1、线面垂直的判定与性质 线面垂直知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，
2、如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.题型示例 【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，例1题图ABC=90，SA平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EFSC.【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设EFSC成立，结合AFSC可推证SC平面AEF，这样SCAE，结合AESB，可推证AE平面SBC，因此证明AE平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA平面ABC，ABC=90，可以推证BCAE，结合AESB完成AE平面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解
3、决问题的关键.【例2】 已知：MN=AB,PQM于Q，PON于O，ORM于R，求证：QRAB.【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）ab,acbc;(2)a,bab;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四
4、条线.【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AAA1A1,B、C、B1、C1 分别为AA,A1A的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1BC1，求证:A1CAB1.例3题图解(1)【解前点津】 题设主要条件是AB1BC，而结论是AB1A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为
5、平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.例4题图【例4】 空间三条线段AB,BC,CD,ABBC,BCCD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,AD1的长是AD的最小值,其中AHCD1,AH=BC=4,HD1=3,AD1=5;
6、在直角AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： bM bM.其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直
7、线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 ( )第3题图A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.
8、且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直； 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，则下面正确的结论是 ( )A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，
9、为平面，且l，给出下列命题1 若m，则ml；若ml，则m；若m，则ml；若ml，则m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活11.如图所示，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面的同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，则ABC的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1CB1D1(注:填上你
10、认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1)求证:VCAB;(2)若二面角EABC的大小为30,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45，求证：MN平面PCD.16.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面AB
11、CD是平行四边形，BAD60，AB4，AD2，侧棱PB，PD.(1)求证：BD平面PAD. (2)若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M 18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.(1)求证：NP平面ABCD. 第18题图(2)求平面PNC与平面CCDD所成的角.(3)求点C到平面DMB的距离.第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平
12、面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 过a上任一点作直线bb,则a，b确定的平面与直线b平行.5.A 依题意,m且m,则必有,又因为l=则有l,而m则lm,故选A.6.D 过P作PDAB于D，连CD，则CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 设正三角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2
13、=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面
14、ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC与面ABC所成角为60.15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，则有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平
15、面ABCD，PAAD.又PDA45，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB4，AD，BAD60，第16题图解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，连
16、PF，则PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小为arctan.17.连结AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1MAC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂线定理知AB1A1M. 点评：要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.(1)证明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即为所求二面角的大小.(3)由已知棱长为a可得，等腰MBC面积S1，等腰MBD面积S2，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为，
