1、七年级数学二元一次方程组4.1二元一次方程4.2二元一次方程组4.3解二元一次方程组(第一课时)4.3 解二元一次方程组（第二课时）4.4二元一次方程组的应用(第一课时)4.4 二元一次方程组的应用(第二课时)4.1二元一次方程【教学目标】 知识目标： 1、通过观察，归纳二元一次方程的概念 ，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. 2、二元一次方程解的不定性和相关性，即二元一次方程的解有无数个，但又不是任意两个数是它的解。 过程与方法：通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法。 情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观
2、点。【教学重点、难点】 重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。 难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。【教学过程】一、 复习引入：（1） 方程的概念；一元一次方程的概念；什么是方程的解？一元一次方程的解如何表示？（2） 合作学习：小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角。小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？ 这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？ 如果设需要票额为6角的邮票x张，需要票额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？ 在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶
3、3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，你能列出方程吗？二、 新课教学 这就是我们今天要学习的4、1二元一次方程（板书课题） （1） 观察上述两个方程，归纳特点 （2） 讨论选择正确概念 1 含有两个未知数的方程叫二元一次方程。 2 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1次的方程叫二元一次方程。 （3） 做一做P861，2 （4） 例：已知方程3x+2y=10 1 用关于x的代数式表示y （分析：只要把方程3x+2y=10看作未知数是y的一元一次方程，解关于y的方程）2 求当x=-2，0，3时，对应的y的值 （提问：把x=-2，y=8代入方程3x
4、+2y=10，能否使其左右两边相等？ 回忆方程解的概念，得出x=-2，y=8是二元一次方程3x+2y=10的一个解，记作。 同理试写出该方程的两个解（注意写法格式） 思考：方程3x+2y=10的解有多少个？ 师归纳：二元一次方程解具不定性和相关性 （5） 练习：P88课内练习1，2 （6） 补充练习：P89-作业题4（说明：方程的解须是正整数）已知，是方程2x+3y=5的一个解，那么由此可知道些什么？ （说明：1本例是根据教科书P89-B组第5题改编。原题要求a的值，但学 生常常有困难，因此这里把原题改为开放式命题，看起来似乎比原 题要求高了，其实有利于各类学生参与并寻求结论。 三、 课堂小结
5、：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式） 二元一次方程解的不定性和相关性 会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式 四、 作业 ：课堂作业本4.2 二元一次方程组【教学目标】1 了解二元一次方程组的概念。2 理解二元一次方程组的解的概念。3 会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解。【教学重点 难点】重点：归纳二元一次方程组及其解的概念。难点：本节范例的问题情境比较复杂、并用列表的方法求出方程组的解。【教学过程】一 复习前课教学中的有关存在问题二 引入课前预习： 1 在方程2x+3y=5中，如果x=y,则x=_, y=_. 2 如果x=2a,y=3a.则
6、2x+3y=_. 3 设第一个数是第二个数的2倍，第一个数与第二个数的2倍之和为20，求这个数？（设第一个数为x，第二个数为y，则有，所以） 三 利用投影：一个苹果和一个梨的质量合计200克（如图41）这个苹果的质量加上一个10克砝码恰好与这个梨的质量相等（如图42）问苹果和梨的质量各为多少克？ 教师评语：在这个问题中如果设苹果和梨的质量分别为x克和y克，同学们能列出几个方程，请同学们把它们写出来（x+y=200 y=x+10） 教师然后解释：方程x+y=200和方程y=x+10中，x ，y都分别表示同一个未知数，也就是说，X，y的值必须同时满足上述两个方程，因此可以把这两个方程合起来，写成
7、教师归纳：像这样由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。 课堂练习P90练习1 （1）（2）（3）让学生填表格，然后教师将表中答案说明 2 分四个小组将个二元一次方程组的结果填入相应的位置 教师归纳：同时满足二元一次方程组中各个方程的解叫作二元一次方程组的解。 例如就是这个二元一次方程组的解。例：小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每卷12张底片。小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片，如果两种胶卷分别买x卷和y卷，请根据问题中的条件列出关于x,y的方程组，并且列表尝试的方法求两种胶卷的数量。分析：（1）审题，
