1、初中平面几何一题多变可编辑修改word版平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨， 以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、（增加题 1 的条件）AE 平分BAC 交 BC 于 E， 求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题
2、 1 的条件）CE 平分BCD，AF 平分BAC 交 BC 于 F求证：（1）BFCE= BEDF（2）AECF（3）设 AE 与 CD 交于 Q，则 FQBC21、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，以 CD 为直径的圆交 AC、BC于 E、F，求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和 16 题有无联系）22、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，以 AD 为直径的圆交 AC 于 E， 以 BD 为直径的圆交 BC 于 F，求证： EF 是O1 和O2 的一条外公切线23、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC 为直径
3、的圆 O1，和以 CD 为弦的圆 O2，求证：点 A 到圆 O2 的切线长和 AC 相等（AT=AC）24、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足， E 为 ACD 的中点，连 ED 并延长交 CB 的延长线于 F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，O1 与O2 外切与点 D， 内公切线 DO 交外公切线 EF 于点 O， 求证：OD 是两圆半径的比例中项。题 14 解答：因为 CD2=ADDB AC2=ADAB BC2=BDAB所以 1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBDAB）=AB/ADBDAB=1/ADBD=1/CD
4、215 题解答：因为 M 为 AB 的中点，所以 AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM AC2-BC2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在 19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F，FGAB 交 BC 于点 G， 求证：CE=BG27、（在 19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F，FGBC 交 AB 于点 G，连结 EG， 求证：四边形 CEGF
5、 是菱形28、（对 19 题增加一个结论）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F，求证：CE=CF29、（在 23 题中去掉一个圆）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC为直径的圆 O1，求证：过点 D 的圆 O1 的切线平分 BC30、（在 19 题中增加一个圆）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BAC 交 BC 于 E，交 CD于 F，求证：CED 平分线段 AF31、（在题 1 中增加一个条件）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，A=
6、30 度， 求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第 117 页第 3 题） 32、（在 18 题基础上增加一条直线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作BCE=BCD P 为 AC 上任意一点，直线 PQ 交 CD 于 Q，交 CB 于 M，交 CE 于 N求证：PQ/PN=QM/MN32 题证明：作 NSCD 交直线 AC 与点 S， 则 PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题 33在“题一中”，延长 CB 到 E
7、，使 EB=CB，连结 AE、DE， 求证：DEAB= AEBE题 33 证明CB2= BDAB 因 EB=CBEB2= BDABEB：BD=AB：BE 又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDEAB= AEBE题 34（在 19 题基础上增加一条垂线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分 CD 于 F，EGAB 交 AB 于点 G， 求证：EG2= BEEC证明：延长 AC、GE，设交点为 H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEHEG= BEEC又 HGCD，CF=FDEH=EGEG2= BEEC题 35（在题 19 中增加点 F）已知，ABC
8、中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BCA 交 BC 于点 E，交 CD 于 F， 求证：2CFFD = AFEF题 36、（在题 16 中，减弱条件，删除ACB=90 度这个条件）已知，ABC 中， CDAB，D 为垂足，DEAC 于 E，DFBC 于 F， 求证：CE/BC=CF/AC题 37（在题 17 中，删除ACB=90 度和 CDAB，D 为垂足这两个条件，增加 D 是 AB 上一点， 满足ACD=ABC）已知，ABC 中，D 是 AB 上一点，满足ACD=ABC，又 CE 平分BCD求证：AE2= ADAB题 38已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D
9、 为垂足，PC 为ABC 的切线求证：PA/AD=PB/BD题 39（在题 19 中点 E“该为 E 为 BC 上任意一点”）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为 BC 上任意一点，连结 AE，CFAE，F 为垂足，连结 DF， 求证：ADFAEB题 40：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题 41已知，如图，ABC 中， CDAB，D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD， 求ACB 的度数。题 42已知，CD 是ABC 的 AB 边上的高， D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD， 则ACB 一定是 90
