1、高中数学80个易错题汇总高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点 1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知 A = x | x 0, B = y y 1，求 A B 。错解： A B = 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果： A B = B【问题】2: 已知 A = y | y = x + 2, B = (x, y) | x 2 + y 2 = 4 ，求 A B 。错解：A B = (0, 2), (-2, 0)正确答案： A B = 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为 A 为点集。反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理
2、解集合的表示法，忽 视集合的代表元素。易错点 2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知 A = x | 2a x a 2, B = x | -2 x 0 且b 0”是“ a + b 0且 ab 0 ”的A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件错解：选 B剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。 正确答案：C反思：对于两个条件 A, B ，如果 A B ，则 A 是 B 的充分条件， B 是 A 的必要条件，如果 A B ，则 A 是 B 的充要条件。判断充要条件常用的方法有定义法；集合法；等价法。解题时最容易出
3、错的就是颠倒了充分性与必 要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不 充分不必要常借助反例说明。易错点 6 对逻辑联结词及其真值表理解不准【问题】: 命题 p：若 a、bR，则 a + b 1是 a + b 1的充分而不必要条件；命题 q：函数 y=| x - 1 | -2的定义域是（，1 3，+ ) ，则A“ p或q ”为假 B“ p且q ”为真 C p真q假 D p假q真错解一：选 A 或 B剖析：对真值表记忆不准，本题中 p假q真，因此“ p或q ”为真，而“ p且q ”为假。错法二：选C剖析：基础不牢，在判断命题 p, q 真
4、假时出错。正确答案：D反思：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：“ p或q ”有真则真；“ p且q ”有假则假；“ 非p ”真假相反。易错点 7 否定全称、特称命题出错【问题】写出下列命题的否定：1p ：对任意的正整数 x,x2 x ；2q：存在一个三角形，它的内角和大于1800 ；3r:三角形只有一个外接圆。错解： p ：对任意的正整数 x, x2 x ； q ：所有的三角形的内角和小于1800 ；2 r :存在一个三角形有且只
5、有一个外接圆。剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。正确答案： p ：存在正整数 x, 使 x2 0 ，函数定义域为(-1, 4)，又内层函数u = 4 + 3x - x 2 在 1, 为增函数，在 , +) 为2 2减函数，原函数增区间为(- 3 。1, 2剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。3正确答案： , 4)2反思：求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减”法则写单调区间。 解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。易错点 12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论【问题】: 函数 f (x)
6、= (m -1)x 2 + 2(m +1)x -1 的图象与 x 轴只有一个交点，求实数 m 的取值范围。错解：由 = 0解得 m = 0或m = -3剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑 m -1 = 0 的情况。正确答案： -3, 0,14反思：在二次型函数 y = ax2 + bx + c 中，当 a 0 时为二次函数，其图象为抛物线；当 a = 0,b 0 时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意 x2 项的系数是否为 0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：ax2 + bx + c 0解集为 R a 0, 0ax
7、2 + bx + c 0解集为 a 0, 0或a=b=0,c 0易错点 13 用函数图象解题时作图不准【问题】: 求函数 f (x) = x2 的图象与直线 f (x) = 2x 的交点个数。错解：两个剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。正确答案：三个反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我 们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。易错点 14 忽视转化的等价性【问题】1: 已知方程 mx2 - 3x +1 = 0 有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数 m 的
8、取值范围。错解：方程 mx2 - 3x +1 = 0 有且只有一个根在区间（0，1）内，函数 y = mx2 - 3x + 1的图象与 x 轴在（0，1） 内有且只有一个交点， f (0) f (1) 0 ，解得 m 2剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到=0 情况。正确答案：m2 且 m=9/4【问题】2:函数 y = e|ln x| - | x - 1 |的图象大致是（ ）剖析：在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。在图象变换过程中出错，搞错平移方向。正确答案：D反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性， 反
9、之会出现各种离奇的错误。易错点 15 分段函数问题ax【问题】1:.已知 f (x) = (2 - a) x +1x 0.剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程 f (x) = x 分两种情况来解。正确答案：三个反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论， 同时还要关注分界点附近函数值变化情况。易错点 16 函数零点定理使用不当【问题】若函数 f (x) 在区间-2,2上的图象是连续不断的曲线，且 f (x) 在（-2,2）内有一
10、个零点，则 f(-2)f(2)的值 （ ）A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能确定错解：由函数零点存在定理知，f(-2)f(2)0，故选 B剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数 f (x) 在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(-2)f(2)0，否则 f(-2)f(2)0.正确答案：D反思：函数零点定理是指如果函数 f (x) 在区间a, b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ，那么函数 f (x) 在区间(a, b) 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点