8、该问题情境涉及哪些量？哪些是已知的，哪些是未知的？所求的是哪两个量？问题情境中两种胶卷及底片的总数有什么要求？（2）分析数量关系，该问题情境主要数量关系有：每卷胶卷底片的张数胶卷数底片总张数：A,B两种胶卷的总卷数4A,B两种胶卷的底片总张数120（3）建立数学模型，选择二元一次，则有 课堂练习P91 第1，第2题分组合作讨论完成。 探究活动 ：略四 归纳小结，反思提高1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流，总结本节课的所作所听所感，让知识系统化、合理化。）2 进一步让学生理解二元一次方程组（解）的概念。3 让学生体验对
9、于含有两个未知数的实际问题可以用方程组来解。4 让学生列表尝试方法解二元一次方程组，注意审题、分析数量关系，让学生选择数学模型。五 布置作业4.3解二元一次方程组(第一课时)【教学目标】1.知识与能力：了解解方程组的概念，了解解方程组的基本思路是“消元”，会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。2.过程与方法：通过浅显易懂并形象的“天平”实例，引入代入消元法，直观地揭示了代入消元的实质。通过例2的学习，让学生经历代入消元法解二元一次方程组的一般步骤，归纳出用代入消元法解二元一次方程
10、组的一般步骤。通过揭示解二元一次方程组本质思想消元，让学生初步体验化“未知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强解题能力。3.情感态度与价值观：提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。【教学重点、难点】重点：了解解方程组的基本思路是“消元”，了解代入消元法的思想和操作方法，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤。难点：例2要把其中一个方程变形后用含一个未知数的一次式来表示另一个未知数的形式时，方能代入。【教学准备】电脑、投影【教学过程】(一)创设情景，提出问题提问：1. 什么叫二元一次方程？什么叫二
11、元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？2. 下列哪些数对是方程组的解。3. 引导性材料：我国古代数学名著孙子算经上有这一一题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头？如果设鸡有x头，兔有y头，所得的式子怎样？上节我们碰到过二元一次方程组，可知是方程组的解，但这是通过观察检验后得来的，那么，有没有一种一般解法？鸡兔同笼问题又如何解答？(二)合作交流，探索新知 观察课本P93合作学习中图示，小组讨论下列问题：1、观察图43,你得到什么启发？2、如何解二元一次方程组，观察x+(x+10)=200与有没有内在联系？有什么内在联系？（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方
12、程组与一元一次方程的内在联系把方程中的“y”用“x+10”去替换就可得到一元一次方程。）问题1 从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程中的“y用“x+10”去替换，就是把方程代入方程，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化成熟悉的问题（解一元一次方程）。解方程组解：把代人，得x+（x+10）200， x95把x=95代入，得y=105方程组的解是问题2 你认为解方程组的关键是什么？那么解方程组的关键是什么？求出这个方程组的解。上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数(即消元)的目的，从而把解二元一次方程组转化
13、为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。问题3 对于方程组能否象解上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程，从而消去一个未知数呢？应如何消元？(说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三元一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。) (三)指导应用，深化理解例1 解方程组： 按课本讲解、板书。（组织
14、学生口头回答例题的解答，注意检验的方法）探究以下三个问题：问题1: 上述解题过程什么思想方法？用什么方法解二元一次方程组？ 问题2：如何对方程组的解进行检验？ 问题3：完成P94做一做(板演)。补充练习：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：(1) (2) (3) (4) 例2:解方程 教师引导学生讨论,完成解题过程探究活动1：解决这道题目的关键是什么？选择哪一个未知数表示另一个未知数？如何变形？方程组的解的表示要注意什么问题？探究活动2:观察上例解题过程，小组讨论：解二元一次方程组的一般步骤怎样？结论：用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：(1)将方程组中的一个方程变形，使得一
15、个未知数能用含另一个未知数的代数式表示；(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；(4)写出方程组的解。课堂反馈练习：P95练习(板演)。探究与提高(视课堂教学实际选择使用或留作课外思考题)：1.解方程组2.解方程组3.已知是方程组的解，求(3a-6b)-(-13a-4b)的值。4.已知x2t3，y3t1，用含x的一次式表示y。5.已知2x5y4z6，3xy7z4，求xyz的值。6.要使方程组有正整数解，那么自然数a的值等于多少？ (四)归纳小结，反思提高问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪
