1、A B（或B A）集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集AB3.集合的基本运算运算交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集设AU,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA概念方法微思考1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.提示2n,2n1.2.从ABA,ABA中可以分别得到集合A,B有什么关系？提示ABAAB,ABABA.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“”或“”）（1）任何一个集合都至少有两个子集.（）（2）x|yx21y|
2、yx21（x,y）|yx21.（3）若x2,10,1,则x0,1.（4）若PMPNA,则A（MN）.（）题组二教材改编2.若集合AxN|x,a2,则下列结论正确的是（）A.aA B.aAC.aA D.aA答案D3.已知集合Aa,b,若ABa,b,c,满足条件的集合B有_个.答案4解析因为（AB）B,Aa,b,所以满足条件的集合B可以是c,a,c,b,c,a,b,c,所以满足条件的集合B有4个.4.设全集UR,集合Ax|0x2,By|1y3,则（UA）B_.答案（,0）1,）解析因为UAx|x2或x0,By|1y3,所以（UA）B（,0）1,）.题组三易错自纠5.（多选）已知集合Ax|x22x0
3、,则有（）A.A B.2AC.0,2A D.Ay|y3答案ACD解析易知A0,2,A,C,D均正确.6.已知集合A1,3,B1,m,若BA,则m_.答案0或3解析因为BA,所以m3或m.即m3或m0或m1,根据集合元素的互异性可知m1,所以m0或3.7.已知集合Mx|xa0,Nx|ax10,若MNN,则实数a的值是_.答案0或1或1解析易得Ma.MNN,NM,N或NM,a0或a1. 集合的含义与表示1.已知集合A0,1,2,则集合B（x,y）|xy,xA,yA中元素的个数是（）A.1 B.3 C.6 D.9答案C解析当x0时,y0；当x1时,y0或y1；当x2时,y0,1,2.故集合B（0,0
4、）,（1,0）,（1,1）,（2,0）,（2,1）,（2,2）,即集合B中有6个元素.2.已知集合A,则集合A中的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析因为Z,且xZ,所以2x的取值有3,1,1,3,所以x的值分别为5,3,1,1,故集合A中的元素个数为4.3.给出下列四个命题:（x,y）|x1或y21,2；x|x3k1,kZx|x3k2,kZ；由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；设2 021x,x2,则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.其中正确的命题是_.（填序号）答案解析中左边集合表示横坐标为1,或纵坐标为2的所有点组成的集合,即x1和y2两
5、直线上所有点的集合,右边集合表示有两个元素1和2,左、右两集合的元素属性不同.中3k1,3k2（kZ）都表示被3除余1的数,易错点在于认为3k1与3k2中的k为同一个值,对集合的属性理解错误.中集合有4个元素,其真子集的个数为24115（个）.中x2 021或x,满足条件的所有x组成的集合为2 021,其真子集有2213个.所以正确.思维升华解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性. 集合间的基本关系例1（1）集合M,N,则
6、两集合M,N的关系为（）A.MN B.MNC.MN D.NM解析由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n2k（kZ）,则xk1（kZ）,当n为奇数时,设n2k1（kZ）,则xk1（kZ）,NM,故选D.（2）已知集合AxR|x23x20,BxN|0x5,则满足条件ACB的集合C的个数为_.解析由题意可得,A1,2,B1,2,3,4.又ACB,C1,2或1,2,3或1,2,4或1,2,3,4,有4个.（3）已知集合Ax|x22 021x2 0200,Bx|xa,若AB,则实数a的取值范围是_.答案2 020,）解析由x22 021x2 0200,解得1x2 020,故Ax|1x2 020.又Bx|
7、xa,AB,如图所示,可得a2 020.思维升华（1）空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.（2）已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练1（1）已知集合Ax|y,Bx|xm2,mA,则（）A.A B B.B AC.AB D.BA答案B解析由题意知Ax|y,所以Ax|1x1.所以Bx|xm2,mAx|0x1,所以B A,故选B.（2）已知集合Ax|（x1）（x6）0,Bx|m1x2m1.若BA,则实数m的取值范围为_.答案（,2）解析Ax|1x6.