11、”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。易错点 17 混淆两类切线的概念【问题】: 若直线 y = kx 与曲线 y = x3 - 3x2 + 2x 相切试求 k 的值。（提示 y=kx 即过原点的切线）错解： y = 3x2 - 6x + 2 ，斜率 k = 2 ，剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。1正确答案： k = 2或k = -4反思：曲线在点 P 处的切线”P 为切点且 P 在曲线上，而“过点 P 的切线”仅能说明点 P 在曲线的切线上。易错点 18 误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系【问题】:函数 f (x) = x3 + ax2 + b
12、x + a2 在 x=1 处有极值 10，求 a, b 的值。错解：由 f (1) = 10, f (1) = 0 解得 a = 4,b = -11或a = -3,b = 3剖析：对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把 f (x0 ) 为极值的必要条件当作充要条件。6正确答案：a=4,b=-11反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0 的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于 0 的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为 0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是
13、 f (x0 ) = 0且f (x)在x0两侧异号。易错点 19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻【问题】:若函数 f (x) = ax3 - x 在 R 上为减函数，求实数 a 的取值范围。错解：由 f (x)=3ax2 -1 0 在 R 上恒成立， a 0，解得a 0 = 12a 0剖析：概念模糊，错把 f (x) 在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上 a = 0 时满足题意。正确答案： a 0反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为 0。切记导函数在某区间
14、上恒大（小）于 0 仅为该函数在此区间上单调增（减） 的充分条件。易错点 20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【问题】: 已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则 y = f(x)的图象最有可能的是 .错解：选 A, B, D剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于 f (0) = f (2) = 0 ，且两边值符号相反，故 0 和 2 为极值点；又因为当x 2 时， f (x) 0 ，当0 x 2时， f (x) 0 ，所以函数 f (x) 在(-, 0)和(2,+)上为增函数，在(0, 2)上为减函数。正确答案：C反思：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原
15、函数的极值点关系极值点的导数值为 0；导函数值的符号与原函数单调性的关系原函数看增减，导函数看正负。求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。易错点 21例 f (x ) =a 2x -1 1+ 2x是 R 上的奇函数，（1）求 a 的值（2）求的反函数 f-1 (x )剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用 f (x ) + f (-x ) = 0 （或 f (0) = 0）求得 a=1.7（2）由 a = 1即 f (x ) =2x -12x +1，设 y = f (x ),则 2x (1 - y ) = 1 + y 由于
16、 y 1故 2x =1+ y1- y1+ y2， x = log 1- y ，而f (x ) =2x -12x +1= 1- 2 (-1,1)所以 f2x +11+ x2-1 (x ) = log 1- x (-1 x 1)反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R可省略）。（2）应用 f -1 (b) = a f (a) = b 可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。x -1【练 3】函数 f (x ) =A、 y = x2 - 2x + 2 (x 1)C、 y = x2 - 2
17、x (x 1)+ 1(x 1)的反函数是（ ）B、 y = x2 - 2x + 2 (x 1)D、 y = x2 - 2x (x 1)答案：B三、数列易错点 22 由 Sn 求 an 时忽略对“ n = 1”检验n n n【问题】:已知数列 a 的前 n 项和 S = n2 - n + 1，求 a 。错解：由 an =Sn - Sn -1 解得 an =2n - 2剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了 an =Sn - Sn -1 成立的条件 n2，实际上当 n=1 时就出现了 S0，而 S0 是无意义的， 所以使用 an =Sn - Sn -1 求 an ，只能表示第二项以后的各项，而第一项能
18、否用这个 an 表示，尚需检验。正确答案： an= 1 (n = 1)2n - *2(n 2, n N )反思：在数列问题中，数列的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间关系如下an= S1S n - Sn-1(n = 1) (n 2, n N * )，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列 an 的 an 与 Sn 关系时，先令 n = 1求出首项 a1 ，然后令 n 2 求出通项 an = Sn - Sn -1 ，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令 n 2 求出通项 an = Sn - Sn -1 ，也不对 n = 1进行检验。易错点 23 忽视两个“中项”的区
19、别【问题】:b2 = ac 是 a, b, c 成等比数列的 （ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件错解： C8剖析：思维不缜密，没有注意到当 b2 = ac正确答案：B时， a, b, c 可能为 0。反思：若 a, b, c 成等比数列，则b 为 a 和c 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “ b2 = ac ”仅是“ b 为 a 和c 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。易错点 24 在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。【问题】已知数列an
20、是等差数列，且 a1 = 2, a1 + a2 + a3 = 12（1）求数列a 的通项公式（2）令b = a xn (x R )求数列b 前项和的公式。n n n n剖析：本题根据条件确定数列an 的通项公式再由数列bn 的通项公式分析可知数列bn 是一个等差数列和一个等比数列构成的 “差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：（1）易求得 an = 2n（2）由（1）得bn= 2nxn 令 s = 2x + 4x2 + 6x3 + + 2nx n （）则 xs= 2x2 + 4x3 + + 2 (n - 1)x n + 2nx n +1 （）nnn用（）减去（）（注意错过一位再相减）得(1 - x)s = 2x + 2x2 + 2x3 + + 2xn - 2nxn+1 当x 1 s =2 x (1 - xn ) -nx n+1 当 x = 1时 s= 2 + 4 + 6 + + 2n = n (n + 1)n综上可得：1 - x 21 - x n x (1 - xn ) 当 x 1 sn= 1 - x 1 - x-nx n+1 当 x = 1时 sn
