1、r:） % 作图，原散点数据用+标记xlabel（Hour）,ylabel（Degrees Celsius）运行结果：2. 二维插值（自变量是2维数据）zi = interp2（x0, y0, z0, xi,yi, method）其中，x0, y0, z0为原离散数据（x0, y0为自变量，z0为因变量）；xi, yi为需要插值的节点，method为插值方法。（1）要求x0, y0是单调的，xi, yi不超过x0, y0的范围，注意：要求xi取为行向量，yi取列向量；linear双线性插值；cubic双三次插值；默认为双线性插值。例2山区地貌：在某山区测得一些地点的高度如下表：（平面区域为：1
2、200=x=4000,1200=y=5）=nan; %将水深大于5的置为nan，这样绘图就不会显示出来二、 数据拟合拟合最常用的方法为最小二乘法。原理是：因变量的实际值与拟合值之差，称为残差（拟合误差），将所有残差平方后相加，即得误差平方和，“最好”拟合效果就是使误差平方和最小，于是运用极值原理，将“求最好拟合问题”转换为“求误差平方和最小”问题。Matlab实现：1. 多项式拟合f（x）=a1xm+ +amx+am+1a = polyfit（x0,y0,m）;y=polyval（a, x）;（1）x，y的长度相同，m为拟合多项式次数，m=1时，一次多项式对应一条直线，也称为线性拟合（一元线性
3、回归）；（2）a返回的是拟合多项式的系数：a1, a2, , am;（3）polyval函数用来计算拟合多项式在x点处的取值；（4）拟合多项式的次数一般为1-3次，不宜过高，否则有龙格现象（两端出现很大误差）。例4 1949年1994年我国人口数据资料如下：年份x01949195419591964196919741979198419891994人口数y05.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8分析我国人口增长的规律，预报2005年我国人口数。x0=1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994;y0=5.4 6.0
4、6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8;a=polyfit（x0,y0,1）; % 线性拟合x1=1949:0.5:1994;y1=polyval（a,x1）;% 或者直接用多项式计算：y1 = a（1）*x1 + a（2）;y1_2005=polyval（a,2005）b=polyfit（x0,log（y0）,1）; % 指数函数拟合y2=exp（b（2）*exp（b（1）*x1）;y2_2005=exp（b（2）*exp（b（1）*2005）plot（x0,y0,*hold on plot（x1,y1,-rplot（x1,y2,-klegend（,线性拟合曲线
5、指数拟合曲线y1_2005 = 13.5080y2_2005 = 15.0596（1）实际2005年人口是13.3 亿，可见线性拟合效果更好；（2）人口指数增长模型为：，两边取ln得ln y = ln a + bx令Y=ln y，A=ln a，B=b，则转化为直线方程：Y = A + Bx故可以作线性拟合得到A，B值，从而得到.一般可以转化为直线方程的曲线有：（Logistic生长曲线，就是S型曲线）2. 多元线性回归 i为回归系数，为残差。n=1时为线性回归。b,bint,r,rint,stats = regress（y,x,）;（1）整体是一个假设检验（是否符合多元线性关系）：原假设H0：
6、i=0（即不存在线性关系）备择假设H1：i0（回归式成立）；（2）若有常数项0，则x的第一列必须全为1；（3）为显著性水平的概率，默认是0.05;（4）b返回0, 1,n值的点估计，bint返回0, 1,n值的区间估计，r返回残差的点估计,rint返回残差的区间估计；（5）stats返回4个数：相关系数平方r2（越大越好，若小于0.5结果无价值）F统计量（用于计算概率）拒绝原假设的概率（回归方程：y= 4.1575 + 0.8950xbint= 2.4692 5.84584.15752.4692, 5.84580.6644 0.66440.89500.6644, 0.6644r = 0.100
7、0残差1: 5.6-（4.1575 + 0.8950*1.5）=0.10.65250.3575-0.3850-0.7701-1.5021 -0.05511.6024rint = -2.1283 2.32830.1000 -2.1283, 2.3283-1.5282 2.8332 -2.0074 2.7223-2.8445 2.0744 -3.1401 1.5999-3.2935 0.2893-2.3519 2.2417 0.4846 2.7201stat = 0.9376 90.1871 0.0001 1.0220 r2=0.9376 0.5（说明结果很好） 0.0001 = 0.05 （拒绝
8、原假设，接受备择假设）【残差r的平方和/数据个数-（n+1）】：（0.10002+0.65252+1.60242）/8-（1+1）=1.02203. 一般曲线拟合（非线性回归）曲线形式y=f（a, x）已知，但其中a=a1, a2, 为未知的待定系数。例如，已知曲线形式为y=f（a, x）=a1x2+a2sinx+a3x3，以及原始数据x1, , xn，y1, , yn，利用最小二乘法原理，求出让误差平方和F（a, x1）-y12+F（a, xn）-yn2取最小值的a1，a2，a3.从而得到拟合曲线方程。lsqcurvefit和lsqnonlin函数。（1） lsqcurvefit函数先定义形
9、式函数f（a,x）的M-文件fun.m;再调用x, resnorm, residual = lsqcurvefit （fun,x0,xdata,ydata,lb, ub, options）;（1）返回值x为拟合出的待定系数，resnorm返回残差的平方和（越小越好），residual返回残差；（2）fun为预定义的形式函数，xdata,ydata为已知数据，x0为迭代初始值（初始值选取的不同将影响拟合结果），lb，ub是可选参数，为x指定范围“下界和上界”；（3）options是可选参数，指定采用的优化参数，语法：OPTIONS = OPTIMSET（PARAM1,VALUE1,PARAM2,