8、BA,B或B.当B时,m12m1,即m2.符合题意.当B时,解得0m.得m2或0m 集合的基本运算命题点1集合的运算例2（1）（2019日照模拟）已知集合Ax|x22x30,Bx|x2,则AB等于（）A.（1,3） B.（1,3C.1,2） D.（1,2）解析因为Ax|x22x30x|1x3,Bx|x2,所以AB1,2）.（2）（2020沈阳检测）已知全集U1,3,5,7,集合A1,3,B3,5,则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A.3 B.7 C.3,7 D.1,3,5解析由图可知,阴影区域为U（AB）.由题意知,AB1,3,5,U1,3,5,7,则由补集的概念知,U（AB）7.故选B.命
9、题点2利用集合的运算求参数例3（1）已知集合Ax|x23x0,B1,a,且AB有4个子集,则实数a的取值范围是（）A.（0,3） B.（0,1）（1,3）C.（0,1） D.（,1）（3,）解析因为AB有4个子集,所以AB中有2个不同的元素,所以aA,所以a23a0,解得0a3.又a1,所以实数a的取值范围是（0,1）（1,3）,故选B.（2）已知集合Ax|xa,Bx|x23x20,若ABB,则实数a的取值范围是（）A.a1 B.a1C.a2 D.a2解析集合Bx|x23x20x|1x2,由ABB可得BA,作出数轴如图.可知a2.本例（2）中,若集合Ax|xa,其他条件不变,则实数a的取值范围
10、是_.答案（,1解析Ax|xa,Bx|1x2,由BA结合数轴观察（如图）.可得a1.思维升华（1）一般来讲,集合中的元素若是离散的,可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的,则可用数轴表示,此时要注意端点的情况.（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.跟踪训练2（1）（2019全国）已知集合U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5,B2,3,6,7,则BUA等于（）A.1,6 B.1,7C.6,7 D.1,6,7解析U1,2,3,4,5,6,7,A2,3,4,5,UA1,6,7.又B2,3,6,7,BUA6,7.（2）设集合Ax|1x2,Bx|xa
11、,若AB,则a的取值范围是（）A.1a2 B.a2C.a1 D.a1解析在数轴上画出集合A,B（如图）,观察可知a1.解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.例1对于集合M,定义函数fM（x）对于两个集合A,B,定义集合ABx|fA（x）fB（x）1.已知A2,4,6,8,10,B1,2,4,8,12,则用列举法写出集合AB的结果为_.答案1,6,10,12解析要使fA（x）fB（x）1,必有xx|xA且xBx|xB且x
12、A1,6,10,12,所以AB1,6,10,12.例2（多选）设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,bP,都有ab,ab,ab,P（除数b0）,则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,下列命题中正确的是（）A.数域必含有0,1两个数B.整数集是数域C.若有理数集QM,则数集M必为数域D.数域必为无限集答案AD解析当ab时,ab0,1P,故可知A正确.当a1,b2时,Z不满足条件,故可知B不正确.当M比Q多一个元素i时,则会出现1iM,所以它也不是一个数域,故可知C不正确.根据数域的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知D正确.例3已知集合AxN|x22x30,B1,3,定义集合
13、A,B之间的运算“*”:A*Bx|xx1x2,x1A,x2B,则A*B中的所有元素数字之和为（）A.15 B.16 C.20 D.21解析由x22x30,得（x1）（x3）0,得A0,1,2,3.因为A*Bx|xx1x2,x1A,x2B,所以A*B中的元素有:011,033,112,134,213（舍去）,235,314（舍去）,336,所以A*B1,2,3,4,5,6,所以A*B中的所有元素数字之和为21.1.下列各组集合中表示同一集合的是（）A.M（3,2）,N（2,3）B.M2,3,N3,2C.M（x,y）|xy1,Ny|xy1D.M2,3,N（2,3）2.已知集合Mx|x2x60,则下