10、度吗？为什么？题 43：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，ADC 的内切圆O1，BDC 的内切圆O2，求证：SO1：SO2=AD：DB题 44：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，ADC 的内切圆O1 的半径R1，BDC的内切圆O2 的半径 R2，ABC 的内切圆O 的半径 R，求证：R1+R2+R=CD题 45、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和以 BD为直径的圆 O2，设 O1 和 O2 在ABC 内交于 P求证： PAD 的面积和PBC 的面积相等题 45 解：CAP=CDP=DBP（圆
11、周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD 和CPB 互补（APC+BPD=180 度）S PAD=1/2APPDsinAPD S PBD=1/2BPPCsinCPBS PAD= S PBD题 46（在题 38 的基础上变一下）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，PC 为ABC 的切线，又 CE 平分ACB交ABC 与 E，交 AB 与 D ， 若 PA=5，PC=10， 求 CDCE 的 值题 47在题 46 中，求 sinPCA题 48（由题 19 而变）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分ACB 交 BC 于 E，
12、EGAB 交 AB 于点 G， 求证：（1）AC=AG（2）、AG2= ADAB（3）、G 在DCB 的平分线上（4）、FGBC（5）、四边形 CEFG 是菱形题 49题 49 解答：题目 50（题 33 再变）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE交 CD 的延长线于 F，如果此时 AC=EC， 求证： AF= 2FE题 50 解：过点 E 作 EMCF，M 为垂足，则 AD：DB=AC2：CB2=4：1又 DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1ADFEMFAF：EF=AD：EM=2：1AF=2EF题目 51（题 50 中
13、连一线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE交 CD 的延长线于 F，连结 FB，如果此时 AC=EC， 求证： ABC=EBF（题 51 的几种解法） 解法 1、作ACB 的平分线交 AB 于点 G，易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题 51 解法 2作ACB 的平分线交 AB 于点 G，交 AE 于点 P， 则点 G 为ACE 的垂心，GFCE又AEC=GCE，四边形 CGFE 为等腰梯形CG=EF再证CBGEBFABC=EBF题 51 解法 3作ACB 的平分线交 AB 于点 G，交 AE 于点 P，
14、 则点 G 为ACE 的垂心，易证APGCPF（AAS）PG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBP（SAS）PBG=FBPABC=EBF题 51 解法 4（原题图） 由题 50 得，AF=2EFAF：EF=AC：BE=2 又CAF=BEF=45 度ACFEBFACF=EBF 又ACF=CBAABC=EBF题 51 解法 5作 MECE 交 CD 的延长线于 M， 证ABCCME（ASA）ABC=M再证MEFBEF（SAS）EBM=MABC=EBF题 51 解法 6作点 B 关于点 C 的对称点 N，连结 AN， 则 NB=2BE，又由题 50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=
15、N（对称点）ABC=EBF题 51 解法 7过点 C 作 CHBF 交 AB 于 M，B 为 CE 的中点， F 为 HE 的中点又由题 50，AF=2EF，H 为 AF 的中点又 CHBFM 为 AB 的中点MCB=MBC 又EBM=MCBABC=EBF题目 52（题 50、51 结论的引伸）已知，ABE 中，AC=EC，ACE=90 度，CDAB 交斜边 AB 于 F，D 为垂足， B 为 CE 的中点，连结 FB，求证：（1）、AF=2EF（2）、ABC=EBF（3）、EBF= E+BAE（4）、ABF=2DAC（5）、AB：BF=AE：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：D
16、B=2AF：EF（8）、CD/DFFA/AEEB/BC=1 题目 53 （题 52 的一部分）已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB 求证：、AF=2EF、ABC=EBF（题 53 的 14 个逆命题中，是真命题的请给出证明） 题目 54（题 53 的逆命题 1）已知如图，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB 求证：、AC=CE、ABC=EBF 平面几何一题多变题目 55（题 53 的逆命题 2） 已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、CFAB 求证：、ACCE、ABC=EBF题目 56（题 53 的逆命题 3） 已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2
17、EF、CFAB 求证：、CB=BE、ABC=EBF题目 57（题 53 的逆命题 4） 已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、CB=BE求证：、CFAB、ABC=EBF题目 58（题 53 的逆命题 5） 已知如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、CFAB 求证：、AF=2EF、AC=CE题目 59（题 53 的逆命题 6） 已知如图，、AC=CE、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、ACCE题目 60（题 53 的逆命题 7） 已知如图，、AC=CE、ACCE、ABC=EBF、CFAB 求证：、AF=2EF、CB=BE题目 61（题 53 的逆命题 8
18、） 已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、CFAB题目 62（题 53 的逆命题 9） 已知如图，、AF=2EF、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AC=CE、ACCE题目 63（题 53 的逆命题 10） 已知如图，、ACCE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、AC=CE、CB=BE题目 64（题 53 的逆命题 11） 已知如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、AF=2EF求证：、AC=CE、CFAB题目 65（题 53 的逆命题 12） 已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、ACCE
