1、完整word版巧算和速算方法校本课程 数学计算方法第一讲 生活中几十乘以几十巧算方法1.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：1214=？解: 1 1 = 1 1214=168注：个位相乘，不够两位数要用0占位。.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：2327=？解：212327=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位。.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：3744=？解：3+1=444=1674=283744=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：214
2、1=？解：24=82+4=611=12141=861.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：1123125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾1123125=254375注：和满十要进一。.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13326=？解：13个位是333+2=1132+6=1236=1813326=4238注：和满十要进一。第二讲 常用巧算速算中的思维与方法（1）【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”
3、题，可以计算为1+2 +99+100所以，123499100=1011002=5050 “3+5+7+97+99=？3+5797+99=（993）492= 2499。这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的张丘建算经。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5 尺布，最后一天织了1 尺，一共织了30 天。问她一共织了多少布？张丘建在算经上给出的解法是：“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”
4、“答曰：二匹一丈”。这一解法，用现代的算式表达，就是1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹1 丈。张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来，算式就是：51在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来，则算式便是 ：1+5此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子：所以，加得的
5、结果是630=180（尺）但这妇女用30 天织的布没有180 尺，而只有180 尺布的一半。所以，这妇女30 天织的布是1802=90（尺）可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。第三讲 常用巧算速算中的思维与方法（2）方法一：分组计算一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。例如：求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个自然数之和”。什么是“数字之和”？例如，求1 到12 这12 个自然数的数字之和，算式是12345+6+78+9+10+1+1+12=5l。显然，10 亿个自然数的数字之和
6、，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将它们分组：0 和999，999，999；1 和999，999，998；2 和999，999，997；3 和999，999，996；4 和999，999，995；5 和999，999， 994； 依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与添上的0 共10 亿个数，共可以分为5 亿组，各组数字之和都是81，如0+9+9+9+999999=811+9+9999+9+9+98=812+9+99
7、99+9+9+97=81最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1。所以，此题的计算结果是（81500，000，000）1=40，500，000，0001=40，500，000，001方法二：由小推大计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如：（1）计算下面方阵中所有的数的和。这是个“100100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小，再由小推大。先观察“55”的方阵，如下图（图4.1）所示。容易看到，对角线上五个“5”之和为25。这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2 那样拼接，那
8、么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。所以，“55”方阵的所有数之和为255=125，即53=125。于是，很容易推出大的数阵“100100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。（2）把自然数中的偶数，像图4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三第五列。那么2002 出现在哪一列：列数一二三四五246816141210182022243230282634363840 图4.3因为从2 到2002，共有偶数20022=1001（个）。从前到后，是每8 个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（
9、偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由10018=1251，可知这1001 个偶数可以分为125 组，还余1 个。故2002 应排在第二列。方法三：凑整巧算用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。例如（1）99.9+11.1=（9010）+（9+1）（0.9+0.1）=111（2）9979986=（9+1）（973）（9982）=101001000=1110（3）125125125125120125125125=155125125125（120+5）125125+125-5=1258-5=1000-5=995第四讲 常用巧算速算中的思维与方法（3）方法一：巧妙试商除数是两位数的除法，
10、可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。（1）用“商五法”试商。当除数（两位数）的10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。如7014=5，12525=5。当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“ 5”。例如124824=52，238545=53（2）同头无除商八、九。“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8 或商9。574258=99，417648=87。（3）用“商九法
11、”试商。当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10 倍时，可以一次定商为“9”。一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9nm10n 时，n 除m 的商才是9。同样地，10nmn11n。这就是我们上述做法的根据。例如450849=92，648072=90。（4）用差数试商。当除数是11、12、1318 和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是1 或2，则初商为9；差数是3 或4，则初商为8；差数是5 或6，则初商为7；差数是7 或8，则初商是6；差数是9 时
12、，则初商为5。若不准确，只要调小1 就行了。例如147618=82（18 与14 差4，初商为8，经试除，商8正确）；127817=75（17 与12 的差为5，初商为7，经试除，商7 正确）。为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：差一差二商个九，差三差四八当头；差五差六初商七，差七差八先商六；差数是九五上阵，试商快速无忧愁。方法二：恒等变形恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。例如（1）183268=（1832-32）（68+32）=1800100=1900（2）359.7-9.9=（359.7+0
13、.1）-（9.9+O.1）=359.8-10=349.8第五讲 常用巧算速算中的思维与方法（4）方法一：拆数加减在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。（1） 拆成两个分数相减。例如又如（2）拆成两个分数相加。例如又如方法二：同分子分数加减同分子分数的加减法，有以下的计算规律：分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。例如（
14、注意：分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。）由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，根据这一关系，我们也可以简化运算过程。例如方法三：先借后还“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。例如做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。第六讲 常用巧算速算中的思维与方法（5）方法一：个数折半下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。（1）分母相同的所有真分数相加。求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分