16、些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行小结，经过学生个人回顾同桌交流给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性）可以从以下三个方面归纳： 1.知识：解二元一次方程组的基本思想；代入消元法；解二元一次方程组的一般步骤。2.方法：(1)用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题(解二元一次方程组)转化为用旧知识(解一元一次方程)来解决。(2)用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这有利于正确、简捷的消元。(3)用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要
17、的“换元”。3.体验：感受生活中解二元一次方程组的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。(五)布置作业：P95课本4.3(1)节作业题的A组、B组、C组4.3 解二元一次方程组（第二课时）【教学目标】 1、学会用加减消元法解二元一次方程组。2、使学生了解加减法是解方程组的一个基本方法3、了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。【教学重点、难点】 重点：用加减消元法解二元一次方程组。 难点：熟练掌握加减法的技巧。【教学过程】一、复习引入：1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？答：基本思想是“消元”； 2、用代入法解下列方程组： 二、新课学习
18、：【比一比】：通过刚才的练习，我们发现用代入法来解某些二元一次方程组比较简便，如练习（1），但在解另外一些二元一次方程组时，却显得比较繁琐，如练习（2），因此我们就提出了问题：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把较复杂的“二元”方程转化为简单的“一元”方程，代入法是其中的一种消元方法，但它在解如练习（2）的方程组时显得比较繁，那么还有没有其他的消元方法，也可以变“二元”方程为“一元”方程呢？【看一看】：现在请同学们观察练习（2）这个方程组，找出各个未知数系数的关系？（x的两个系数正好相等，y的两个系数是一对相反数）。【析一析】：我们知道相反数的和是0而两个相同数的差也是0，从中你能否得到
19、一些启发？【想一想】：为什么可以将方程组中的两个方程左边和左边相加、右边和右边相加，所得的仍旧是一个方程（等式），如何解释？（根据等式性质1）根据上述分析，如果对于y，我们只要把两个方程相加，即可将之消去，而得到一个关于x的一元一次方程，解出后，将其代入一个较简单的方程，即可求出y，具体解法如下：(1)+(2)，得，6x18， 解得，x3把x3代入(1)，得 92y13 y2现在请同学们，试着消去x，想想看，如何做？像这种将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元方法，简称加减法。加减法也是解二元一次方程组常用的方法之一。【
20、做一做】：解方程组解：(1)(2), 得 12y 36 解得 y 3把y = 3代入(2), 得例1 解方程组 3x2y11 （1）2x3y16 （2）分析：先通过方程的变形，使得某个未知数的系数的绝对值相同，就可以把两个方程的两边相加或相减来消元。解：（1）3，得9x6y33 （3） （2）2，得4x6y32 （4） （3）（4），得13x65x5 把x5代入（1）中，得y2 x5 y2【试一试】：对于例1的方程组可以先消去x，来解方程组吗？用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：1、 将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）；2、 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程
21、；3、 解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；4、 将求得的未知数的值代入原方程中的任一方程，求得另一个未知数的值；5、 写出方程组的解。三、课内练习：1、 下列方程组中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数？怎样消？（1） 2x3y8 （2）2x33y (3) 3x5y257x5y5 3x45y 4x3y152、用加减法解下列方程组：（1） 2xy23 （2） 3x2y13 4xy19 3x2y5（3） 3x2y9 （4） 2x3y1 xy7 3x2y2四、课堂小结：1、解二元一次方程组的基本思想是消元，代入法是一个基本方法，今天学习的加减法也是一个方法；2、用加减法解二元一次方程
22、组，如果有一个未知数的系数是相等的，则把这两个方程直接相减；若有一个未知数的系数是一结相反数，则把它们相加即可。五、作业：必做题：书本P99A组1、2、B组3、4；选做题：书本P99C组5；预习下一节新课；4.4 二元一次方程组的应用（第一课时）【教学目标】 1掌握应用二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤2会列二元一次方程组解应用题【教学重点、难点】 1本节教学的重点是列二元一次方程组解应用题2例l的问题情境比较复杂，不易列出方程，是本节教学的难点【教学过程】 一、创设情景，引入新课 从游泳池中的数学问题引入 师：炎热的夏口，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽如果每位
