-0 28284275龙/16-0.2497999-0.24981806/16-02071465-020719307/16-0.1565577-0.1566056
13、71/2-0 1000000-0.10000008.3有限元法有限元法（finite element method）是求解微分方程定解问题的有效方法之一，它特别 适用在几何、物理上比较复杂的问题.有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以 后又应用于流体力学、物理学和其他工程科学.为简明起见，本节以线性两点边值问题为例 介绍有限元法.考虑线性两点边值问題厶y = -（p（x）y（x）+g（x）y（x） = f（x）, a 0, 0, peCa,b, q, f eCa,b.此微分方程描述了长度为b-a的可变交叉截面（表示为q（x）的横梁在应力（兀）和 /（x）下的偏差y（x）. 3.1等价性
14、定理记C：d,Z? = yb = y（x）eC2a,b, y（a） = a, y（Z?） = 0,引进积分 3. 3）/（） = （pMyx）2 + q（x）y2（x） - 2f（x）y（x）d.x .任取y = yMeCa.b,就有一个积分值/（y）与之对应，因此/（y）是一个泛函 （functional）,即函数的函数.因为这里是#, y的二次函数，因此称/（刃为二次泛函.对眨函（8. 3. 3）有如下变分问题（variation problem）:求函数y e CaJ）,使得对 任意yeC;a,b,均有/（刃 I（y）, （& 3.4）即I（y）在y处达到极小，并称y为变分问题（8. 3
15、. 4）的解.可以证明： 3.1 （等价性定理）y是边值问题（& 3. 1）. （& 3. 2）的解的充分必要条件是$ 使泛函I（y）在C；a,b上达到极小，即y是变分问题（8. 3. 4）在C；a,h上的解.证（充分性）设是变分问題/（y）的解；即孑使泛函/（刃在C：仏切上 达到极小，证明歹必是边值问题（8.3.1）, （8. 3. 2）的解.设rj（x）是C2 0, 任意一个满足“=“（b） = 0的函数,则函数y（x） = y（x） + a/（x） e C：d,b,其中a为参数.因为孑使得/（y）达到极小，所以I（y +a/）!（刃，即积分Ky + ail） = （ （x）y（x） +
16、a（x）F + Wy（x） + -2f（x）y（x） + a/jM）dx作为a的函数，在a=0处取极小值/（刃，故=0.（8. 3. 5）计算上式，得也 la- 0， 则由函数的连续性知，在包含兀的某一区间如, 上有一（a）y（x）+ g（x）/x） -/（X） 0. 作（）_ 0, （“吗如,（x - （x - b） a0 0,这与式（8. 3. 7）矛盾.于是式（8. 3. 8）成立，即变分问题（8. 3. 4）的解歹满足微分方程 （8. 3. 1）,且 y（t/） = a, y（h） = p 故它是边值问题（8. 3. 1）, （8. 3. 2）的解.（必要性）设y = y（x）是边值问
17、題（8.3. 1）, （&3.2）的解,证明$是变分问題（8.3. 4） 的解；即：歹使泛函/（刃在C；a,切上达到极小.因为 y = y（x）满足方程（8. 3. 1）,所以（pMyXx）1 -q（x）y（x） + /（x） = 0.设任意 y = y（x） e C| a.b,则函数 （x） = y（x） 一 y（x）满足条件 （a） = “（b） = 0 , 且 /（x）eC2a,b.于是/（y）-/（ y） = /（y+）-/（y）=（pWyU） + WF + t7（A）-（x） + ；7（x）2 -2/（x）y（A）+ 77（a）cLv- J： （p（x）F（x）F+g（x）$a）F
18、-2/a）5V）ck（x）dx +q（x）（x）F）dx=2j：CT）F（x）（x） + g（x）y（x）（x） /（x）（x）di+f （p（x）（x）F +g（x）F ）dt =-2j（p（x）F（x） -q（x）y（x） + f（x） =（x）（x）F + （x）（x）F ）d因为 /?（x）0, t/（x）0,所以当 （x）H 0 时, （p（-v）；7x）2 + q（x）/（x）2 ）d.v 0 f 即心）-/（刃 只有当“（x）三o时，/（y）-7（刃=0.这说明歹使泛函/（刃在C；a,b上达到极小.证 毕！ 3.2边值问题（8. 3. 1）, （8. 3. 2）存在唯一解.证明用
19、反证法.若（X）,儿CO都是边值问题（8.3.1）, （8. 3. 2）的解，且不相等，则 由定理8. 3.1知，它们都使泛函/（刃在C：a,b上达到极小，因而心1）心2）且 /（儿）/（），矛盾！因此边值问题（8.3.1）, （& 3. 2）的解是唯一的.由边值问题解的唯一性，不难推出边值问题（8.3.1）, （8. 3. 2）解的存在性（留给读者自 行推导）.8. 3.2有限元法等价性定理说明，边值问题（8.3.1）, （8. 3. 2）的解可化为变分问题（8. 3. 4）的求解问题. 有限元法就是求变分问题近似解的一种有效方法.下面给出其解題过程：第1步 对求解区间进行网格剖分a = x0 xx - x v - 并称式（8. 3. 10）为单元形状函数（element shape function）.为了将线性插值（& 3. 10）标准化,令则将厶=和兀变到/轴上的单元0,1记他= _M（f）=r,则式（8310）可写 成（8. 3. 11）y = N wN 居0,1笫3步 建立有限元方程组.将式（8. 3. 10）代入