10、VALUE2,.）示例：options = optimset（TolFun,1e-3）;注意：形式函数是以待定系数a和已知数据x作为参数，lsqcurvefit函数的参数中包含已知数据x，y.例6 用下面一组数据拟合中的待定系数a，b，k.tj1002003004006008001000cj（*10-3）4.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59该问题即解最优化问题：满足下式的的a，b，k:（lsqcurvefit函数）%函数单独存为m文件%function f=curvefun1（x,tdata） % tdata是向量f=x（1）+x（2）*exp（-0
11、.02*x（3）*tdata）;%其中 x（1）=a; x（2）=b; x（3）=k;end%tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59x0=0.2,0.05,0.05x,resnorm,residual=lsqcurvefit（curvefun1,x0,tdata,cdata）C_fit=curvefun1（x,tdata）plot（tdata,cdata,o,tdata,f,rx = 0.0069 -0.0029 0.0809拟合曲线：resnorm = 5.3938e-00
12、7（残差平方和）residual = 1.0e-003 *（残差）-0.0971-0.1739-0.2164 -0.2463-0.2666-0.2713-0.2651-0.2538-0.2436 -0.2313c_fit = 0.0044 0.0048 0.0051 0.0054 0.0056 0.0058 0.0060 0.0061 0.00630.0064（2） lsqnonlin函数与lsqcurvefit函数用法类似，不同在于形式函数只以待定系数a作为参数，但函数体里用到已知数据x, y.而在调用拟合函数时不再需要已知数据x,y作为参数：x, resnorm, residual = l
13、sqnonlin （fun,x0,lb, ub, options）;对于例6，调用lsqnonlin函数实现的代码如下：（运行结果一样）（lsqnonlin函数）%函数单独存为m文件%function f=curvefun2（x） cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59 f=x（1）+x（2）*exp（-0.02*x（3）*tdata）- cdata;x,resnorm,residua=lsqnonlin（curvefun2,x0）（3） nlinfit函数非线性拟合的通用函数，适用面比lsqcurvefit函
14、数广，例如可以做加权最小二乘拟合。回归： beta, r, J=nlinfit（x, y, model, beta0）;预测：Y, DELTA=nlpredci（model, x, beta, r, J）;（1）beta返回拟合的待定系数；r返回残差；J返回拟合函数的雅可比矩阵；（2）x、y为已知数据，分别为nm矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量；（3）model为预先定义的形式函数；beta0为指定的待定系数初始值；（4）nlpredic函数用来求nlinfit所得的拟合函数在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间YDELTA.例7混凝土的抗压强度随养护时间
15、的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，下表记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：养护时间x571417212856抗压强度y（+r）354247535965687376828699建立非线性回归模型：对其中的待定系数a，k1，k2，m进行拟合（回归），并对结果做检验。表中的+r代表加上一个-0.5,0.5之间的随机数。（使用了内联函数，也可以如前例将函数定义为m文件）x=2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56;r=rand（1,12）-0.5;y1=35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99;y=y1+r;myfunc=
16、inline（beta（1）+beta（2）*exp（beta（4）*x）+beta（3）*exp（-beta（4）*x）betaxbeta,r,J=nlinfit（x,y,myfunc,0.5 0.5 0.5 0.5）y_fit,delta=nlpredci（myfunc,x,beta,r,J）plot（x,y,x,y_fit,beta = 87.5790 0.0283 -62.7214 0.1070r = -1.7657 0.1376 0.0378 2.2882 1.1755 0.9553 -2.6909 -0.6823 -1.1195 0.6254 1.0755 -0.0368J = 1
17、.0000 1.2386 0.8074 101.3489 1.0000 1.3784 0.7255 136.6213 1.0000 1.5341 0.6518 163.7126 1.0000 1.7073 0.5857 183.9240 1.0000 2.1147 0.4729 208.0387 1.0000 2.6192 0.3818 216.1866 1.0000 3.6105 0.2770 209.6925 1.0000 4.4719 0.2236 198.1339 1.0000 6.1643 0.1622 175.9447 1.0000 9.4566 0.1057 144.9124 1
18、.0000 19.9978 0.0500 103.69391.0000 399.9116 0.0025 643.7199y_fit = 36.975142.117146.738350.891557.979663.707370.309973.6807 77.579381.2150 85.009898.7606delta = 2.66791.95901.59461.5085 1.6605 1.7740 1.7118 1.6162 1.5932 1.9392 2.95203.75214. Matlab曲线拟合工具箱简介基本步骤：（1）将已知数据预存在工作空间“workspace”；（2）命令窗口输入cftool回车，调出curve fitting t