23、男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗? 通过创设愉悦的问题情境，引起学生的学习兴趣，在轻松的气氛中探索问题 师：你能用所学过的知识来解决这个问题吗? (学生通过四人小组活动，观察分析，仔细审题，纷纷讲述了自己的方法) 教师可以启发学生思考下面的问题： (1)这个实际问题中有哪些等量关系? (2)怎样设未知数?可以列出几个方程? 通过师生共同归纳得出： 女孩人数二男孩人数1， 男孩人数：2(女孩人数1) 教师引导学生用列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同方法求解，并比较两种解法的繁简，让学生体会学习二元一次方程组的必要性 学
24、生可得出下列方法： (1)如果设男孩有，人，可根据每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，得方程x2(x1)1，解得x4 (2)如果设女孩有y人，可根据每位男孩看到蓝色的游泳帽与红色的游泳帽一样多，得方程2(y1)1y，解得y=3 (3)设男孩有x人，女孩有y人，由题意可列方程组 x1y解得x4 x2（y1）， y3 (4)列二元一次方程组求解，有什么优点? 把学生逐步引入问题情境中，对学生的思考有一定的引导和启发作用，激励了学生探索解决问题的欲望师生共同总结：当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程，要注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元
25、一次方程组(这里不同的方程的真实含义是不等价的方程，但对学生不讲述不等价的概念) 如果当两个未知量之间的数量关系比较复杂隐蔽时，直接列一元次方程就比较困难，这时列方程组解就显得优越 二、典型例题分析 例1 用如课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完?通过此例让学生感受到数学与数学应用的普遍性与科学性多媒体显示一个竖式纸盒，横式纸盒的平面展开图，学生小组讨论，并填写下表：x只竖式纸盒y只横式纸盒合计正方形纸板的张数长方形纸板的张数通过学生观察、
26、思考、得到两个等量关系：两种纸盒所用正方形纸板的张数的和1000(张)，两种纸盒所用长方形纸板的张数的和2000(张)解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个根据题意，得x2 y 1000解得x200 4x3y2000， y400 经检验，这个解满足方程组，且符合题意 答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完 引申：如果有正方形纸板500张，长方形纸板100l张，那么能否做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完?说明理由解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据题意，得x2 y 500解得x4x3y1001y可见x，y不是自然数，不符合题意所以不能做成若干只纸盒，恰好把库存的纸
27、板用完 这里应该提醒学生注意：必须检验所求出的未知量的值是否符合实际意义 上例属于配套问题，分析时应着重启发学生利用列表得到竖式、横式纸盒数与所需的正方形与长方形纸板的张数之间的数量关系 通过上面的例题，师生共同归纳应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系) 这时要明确问题中的已知量是什么，未知量是什么根据问题的不同，用“列表”“图示”“语言式子”揭示出问题中已知量和未知量之间的直接关系或间接的等量关系 (2)制订计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组) 设未知数的方法有两种：一种是设直接未知数，就是把问题中要求的未知量用x，y等表示；
28、一种是设间接未知数，就是把与问题中要求的未知量相关的另一些未知量用x，y的代数式表示哪一种设法便于列出方程组就选用哪一种 在列方程组时，根据所设的未知数、已知量和未知量之间的等量关系列出方程组要注意的是：方程组中每个方程之间应不等价；方程的个数和未知数的个数相等；方程两边所表示的量相同 (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案) 解方程组时，应根据所列方程的特点选择最简便的方法求出方程组的解 回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意) 所设的未知数常常受到某些条件的限制，因此，要检验并判断方程的解是否符合题意，最后写出答案 三、探究尝试1走路、骑车、乘车等是学生熟悉的事件，
29、通过行程问题作为学生探究性学习的课题十分自然甲、乙两人从相距18km的两地同时出发，相向而行，经过兰时相遇如果甲比乙先出发导时，那么在乙出发后经过时两人相遇，求甲、乙两人的速度 学生面对新问题，非常好奇兴奋，并积极思考，教师要抓住时机，要求学生通过讨论，动手实验，积极探索解题方法 教师针对学生的讨论，通过多媒体动态演示： 如：设甲的速度为每时行xkm，乙的速度为每时ykm，通过分析和探究得 xy 18x（xy）18要使学生懂得对不同问题要辅以不同的教学工具来解决，比如行程问题用图示法，配套问题用列表法都十分适宜 本题是行程问题，讲解时，应把问题分解成两个相遇问题，充分利用图示，引导学生找出两个等量关系在讲解此例前，还应复习一下相遇问题的基本等量关系 2做课本课内练习第2题 四、小结与作业 1师：本节课有哪些收获与感受? (学生思考后用自己的语言回答本节课的所思所感根据学生的回答，教师给以恰当的评价) 2课本作业题4.4二元一次方程组的应用（第二课时）【教学目标】1 会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。2 会综合运用二元一次方程以及统计等的相关知识解决实际问题。【教学重点、难点】重点：列
