1、2525 ；3535建议教师先介绍个位数字为5的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起来即为所求的积.1515=225 ；25=625 ；35=1225暑假精讲1. 商不变性质：被除数和除数乘以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除 数的位置，商不变，即abc=acb 2. 乘除法混合运算的性质 在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置， 例如acb=ba （2）在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 ac）=ac a（bc ac）=ac （3）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 （ab）（cd）=（ac）d
2、）在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍一些运算的速算和巧算的方法.【例1】 计算：4562125548解题关键是观察题目可以发现254得100，1258得1000，将它们分别合并便可达到速算原式=456=456101001000 =456000000.巩固 计算：1964125原式= 100100038=3800000.【例2】 计算：5（711）（1115） （1521）原式=5711111521=5 =53 =15.前铺计算：5400254根据除法
3、性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积. 原式=5400=5400100 =54.【例3】 计算：333333373-3625125+12550运用ac） . 原式=333333-29+6250=333333111+ =3003+6221 =9224.【例4】 5346+7154+8254可以把53，199拆分.原式=5454-46 =54-46 =54199-46200 =54-46 =10800-100 =10700.【例5】 观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分. 原式=873-198476+199=873476+873-198873+476+19
4、9 =873476+675873+675 =1.【例6】 11111111119999999999原式=1111111111=11111111110000000000-1111111111 =11111111108888888889.【例7】 9999926+3333324原式=999993=9999926+999998 =99999 =34 =3399966.【例8】 计算：1+12+l3+l4+l5原式=1（2-1）+l（3-1）+1（4-1）+1（5-1）+l（6-1）=l2-1+l3-14-15-16-l5 =l6-l =720-l =719【例9】 计算：20XX+20XX-20XX
5、-20XX+20XX+20XX-20XX-1999+1998+5-4-3+2+1我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算. 原式=20XX+1=20XX+0+0+0+1 =20XX.根据符号规律，可以4个数一组.原式=+2+1=4+3 =20XX.1992-1-2+3+4-5-6+7+8-1989-1990+1991 分析：原式=+=4=1992.【例10】 计算：原式= =24 =112.【例11】 计算：917+9117-517+4517前铺分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题. 计算1： 3619+6419=19 =1900.计算2：
6、144=36125 =1900+88125 =1900+8000 =9900.例题原式=917+17 =417+13617 =68+8 =76.【例12】 计算：76521327+76532727原式=765=76554027 =76520 =15300.【例13】 计算：7前铺建议教师先讲解拆数法：123456=1100000+210000+31000+4100+510+61，234561=2100000+310000+41000+5100+610+11。 或者观察竖式发现：每个数位上的和=相应的数量单位.讲 清楚拆数这个问题，题目就迎刃而解了. （100000+10000+1000+100
7、+10+1） =211111117 =3111111 ）=333333.【例14】 计算：121212123030303前铺建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律.如123123=1231001，123123123=1231001001。原式 =121010101 =41=4.4949原式=10149101=49=2.【例15】 20XX20XX20XX20XX-20XX20XX20XX20XX原式=20XX20XX100010001-20XX100010001=0.附加内容【附1】 计算：9999922222+333333333422222+9999911111+33333 =9999933
8、333+33333 =33333 =33333100000 =3333300000.【附2】 计算：888125+99973原式=8111=100073+99973 =73 =1110 =77700+3330 =81030.大显身手1. 251732=17000002. 1）5799 ；2） 179991）原式= 5643 ；2）原式=16983.3. 1500015原式=15000125=1000125=8.4. 56000原式= 64.数学迷宫仔细看看图中有几只猴子？第二讲应用题综合春季班同学们已经学习了平均数的应用题，其中包括以两组数的平均数和它们的总平均数间的关系为内容的问题求解时应恰
9、当选取基准数并注意权重暑假我们学习的平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数.解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数.首先，让我们先回顾一下吧！1. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周（一周为7天）平均每天做4道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？综合列式为47-（3313）6（道）.2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，
10、第二批的5头每头重42千克.小明家养的猪平均多重？两批猪的总重量为663425408（千克）.两批猪的头数为358（头），故平均每头猪重408851（千克）.3. 中强期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分.问：英语得了多少分？英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为（92904）293（分），此可求出英语成绩.综合列式为（92924）2497（分）.4. 有5个数的平均数是26，如果把其中的一个数改为18，则平均数变成22，未改动前的这个数是多少？5个数的平均数从26变成22，平均每个数减少了4，一共减少了45=20，说明原来那个
11、数减少20变为18，所以原来的数是38.【例1】 学而思三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？不及格人的平均分是=53【例2】 某一幢居民楼里原有3户安装空调，后来又增加一户.这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调.这样，在24小时内平均每户最多可使用空调几小时？平均每户最多可用空调2434=18.【例3】 一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是45岁两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？=36.【例4】 某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学
12、竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？参赛女同学人数为：100（63-60） （70-60）=30（人），所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40.下面我们要学习一类新的应用题盈亏问题.盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要灵活把握.【例5】 六一儿童
