1、5、77像这样幻方，称之为奇数幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。例题：在一个55的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢：一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。291857461031129你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！幻方（第三课时）根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。【思路点拨】再来重温一下口诀吧！把1-
2、49这49个数字填入下面方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。把1-81这81个数字填入下面表方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。幻方（第四课时）上面三讲我们学习了奇数幻方的填法，那么偶数幻方该怎样填呢？下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。将1-16这16个数填入下面这个44的方格内，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。首先，偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律，它的填写要求是：调换（数与数间的调换）先把1-16这16个数按顺序填好。如：1213141516第二步：画两条对角线，把对角线所划住的数字不动。第三步：把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。215， 314,5
3、12,89，最后形成新的方格。幻方（第五课时）知识概述对于幻方中偶数幻方的知识，是非常多的，至于八阶幻方，十二阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧：偶阶幻方分两类:双偶数:四阶幻方，八阶幻方、十二阶幻方,.,4K阶幻方，（K表示一个非零自然数）可用,方法很简单:1）把自然数依次排成方阵2）把幻方划成44的小区,每个小区划对角线,3）把这些对角线所划到的数,保持不动,4）把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调,【与44幻方的方法一样】5）幻方完成!1718192021222324252627283031323334353637383940414243444546474849
4、505152535455565758596061626364现在试着完成一下八阶幻方吧你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢？同步精练：把1-144这144个数填入1212的方格内，使其成为一个十二阶幻方。恭喜你顺利完成了考验！练习卷按要求填写幻方：1、 三阶幻方2、 四阶幻方3、 五阶幻方4、 七阶幻方5、 八阶幻方6、 九阶幻方第二讲可能性的大小（游戏与对策）例1有一堆棋子共53颗，甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。规定谁拿走最后1颗棋子，谁就获胜。如果甲先拿，那么他有没有获胜的策略？由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子，即每次保证两人共拿走1+2=3颗，53颗共要取533=17
5、（次）2（颗），即要保证甲先取获胜，那么甲应先取余下的那2颗。这样下面轮流时，甲只需要与乙拿的总和是3就必胜无疑了。关键看两个人拿的时候最多合拿几个，然后再看看剩余几个，就把那剩余的先拿走，这样先拿的人就容易取胜了。同步精练1、 有287个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，每人每次最多取2个，最少取1个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他应该如何安排？2、有388个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛。比赛的规则是：甲乙轮流取，每人每次取1个、2个、或3个，取最后一个球的人为失败者。如果甲先取，甲为了取胜，他应该采取怎样的策略？3、有197粒棋子，甲乙二人分
6、别轮流取棋子，每次至少取1个，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取？你认为先取的获胜，还是后取的获胜？第二课时例2有两堆火柴，一对26根，一堆11根。甲乙两人轮流从中拿走1根或几根，甚至一堆，但每次都只能在一堆里拿火柴，谁拿走最后一根算谁赢，问甲如何取胜？【思路点拨】这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆里取相同的根数，就能保证取到最后一根。对一般情况，可设法将它转化为特殊情况，所以要先取走多的那几根就行了。1、有两个箱子分别装有63、108个球。甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。规定取到最后
7、一个球的为胜者。甲先取，他应如何才能获胜？2、取两堆石子，游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子（甚至可以把这堆石子一次拿走完），但每次至少拿1粒，不准同时在两堆中拿，谁拿最后一粒谁就获胜，问如何才能取胜？3、下面是个圆形，两人轮流在圆形中画规定了大小的，没人每次画一个，所画的不能与已画的相交或重叠，圆形总有被画满的时候，谁画最后一个，谁就获胜。如何才能获胜？1、有一枚骰子，六个面分别写着1-6六个数，两次掷这枚骰子，将两次朝上的面上的数相加，和的个位数字最大的可能性是（）。2、有102粒纽扣，两个人轮流从中取几粒，每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问保证一定获胜的
8、策略是什么？3、桌面上有199根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根，谁取到最后一根火柴为胜，问获胜的策略是什么？4、王叔叔体重75千克，他从地里摘了2筐西瓜，每筐35千克，王叔叔回家要经过一座小桥，小桥只能载重100千克，请你给他想个办法，让他和西瓜一次安全地过河去。5、一笔画出（笔尖不离开纸）由四条线段连接而成的折线，把下面九个点串起来，你能做到吗？第三讲图形的面积（一）第一课时例1已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。5厘米4厘米4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是28平方厘米，它的底为284=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，
9、7-5=2（厘米）。根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简便的方法。1.下面的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。15厘米25厘米2已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。6厘米3如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米）例2下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。仔细观察本题的图，我们可以
10、发现，如果延长GA和FC，它们会相交（设交点为H），这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分（AGB、BFC及AHC）的面积都能直接求出。1、求右图中阴影部分的面积。2、求右图中阴影部分的面积。第三课时例3如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，即甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）（甲+四边形ABCF）-（乙+四边形ABCF）=6（平方厘米）即：正方形ABCD-A
11、BE=6（平方厘米）这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积，再用三角形的面积乘以2再除以AB，就得到BE的长度，从而求出CE的长度。1、四边形ABCD是一个长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。求CF的长是多少厘米？2、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求：（1）三角形DEF的面积。（2）CF的长。第四讲认识分数知识概述把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示ab=（b0）。分数可以分