14、列表述正确的是（）A.2M B.2MC.3M D.3M解析集合Mx|x2x60.集合M2,3,2M,3M,故选D.3.（2018全国）已知集合A（x,y）|x2y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为（）A.9 B.8 C.5 D.4答案A解析将满足x2y23的整数x,y全部列举出来,即（1,1）,（1,0）,（1,1）,（0,1）,（0,0）,（0,1）,（1,1）,（1,0）,（1,1）,共有9个.故选A.4.已知集合AxN*|x23x40,则集合A的真子集有（）A.7个 B.8个 C.15个 D.16个解析集合AxN*|x23x40xN*|1x41,2,3,集合A中共有3个元素,真子集有2
15、317（个）.5.已知集合Mx|x4或x1,N1,）,则MN等于（）A.（,） B.（1,1）（4,）C. D.1,1）（4,）解析因为Mx|x4或x1,N1,）,所以MN1,1）（4,）.6.（2020山东模拟）设集合A（x,y）|xy2,B（x,y）|yx2,则AB等于（）A.（1,1） B.（2,4）C.（1,1）,（2,4） D.解析首先注意到集合A与集合B均为点集,联立解得或从而集合AB（1,1）,（2,4）.7.（多选）已知集合Ax|1x3,集合Bx|x|2,则下列关系式正确的是（）A.ABB.ABx|2x3C.ARBx|x1或x2D.ARBx|2x3答案BD解析Ax|1x3,Bx
16、|x|2x|2x2,ABx|1x3x|2x2x|1x2,A不正确；ABx|1x3x|2x2x|2x3,B正确；RBx|x2或x2,ARBx|1x3x|x2或x2x|x2或x1,C不正确；ARBx|1x3x|x2或x2x|2x3,D正确.8.（多选）已知集合Ax|x23x20,Bx|22x8,则下列判断不正确的是（）A.ABB B.（RB）ARC.ABx|1x2 D.（RB）（RA）R答案ABD解析因为x23x20,所以1x2,所以Ax|1x2；因为22x8,所以1x3,所以Bx|1x3.所以ABx|1x3,ABx|1x2.（RB）Ax|x2或x3,（RB）（RA）x|x1或x2.9.设集合A1
17、,2,4,Bx|x24xm0.若AB1,则B_.答案1,3解析AB1,1B.14m0,即m3.Bx|x24x301,3.10.（2019湖北黄石一中模拟）设集合My|y2cos x,x0,5,Nx|ylog2（x1）,则MN_.答案x|1x2解析My|y2cos x,x0,5y|2y2,Nx|ylog2（x1）x|x1,MNy|2y2x|x1x|1x2.11.设集合A1,1,2,Ba1,a22,若AB1,2,则a的值为_.答案2或1解析集合A1,1,2,Ba1,a22,AB1,2,解得a2或a1.经检验,a2和a1均满足题意.12.已知集合Ax|x2x0,xR,则集合A中的元素为_.若集合B满
18、足BA,则集合B的个数是_.答案1,04解析解方程x2x0得x1或x0,所以集合Ax|x2x0,xR1,0,故集合A中的元素为1,0.因为集合B满足BA,所以集合B的个数为224.13.（2020青岛模拟）已知集合AxR|x2|3,集合BxR|（xm）（x2）0,且AB（1,n）,则m_,n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x1,由AB（1,n）,可知m1,则Bx|mx2,画出数轴,可得m1,n1.14.设常数aR,集合Ax|（x1）（xa）0,Bx|xa1,若ABR,则a的取值范围为_.答案（,2解析当a1时,A（,1a,）,Ba1,）,当且仅当a11时,ABR,故1a2；当a1时,A
19、R,Bx|x0,ABR,满足题意；当a1时,A（,a1,）,Ba1,）,又a1a,ABR,故a1满足题意,综上知a（,2.15.（多选）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS,都有xy,xy,xyS,则称S为封闭集.下列命题中是真命题的有（）A.集合Sabi|a,b为整数,i为虚数单位为封闭集B.若S为封闭集,则一定有0SC.封闭集一定是无限集D.若S为封闭集,则满足STC的任意集合T也是封闭集答案AB解析两个复数的和、差、积仍是复数,且运算后的实部、虚部仍为整数,所以集合Sabi|a,b为整数,i为虚数单位为封闭集,A正确.当S为封闭集时,因为xyS,取xy,得0S,B正确.对于集合S0,显然满足所有条件,但S是有限集,C错误.取S0,T0,1,满足STC,但由于011不属于T,故T不是封闭集,D错误.16.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”.对于集合Mx|ax210,a0,N,若M与N“相交”,则a_.答案1解析M,由,得a4,由1,得a1.当a4时,M,此时MN,不合题意；当a1时,M1,1,满足题意.