19、、CB=BE题目 66（题 53 的逆命题 13） 已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、ABC=EBF求证：、ACCE、CFAB题目 67（题 53 的逆命题 14） 已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、ABC=EBF求证：、CB=BE、CFAB 题目 68已知如图，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，CM 平分ACB，如果 SACM=30，SDCM=6， 求 SBCD=？（题 68 解答） 解：设 SBCD=x,则 SACM/ SCMB=30/（6+ x）=AM/MB SACD/ SCDB=36/ x=AD/DB又 AC2= ADAB BC2= BD
20、ABAC2/ BC2=AD/BDCM 平分ACB（AM/ BM）2=AD/BD30/(6+x)2=36/x 解方程得 x=4 或 x=9SBCD=4 或 SBCD=9题目 69已知如图，ABC 中，ACB=90 度，D 为斜边 AB 上一点，满足 AC2= ADAB求证：CDAB题目 70已知如图，ABC 中，ACBC,ACB=90 度，CM 平分ACB，且 CM+CB=AC， 求证：1/AC-1/BC=2题 70 证明：过点 M 作 MDBC，D 为垂足，作 MDAC，E 为垂足， 设 ME=x,AC=b,BC=a,则 CM=2 x，AE=b-x,由 AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b
21、=x/a,x=ab/(a+b) 又 CM+CB=AC2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得：b2-a2=2ab 两边都除以 ab,1/AC-1/BC=2题目 71(依题 68 变)已知如图，ABC 中（ACBC），ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，CM 平分ACB,且 BC、AC 是方程 x2-14x+48=0 的两个根， 求 AD、MD 的长。题目 71 解：显然，方程 x2-14x+48=0 的两根为 6 和 8， 又 ACBCAC=8，BC=6由勾股定理 AB=10ACDABC，得 AC2= ADABAD=6.4CM 平分ACBAM/MB=AC/CB解得，AM=4
22、0/7MD=AD-AM=24/35题目 72已知如图，ABC 中，ACB=90 度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点 A正好落在 BC 上，而且AMN 是正三角形， 求AMN 与ABC 的面积之比。题 72 解：ACB=90 度，AB=2ACB=30 度由题意，四边形 AMAN 是菱形，ABMABCAM/AC=BM/AB设 AM=x, AB=2AC=2ax/a=(2a-x)/2ax=2a/3由三角形面积公式，得SAMN：SABC=2：9题目 73已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足求证：AB+CDAC+BC题 73 的证明：由三角形面积公式，得 ABCD=A
23、CBC 2ABCD=2ACBC又勾股定理，得 AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又 AB、CD、AC、BC 均大于零AB+CDAC+BC题目 74已知，ABC 中，ACB90 度，CDAB，D 为垂足求证：AB+CDAC+BC题 74 证明：如图，作 CBAC 交 AB 于 B,于是有ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得 AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2A
24、BCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又 AB、CD、AC、BC 均大于零AB+CDAC+BC在ABB中,BBCB-CB+得 AB BB+CDAC+BC CB-CBAB+CDAC+BC题目 75已知如图，ABC 中， CDAB，D 为垂足，CT 平分ACB，CM 为 AB 边上的中线， 且ACD=DCT=TCM=MCB求证：ACB=90 度题目 75 的证明：延长 CT 交三角形 ABC 的外接圆于 N，连结 MN， 则 N 为弧 AB 的中点，所以 MNAB，又 CDAB，MNCDDCT=TNM 又DCT=TCMTCM=TNM
25、CM=NMCN 的垂直平分线必过点 M，又 CM 为 AB 边上的中线，MNABAB 的垂直平分线必过点 M，即 M 为两条弦的垂直平分线的交点，M 为三角形 ABC 的外接圆的圆心， 因此 AB 为ABC 的外接圆的直径。ACB=90 度题目 76已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，ACB 的平分线 CG 交 AB 边上的中垂线于点 G ， 求证：MC=MG题目 77已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，CM 为 AB 边上的中线，CD 是ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,求 CD、CM、CE 的长题目 78已知，ABC 中，ACB
26、=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点， 且弧 AC=弧 CE，又 AE 交 CD 于 M，求证：AM=CM题目 79（题 78 再变）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点，且弧 AC=弧 CE， 又 BC 交 AE 于 G，连结 BE求证：BG2= ABBE- AGGE题目 80已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点，且直线 DC 于直线 BE 交于 P，求证：CD2= DMDP题目 81已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点，且直线 DC 于直线 BE
27、交于 P，如果 CD 平分 AE，求证： 2DMDP= BEEP题目 82已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点， 且弧 AC=弧 CE，又直线 AC 与直线 BE 交于 H，求证： AB=BH题目 83(由题 44 变)求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。题目 84已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，MN 切ABC 与 C 点求证： BC 平分DCN题目 85已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，MN 切ABC 与 C 点，AFMN，F 为垂足，AEMN，E 为垂足， 求证：CD=CE=CF题目 86已知，ABC 中，ACB=90 度， 以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D，以 AC 为半径的圆交 AB于点 E，求证：B
