1、A.24种 B.30种C.36种 D.48种解析需要先给C块着色,有4种结果；再给A块着色,有3种结果；再给B块着色,有2种结果；最后给D块着色,有2种结果,由分步乘法计数原理知共有432248（种）.【参考答案】D3.（选修23P5例3改编）书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书,则不同取法的种数为_.解析从书架上任取1本书,有三类方法:第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是Nm1m
2、2m34329.【参考答案】94.（2016全国卷）如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24 B.18 C.12 D.9解析分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径；第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径.故选B.【参考答案】B5.（2019石家庄模拟）教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有（）A.10种 B.25种 C.52种 D.24种解析每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理,共有24种
3、不同的走法.6.（2019菏泽六校联考）椭圆1的焦点在x轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为_.解析因为焦点在x轴上,所以mn,以m的值为标准分类,分为四类:第一类:m5时,使mn,n有4种选择；第二类:m4时,使mn,n有3种选择；第三类:m3时,使mn,n有2种选择；第四类:m2时,使mn,n有1种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有10个.【参考答案】10考点一分类加法计数原理的应用【例1】 （1）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有_种不同的方法.（2）满足a,b1,0,1,2
4、,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对（a,b）的个数为_.解析（1）分三类:一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有82212（种）方法.（2）当a0时,b的值可以是1,0,1,2,故（a,b）的个数为4；当a0时,要使方程ax22xb0有实数解,需使44ab0,即ab1.若a1,则b的值可以是1,0,1,2,（a,b）的个数为4；若a1,则b的值可以是1,0,1,（a,b）的个数为3；若a2,则b的值可以是1,0,（a,b）的个数为2.由分类加法计数原理可知,（a,b）的个数为443213.（1）12（2）13规律方法分类
5、标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法,不能重复.（3）分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏,如本例（2）中易漏a0这一类.【训练1】 （1）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为（）A.6 B.5 C.3 D.2（2）从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8解析（1）5个人中每一个都可主持,所以共有
6、5种选法.（2）以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,所求的数列共有2（211）8个.（1）B（2）D考点二分步乘法计数原理的应用【例2】 （1）用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为_.（2）（2018合肥质检）五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列）,则获得冠军的可能性有_种.解析（1）可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字有5种放法；第二步:十位数字有5种放法；第三步:个
7、位数字有4种放法,根据分步乘法计数原理,三位数的个数为554100.（2）五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性.（1）100（2）4554规律方法1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步确保连续,逐步完成.【训练2】 已知a1,2
8、,3,b4,5,6,7,则方程（xa）2（yb）24可表示不同的圆的个数为（）A.7 B.9 C.12 D.16解析得到圆的方程分两步:第一步:确定a有3种选法；确定b有4种选法,由分步乘法计数原理知,共有3412（个）.【参考答案】C考点三两个计数原理的综合应用多维探究角度1与数字有关的问题【例31】 （2017天津卷）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个（用数字作答）.解析当不含偶数时,有A120个,当含有一个偶数时,有CCA960个,所以这样的四位数共有1 080个.【参考答案】1 080角度2与几何有关的问题【
9、例32】 如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A.48 B.18 C.24 D.36解析在正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中,每个对角面有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.角度3涂色、种植问题【例33】 （一题多解）如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.解法一按所用颜色种数分类.5种
10、颜色全用,共有A种不同的方法；只用4种颜色,则必有某两个顶点同色（A与C,或B与D）,共有2只用3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有A种不同的方法.由分类加法计数原理,得不同的染色方法种数为A2A420（种）.法二以S,A,B,C,D顺序分步染色.S点染色,有5种方法；A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法；B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法；第四步:C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法；当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法
11、计数原理得不同的染色方法 共有54（1322）420（种）.规律方法1.在综合应用两个原理解决问题时应注意:（1）一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.（2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.例题中,相邻顶点不同色,要按A,C和B,D是否同色分类处理.【训练3】 （1）（2019衡水调研）用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A.243 B.252 C.261 D.279（2）（一题多解）如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C
12、,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有（）A.72种 B.48种C.24种 D.12种（3）如图所示,在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有_个（用数字作答）.解析（1）0,1,2,9共能组成91010900（个）三位数,其中无重复数字的三位数有998648（个）,有重复数字的三位数有900648252（个）.（2）法一首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4372种涂法.法二按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂
13、法,共有4124（种）涂法；二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4224（种）,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有2424272（种）.（3）把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有8432（个）.第二类,有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知,共有32840（个）.（1）B（2）A（3）40思维升华1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.2.（1）分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计
14、数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.（2）分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.易错防范1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.3.确定题目中是否有特殊条件限制.基础巩固题组（建议用时:35分钟）一、选择题1.从集合0,1,2,3,4,5
15、,6中任取两个互不相等的数a,b组成复数abi,其中虚数的个数是（）A.30 B.42 C.36 D.35解析因为abi为虚数,所以b0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数.2.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为（）A.40 B.16 C.13 D.10解析分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8513个不同的平面.3.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学,在数学检测时
16、要求每位教师不能在本班监考,则不同的监考方法有（）A.8种 B.9种 C.10种 D.11种解析设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法,同理A监考c,d时,也分别有3种不同方法,由分类加法计数原理,共有3339（种）不同的监考方法.4.（2019驻马店质检）将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有（）A.1种 B.3种 C.6种 D.9种解析因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色,故有316（种）涂色方案.5.某电话局的
17、电话号码为139,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为（）A.20 B.25 C.32 D.60解析依据题意知,后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为2532.6.集合Px,1,Qy,1,2,其中x,y1,2,3,9,且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对（x,y）作为一个点的坐标,则这样的点的个数是（）A.9 B.14 C.15 D.21解析当x2时,xy,点的个数为177.当x2时,由PQ,xy.x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.因此满足条件的点共有7714（个）.7.将2名教
18、师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有（）A.12种 B.10种 C.9种 D.8种解析第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C2（种）选派方法；第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,有C6（种）选派方法；由分步乘法计数原理可知,不同的选派方案共有2612（种）.【参考答案】A8.从集合1,2,3,4,10中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有（）A.32个 B.34个 C.36个 D.38个解析将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6
19、.从每一小组中取一个,有C2种,共有2232个.二、填空题9.某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3次,问此人的走法可有_种.解析因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法可有437（种）.【参考答案】710.乘积（a1a2a3）（b1b2b3b4）（c1c2c3c4c5）展开后的项数为_.解析从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,第三个括号中选一个字母有5种方法,故根据分步乘法计数原理可知共有N3560（项）.【参考答案】601
20、1.在编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中放入两个不同的小球,每个盒子中最多放入一个小球,且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有_种.解析设两个不同的小球为A,B,当A放入1号盒或者6号盒时,B有4种不同的放法；当A放入2,3,4,5号盒时,B有3种不同的放法,一共有423420种不同的放法.【参考答案】2012.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是_.解析另两边长用x,y（x,yN*）表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须xy12.当y取11时,x可取1,2,3,11,有11个三角形；当y取10时,x可取2,3,10,有9个三角形；当y取6时
21、,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为119753136.【参考答案】36能力提升题组15分钟）13.（2018河南天一大联考）如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（）A.360种 B.720种 C.780种 D.840种解析由题意知2,3,4,5的颜色都不相同,先涂1,有6种方法,再涂2,3,4,5,有A种方法,故一共有6720种.14.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2 013是“六合数”）,则首位为2的“六合数”共有（）A.
22、18个 B.15个 C.12个 D.9个解析依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数分别为211,121,112.共计363315（个）.15.从1,2,3,4,7,9六个数中,任取两个数作为对数的底数和真数,则所有不同对数值的个数为_.解析当所取两个数中含有1时,1只能作真数,对数值为0,当所取两个数不含有1时,可得到A20（个）对数,但log23log49,log32log94,log24log39,log42log93.综上可知,共有201417（个）不同的对数值.【参考答案】1716.已知集合M1,2,3,4,集合A,B为集合M的非空子集,若对xA,yB,xy恒成立,则称（A,B）为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有_个.解析A1时,B有231种情况；A2时,B有221种情况；A3时,B有1种情况；A1,2时,B有221种情况；A1,3,2,3,1,2,3时,B均有1种情况,故满足题意的“子集对”共有7313317个.
