1、判定直线平行、三点共线（1）已知A，B，C三点共线，且A（3，6），B（5,2），若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为（）A13 B9C9 D13（2）已知A（1，1），B（1,3），C（1,5），D（2,7），向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路探究（1）（2）（1）C（1）设C（6，y），又（8,8），（3，y6），8（y6）380，y9.（2）解（1（1），3（1）（2,4），（21,75）（1,2）又22410，.又（2,6），（2,4），24260，A，B，C不共线，AB与CD不重合，ABCD.规律方法向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2y
2、20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减跟踪训练1已知A（1，3），B，C（9,1），求证：A，B，C三点共线. 【导学号：84352230】证明，（91,13）（8,4），74，且，有公共点A，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数已知a（1,2），b（3,2），当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【导学号：84352231】思路探究法一：可利用b与非零向量a共线等价于ba（0，b与a同向；0，b与a反向）求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是反向解法一：（共线向量定理法）kabk（1,2
3、）（3,2）（k3,2k2），a3b（1,2）3（3,2）（10，4），当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab（a3b）由（k3,2k2）（10，4），所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab（a3b），因为0，所以kab与a3b反向（坐标法）由题知kab（k3,2k2），a3b（10，4），因为kab与a3b平行，所以（k3）（4）10（2k2）0，解得k.这时kab（a3b），所以当k时，kab与a3b平行，并且反向规律方法利用向量平行的条件处理求值问题的思路：（1）利用共线向量定理ab（b0）列方程组求解（2）利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解2已知
4、a（1,1），b（x2，x）且ab，则实数的最小值是_因为ab，所以x2x0，即x2x2，所以的最小值为.向量共线的综合应用（1）已知向量a（cos ，2），b（sin ，1），且ab，则2sin cos 等于（）A3 B3C D（2）如图2318所示，已知点A（4,0），B（4,4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标. 84352232】图2318思路探究（1）先由ab推出sin 与cos 的关系，求tan ，再用“1”的代换求2sin cos .（2）要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与共线的坐标表示求出即可；也可设P（x，y），由及，列出关于x，y的方程组求解
5、（1）C（1）因为ab，所以cos 1（2）sin 0即cos 2sin ，tan ，所以2sin cos .（2）法一：（定理法）由O，P，B三点共线，可设（4，4），则（44,4），（2,6）由与共线得（44）64（2）0，解得，所以（3,3），所以P点的坐标为（3,3）（坐标法）设P（x，y），则（x，y），因为（4,4），且与共线，所以，即xy.又（x4，y），（2,6），且与共线，则得（x4）6y（2）0，解得xy3，所以P点的坐标为（3,3）规律方法向量共线的坐标表示的应用 1 已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注
6、意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. 2 已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.3如图2319，已知A（4,5），B（1,2），C（12,1），D（11,6），求AC与BD的交点P的坐标图2319解设（111,62）（10，4）易得（11,1），（1011,41）又（8,4），而与共线，4（1011）8（41）0，解得.设点P的坐标为（xP，yP），（5,2）（xP1，yP2），即故点P的坐标为（6,4）.共线向量与线段分点点坐标的计算探究问题1设P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x
7、2，y2），如何求线段P1P2的中点P的坐标？提示：如图所示，P为P1P2的中点，（），线段P1P2的中点坐标是.2设P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时，（）；当时，（）.3当时，点P的坐标是什么？（），（x1，y1）（x2，y2）P.已知点A（3，4）与点B（1,2），点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标. 84352233】思路探究点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论解设P点坐标为（x，y），|2|.当P在线段AB上时，2，（
8、x3，y4）2（1x,2y），解得P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，（x3，y4）2（1x,2y），P点坐标为（5,8）综上所述，点P的坐标为或（5,8）母题探究：1.若将本例条件“|2|”改为“3”其他条件不变，求点P的坐标解因为3，所以（x3，y4）3（1x,2y），所以解得所以点P的坐标为.2若将本例条件改为“经过点P（2,3）的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|3|”，求点A，B的坐标解由题设知，A，B，P三点共线，且|3|，设A（x,0），B（0，y），点P在A，B之间，则有3，（x，y）3（2x,3），解得x3，y9，点A，B的坐标分别为（3,0），（0,9）点P不在A，
9、B之间，则有3，同理，可求得点A，B的坐标分别为，（0，9）综上，点A，B的坐标分别为（3,0），（0,9）或，（0，9）规律方法在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.当 堂 达 标固 双 基1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）Aa（0,0），b（2,3）Ba（1，3），b（2，6）Ca（4,6），b（6,9）Da（2,3），b（4,6）D只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D.2若向量a（，1），b（0，2），则与a2b共线的向量可以是（）A（，1） B（1，
10、）C（，1） D（1，）D因为a2b（，3）（1，），所以向量a2b与（1，）是共线向量故选D.3已知两点A（2，1），B（3,1），则与平行且方向相反的向量a可以是（） 【导学号：84352234】A（1，2） B（9,3）C（2,4） D（4，8）D由题意，得（1,2），所以a（，2）（其中0）符合条件的只有D项，故选D.4已知平面向量a（1,2），b（2，m），且ab，则2a3b等于_（4，8）ab，1m（2）20，m4，a（1,2），b（2，4），2a3b2（1,2）3（2，4）（4，8）5设O是坐标原点，（k,12），（4,5），（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解（
11、4k，7），（10k，k12），又A，B，C三点共线，由两向量平行的充要条件，得（4k）（k12）7（10k）0，解得k2或k11.即当k2或k11时，A，B，C三点共线精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风
12、雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧
13、），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