13、节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分3张就会多出29张，如果每人分5张则少19张，那么李老师给几个学生发礼物呢？学生的人数：（29+19）（5-3）=24（个）.【例6】 杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少元这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？买5本多3元，买7本少元.盈亏总额为3=，这元刚好可以买7-52书，因此每本书2=，顾老师共带钱5315.【例7】 学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，如果租用同样数量的55个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆？租55个座位的客车，正
14、好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车数量（55+5）（55-45）=6（辆）.【例8】 兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如果每个房间住7人，则有2个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？房间数量：（18+72）（75）=16（个），参加夏令营的人数：165+18=98（人）.【例9】 海尔兄弟约好在动物园门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟，如果每分钟走40米，可以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？迟到5分钟相当于少走了：305=150（米），提前2分钟到相当于
15、多走了：40 2=80（米），所以，如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为：（150+80）（40-30）= 23（分钟），家到学校的距离为：（23+5）=840（米）.【例10】 早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元如果买8千克猪肉则还剩2元已知每千克鱼肉比猪肉贵5元那么陈奶奶带了多少钱于每千克鱼肉比猪肉贵5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：65=30（元），这时，买6千克猪肉应该剩下：3010=20（元），所以，每千克猪肉的价钱为：（202）（86）=9（元），陈奶奶所带钱数：9+2=74（元）.【例11】 百货商店委托搬运站运送100只花瓶双方商定每只运费1元，但如果发生损坏
16、，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元问：搬运过程中共打破了几只花瓶假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1100=100（元）实际上只得到92元，少得100-92=8（元）搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2（元）因此共打破花瓶82=4（只）【附1】 100名学生参加数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？（70-60）=30（人）所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40【附2】 学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算
17、出平均分作为该选手的最后得分下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，81，最后得分82请你算算第五位评委打多少分？如果第五位评委的分数是最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是79或86，剩下的3个分数的平均分不等于82，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是79和86，第五位评委的分数是823-=82.【附3】 乐乐从家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟问：乐乐家离学校有多远乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课
18、时间时， 他离学校还有508=400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50+10）5=300（米）所以盈亏总额，即总的路程相差400+300=700（米）两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为700-10=70（分），也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟所以乐乐家到学校的距离为50（2+70+8）=4000（米）【附4】 四（2）班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生如果每堆有1块橡皮2支铅笔，
19、铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮多少支铅笔 分析：如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15（支）铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：（65）=15（堆），所以，橡皮数为：3=45（块），铅笔数为：610=80（支）1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？=1083=36，说
20、明小强一共游了36天.要想平均游500米的话，他最后一天应该游670+36=670+180=850米.2. 甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？甲、乙2班总分为81=8100，于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分=3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多50厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深各是多少？根据题意，=190.2=480或30=480.4. 王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加1条船，正好每条船坐4人，如
21、果减少1条船，正好每条船坐6人，那么，他们总共有几人去了颐和园？这道题也可以理解为：原来每条船坐4人正好，后来减少了2条船，每条船坐6人所以，租的船的数量为：（1+1）（64）=6（条），去颐和园的总人数为：4=24（人）.成长故事永远看得起自己有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口井还是得填起来于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中当这头驴子了解到自己的
22、处境时，刚开始哭得很凄惨但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去很快地，这只驴子便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！第三讲 应用题综合年龄问题和还原问题春季班都学习过基础的知识：年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.关键抓住“年龄差”不变.应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式解决；还原问题我们学习了用倒推法解单
23、、多个变量的还原问题.今天我们再提高和拓展一下.来吧，我们出发！1. 小明今年8岁，他与爸爸、妈妈年龄的和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时，小明是多少岁？三人的平均年龄是34岁时，三人的年龄和为：343=102，经过的时间是：3=7，这时小明的岁数：8+7=152. 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？今年爸爸与儿子的年龄差为“4820=28”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，他们的年龄差是儿子年龄的4倍，所以儿子的年龄是：7，20713，推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍3. 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物第一天运出总数的一半少12克第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克问蚂蚁家原有食物多少克教师可画线段图帮助学生理解如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=3l（克）；这样，第一天运出后剩下的重312=62（克）那么，一半的重量是6212=50（克），原有食物502=100（克）即 （43-12）2-122=100（克）.
