1、弹性力学轴对称问题的有限元法4.弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容：4.1用虚功方程建立有限元方程4.2三结点单元位移函数4.3三结点单元刚度矩阵4.4载荷移置4.5轴对称分析举例 4.1用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴， 因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面， 所有应力、应变和位移也对称于该轴， 这类问题称为轴对称问 题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（ r, 0, z）,以z轴为对称轴。图4.1受均布内压作用的长圆筒如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过 对称性，轴对问题共有 4个应力分量：Z轴的一个纵截面就是对称面
2、。由于r zzr(4-1)其中r表示沿半径方向的正应力，称为径向应力;表示沿0方向的正应力，称为环向应力或切向应力； z表示沿z方向的正应力，称为轴向应力;zr表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有 4个应变分量:4-2)zzr其中r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变； 表示沿B方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变； z表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变； zr表示沿r和z方向的剪应变。f在轴对称问题中， 弹性体内任意一点上， 不存在切向位移， 只存在径向位移 u 和轴向位 移 w ，两个位移分量表示为，4-3)在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划
3、分为有限个单元的组合 体，由虚功方程得到单元刚度矩阵， 集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直 接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，* T * T * T *T dxdydz f * T F dxdydz f*Tpds （4-4）s其中 F 为体力， p 为面力。将弹性体离散后， 作用在弹性体上的外载荷移置到节点上， 在每个节点上外力只有径向分量 U1,U2,.,Un ，轴向分量 W1,W2,.,Wn，FU1W1U2W24-5)每个节点的虚位移也只有径向分量u；,u2，.,u；，轴向位移分量 W； ,w2，.,W；。u1*u2*KeBT D
4、BrdrdzdBTD Brdrdz (4-11)4-6)un*w*n在单元中由虚位移引起的虚应变为，* Q * Q *e B * e （4-7）单元中的实际应力为， e D B e （4-8）离散后的单元组合体的虚功方程为，n *TF ( *e)TBTD B e dxdydz (4-9)ei1n *TF ( *e)T BTD Bdxdydz e (4-10)ei1eTK e BTD B dxdydz 就是单元刚度矩阵。e对于轴对称问题，将（ 4-11）代入（ 4-10）可得 *TF *T (GT KeG) (4-12)eK （GTKe（G） 为整体刚度矩阵，得到方程组，4-13)eK F4.2
5、三结点单元位移函数在整个弹性体中是三棱轴对称问题的三结轴对称问题分析中所使用的三结点单元， 在对称面上是三角形，圆环，各单元中圆环形铰相联接。 参照平面问题的三角形单元位移函数, 点三角形单元位移函数取为，(4-14)u ai a2 a3zw a4 a5 a6z图4-2三结点单元4-14 )得到,3112A3iaj3 mUi32bibjbmUj33CiCjCmUma412AaiajamWja5bibjbmWja6cicjcmwm(4-15)(4-16)按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（其中,ri21rjrm召zjzm(4-17)ai rj zm zmrj， bizj
6、zm， ci rm r j定义形态函数为,1Ni (ai br Ci z)（下标i,j,m轮换）(4-18)用矩阵表示的单元位移为,uiWjuNj0 Nj 0 Nm 0 ujw0Nj 0 N j 0 N m wjum wm4.3三结点单元刚度矩阵轴对称问题的几何方程:zzrwzu wz r(4-20)由（4-19）式得,士(biuibjUjfjUjbmum)fmum)(4-21a)(4-21b)其中，fj 岂 bjrCZjr（下标轮换）wzuzwr(cjuj2A j jCjWj cmwm)CjUj cmum)bjwj bmwm)(4-21c)(4-21d)(4-21e)用几何矩阵表示单元的应变