12、为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。例题精学例1：分母是91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是91的真分数一共有90个，分别是，,其分子是190的自然数。在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。要求最简真分数，那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。而91=713，在190的自然数中，7的倍数有131=12（个），13的倍数有71=6（个），这样分子可取的数一共有90（12+6）=72（个）。1.分
13、母是51的真分数有多少个？2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？3.分数中的a是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a最小是多少？例2把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于，原分数是多少？（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1.（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在的分子比分母小1，说明进行过约分了，未约分前的分子比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母
14、加上1之后，再把分子分母同时除以2所得到的分数是，说明约分前是，这样原分数应是。第（2）题请你自己思考。1. 一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是2. 一个分数约分成最简分数是原分子、分母的和是90，原分数是多少？例3分数的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是，求减去的数。【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的分子与分母的差是13673=63，得到的新分数的分子与分母的差也是63.而新分数约分后变成，92=7，因此可知约去的数是637=9.新分数是=，这样就可以求出减去的数是多少了。1.的分子、分母同时加上多少后就可以约分为？2.
15、一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是，原来这个数是多少？3. 一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为，求这个分数第四课时例4分数的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为，求某数。【思路点拨】分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变。原分数的分子、分母之和为55+64=119，说明新分数的分子、分母之和也是119，而新分数约分后是，分子、分母的和是4+13=17，因此可知约去的数是11917=7。新分数为这样可以推算出这个原数了。1.的分子减去某数，而分母加上某数后约分为2.有一个分数，分子加上1可约分为
16、，分子减去1可约分为，求这个数。3.一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是；如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是，求原分数是多少？1、填空题。（1）一个最简分数的分子、分母之积是30，这个最简分数是（）。（2）一个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数是（）。（3）分母是85的真分数共有（）个，分母是85的最简真分数共有（）个。（4）一个分数的分子、分母之和是90，约分后是，求原来的分数是（）。（5）一个最简真分数，把它的分母扩大5倍，而分子缩小4倍，化简后是，求这个最简真分数是（）。2、分数的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得，求这个自然数。3
17、、分数的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为第五讲相遇问题相遇问题中数量之间的基本关系式：速度和相遇时间相遇路程相遇路程速度和相遇时间相遇路程相遇时间速度和【例1】：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行，公共汽车每小时40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某
18、一时刻，两车再一次相距90千米。这时两车共行的路程为（450+90）千米。所以：（450-90）（40+50）=4（小时）或（450+90）（40+50）=6（小时）答：两车在出发后4小时相距90千米，在出发后6再一次相距90千米。1.一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行。甲每分钟走66米，乙每分钟走59米。经过几分钟才能相遇？2、两地相距1200千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时行120千米，乙每小时行180千米，多少小时后，两车相差300千米？【例2】甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2
19、小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小树，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。乙车先行的路程：412=82（千米），甲乙两车同时相对而行路程：770-82=688（千米），甲车行的时间：688（45+41）=8（小时）甲车行8小时后与乙车相遇。解题技巧：关键抓住先走的车，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后计算两车（人）真正相距的路程，是解答此类问题的关键。小丽家距学校有1500米，中午11
20、:40分放学回家时，小丽从学校以每分钟50米的速度回家，走了4分钟后，爸爸骑自行车从家出发去接小丽，爸爸的速度是每分钟150米，爸爸出发多长时间会接到小丽？某送货员从A乡镇往B乡镇去送货，他以每小时40千米的速度开摩托车前往，走了0.5小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发2小时后接到了送货员，已知接货人的速度是每小时60千米。问：A、B两个乡镇相距多少千米？【例3】两地相距900米，甲乙二人同时同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？【分析与解】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，然后返
21、回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问题，把同向走的时间与相遇走的时间相加就是共同经过的时间。已到达目的地时间：900100=9（分钟），甲9分钟走的路程：809=720（米），甲距目标还有：900-720=180（米），相遇时间：180（100+80）=1（分钟），共用的时间为：9+1=10（分钟）。1、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180米处与妹妹相遇，他们家离校多远？2、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇，A、B两地间的距离是多少千米？【例4】：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？【分析与解】要求狗一共走了多少千米，如果你认为求出狗与甲和乙相遇了多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就是甲乙二人相遇的时间，因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。甲乙二人相遇时间：100