15、数的个数除以2，就能得出结果。这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。比方（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折半法”求得数。比方方法二：带分数减法带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。（1）减数凑整。例如（2）交换位置。例如在这两种方法中，第（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。例如第七讲 常用巧算速算中的思维与方法（6）方法一：带分数乘法有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。（1）相乘的两个带分数整数部分
16、相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1 的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。例如（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。例如（注：这是根据“（ab）（a-b）=a2-b2”推出来的。）（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。例如读者自己去试一试，此处略）。方法二：两分数相除有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：（1）分子、
17、分母分别相除。在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。例如（2）分母相除，一次得商。在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。例如（注：用除法法则可以推出这种方法，此处略。）第八讲 小数的速算与巧算【知识精要】凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。用的时候主要看末位。但是小数计算中“小数点”一定要对齐。【例题精讲】凑整法例1、 计算
18、5.6+2.38+4.4+0.62。【分析】5.6 与4.4 刚好凑成10，2.38 与0.62 刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便。【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。例2、计算：1.999+19.99+199.9+1999。【分析】因为小数计算起来容易出错。刚好1999 接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去。【解答】 1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.1
19、11=2220.889【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。“1.999”刚好与“2”相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。“多减的”要“加上”！第九讲 乘法速算1一前数相同的：1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)10+AB方法：百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。例：131713 + 7 = 2- - （ “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）3 7 = 21-221即1317= 2211.2.十位是1,个位不
20、互补,即A=C=1, B+D10,S=(10+B+D)10+AB方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。例：151715 + 7 = 22- （ “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）5 7 = 35-255即1517 = 2551.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A(A+1)10+AB方法:十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积例：56 54(5 + 1) 5 = 30- -6 4 = 24-30241.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D10,S=A(A+1)10+AB方法1:先
21、头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然例：67 64（6+1）6=4274=287+4=1111-10=14228+60=4288-4288方法2：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。例：67 646 6 = 36- -（4 + 7）6 = 66 -4 7 = 28-4288第十讲 乘法速算2二、后数相同的：2.1. 个位是1，十位互补 即 B=D=1, A+C=10 S=10A10C+101方法：十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。-
22、-8 2 = 16- -101-17012.2. 个位是1，十位不互补 即 B=D=1, A+C10 S=10A10C+10C+10A +1方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。例：71 9170 90 = 63 - -70 + 90 = 16 -1-64612.3个位是5，十位互补 即 B=D=5, A+C=10 S=10A10C+25方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。例：35 753 7+ 5 = 26- -25-26252.4个位是5，十位不互补 即 B=D=5, A+C10 S=10A10C+525方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数
23、的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。例: 75 957 9 = 63 - -（7+ 9） 5= 80 -25-71252.5. 个位相同，十位互补 即 B=D, A+C=10 S=10A10C+B100+B2方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。例：86 268 2+6 = 22- -36-22362.6.个位相同，十位非互补方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然例：734374+3=3197+4=113109 +30=3139-3139第十一讲 乘法速算32.7
24、.个位相同，十位非互补速算法2方法：头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10例：734374=2892809+（7+4）310=2809+1130=2809+330=3139-3139三、特殊类型的：3.1、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。方法：互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。例： 66 37（3 + 1） 6 = 24- -6 7 = 42-2442第十二讲 乘法速算43.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。方法：杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾
25、数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然例：3844（3+1）4=168*4=3216323+8=1111-10=11632+40=1672-1672第十三讲 乘法速算53.3、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。方法：乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然例：4675（4+1）*7=356*5=305-7=-22*4=83530-80=3450-34503.4、一因数数首比尾小
26、一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。方法：凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。例：563610-6=4，3+1=4，369也等于45*（10-6）=204*（10-6）=16“注：（10-6）也可以写作（3+1）和（369）”-20163.5、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然例：7456（7+1）*5=404*6=247-5=22*6=1212*10=1204024+120=4144-4144第十四讲 乘法速算6 3.6、两因数首尾差一，尾数互补的算法方法：不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积例：2436323*3-1=862=36100-36=64-8643.7、近100的两位数算法方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）例：9391100-91=993-9=84100-93=77*9=63-8463