7、,(4-22) B eB Bj Bj Bm(4-23)bi01fi0Bii 2A0Ciqbi由于在fi是坐标r、z的函数， 分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元111010E(1 ) 11D(1 )(1 2 )10111 20002(1 )中仍为常量。由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵,(4-25)1 2令 人，丄二 A2，则弹性矩阵为,1 1 2（1 ） 21A1D)Al1(1 )(12 ) A1A100A 0A 01 ( 4-26)1 00 A2SD B(4-27)（4-28）SSi Sj SmfiA1ciQDBiE(1)A1bifiA1ci（4-27）i 2(1)(12 )AA
8、l (bifi)ci由弹性矩阵D和几何矩阵B可以得到应力矩阵S，并计算出单元内的应力分量,A? q A?bi下标轮换，可得到SJ, Sj。由应力矩阵可知，除剪应力zr为常量，其它三个正应力分量都是 r、z的函数。单元刚度矩阵为，Ke 2 BTD Brdrdz (4-28)单元刚度矩阵的分块矩阵为，K rs 2 B：D Bhrdrdz (4-29)可以由于几何矩阵中的元素不是常量， 单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算,用三角形单元形心位置的坐标 rc, zc代替B矩阵中的变量r、z。rc3(rirjrm)，zc扣zjzm)应变矩阵变成，BBiBjBmE0ai1bi昵0Birc2A0CiC
9、ibi单元刚度矩阵的近似表达式为:(4-30)Ke 2 rcBTD B单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为,(4-31)rs2 rcB：D Bs(4-32)Krs2(1E(1)(1)rc_ brbs2 )AfrfsA1(Crbs Cr fs) A?brCsAJbpfs frbs) AzCrCsAQCsCr Csg) AzCrbsAzbr bs(4-33)4.4载荷移置单元上的体力为p，与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载荷,Re 2 NTprdrdz (4-34)作用在单元上的面力为 P ，结点载荷为,(4-35)Re 2 NTPrdss轴对称问题分析中，如果直接定义结点载荷，载荷值是实际弹
10、性体上绕对称轴一周的载 荷的累计结果。4.5轴对称分析实例图4-3带裙座封头的结构fl图4-4坯料形状图4-5成形分析的轴对称有限元模型封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图 4-3所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接， 提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于：1）如何保证锻件的厚度；2）如何保证成形后的裙座位置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象， 严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。 普通的半球形封头采用圆饼形坯料，制
11、造带裙座封头要采用如图 4-4所示的坯料。分析整个成形过程可以发现， 封头的底部明显变薄， 会使封头的最小壁厚达不到设计要求。在制作坯料时，要在坯料的中心部分加厚。封头边缘部分，在成形过程中明显增厚，壁 厚的增加量会超过10%，制作坯料时要在坯料的边缘部分减薄。在图 4-5中，可以看出，我们制作了一个心部增厚，边缘减薄的坯料。坯料上预制的凸台位置与成形后的裙座位置密切相关， 由于成形过程中封头的底部变薄导致凸台外移，合理的凸台位置要通过有限元分析来选择。通3.4WT M LW913：11snip*!sqxTIIO；-*75Fl* 匚庁工 npliLCs EFA-CEFl-23 ,731JH1
12、-3-. 99-1I_I口ShKH 3?. 4 S3U7.31S旧25.713图4-6成形初期的等效应力分布AJKU甘 S.S. 1 TMT 7 2OQQ ie：in： insob -192齐 阳引IPACITESIDOD=341 . 口*5i -111.017io.mLE9.3D6utuai314,Ba图4-7成形中间阶段的等效应力分布5-flCKT7 )0鸡聘13 L9STEE FTB =16 HINHl 吕 OV |AY0| Iombc-Se p hxx-a sjn-iTME -1930 E 6.71 ETC -312BB.7Z 12J.EE lllu 51S 2;孟册 xmaiT 334,34ft 373.31 41CUU fl57.2 CZ图4-8成形结束阶段的等效应力分布图4-9等效应变分布与成形缺陷4-9所通过有限元分析还发现， 如果坯料上的凸台尺寸过大， 会在封头的内壁上产生图示的凹限，导致封头内表面尺寸超出设计要求。采用ANSYS软件，对坯料形状和尺寸、模具的尺寸、成形缺陷进行了综合分析得到了 优化的坯料设计和制造工艺。
