1、四年级数学4升5年级暑期提高学生第一讲：速算与巧算 （2）第二讲：周期性问题 （7）第三讲：行程问题 （12）第四讲：流水行船问题 （16）第五讲：巧求周长和面积 （20）第六讲：等差数列 （24）第七讲：应用问题综合强化 （27）第八讲：期中考试 （32）第九讲：奇偶分析法 （35）第十讲：染色与操作问题 （39）第十一讲：数阵图与数字谜 （43）第十二讲：排列组合 （48）第十三讲：逻辑推理 （54）第十四讲：最大与最小 （60）第十五讲：期末考试 （64）第一讲 速算与巧算 内容概述小朋友们，这节课我们又一同走进了“计算的海洋”，还记得四年级春季第十一讲的速算与巧算中学习到的内容吗？在那
2、节课中我们学到了以下几种方法：凑整求和、找基准数、分组求解、自然数的分拆和几个常用技巧！学习完以后，相信聪明的你会发现自己能快速正确的做出更多的题目了！可有时候，还有许多我们却摸不着头脑！那是因为在速算的方法技巧中还蕴藏了许多我们没有学习到的东西！那么这节课让我们一起来走进去探讨一下吧！ 巧用运算律 在速算的过程中，如果加入运算律的应用，会有意想不到的效果！我们一起先来看看常用的一些运算律和结论吧！在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有：（1） 加法交换律：ab=ba（2） 加法结合律：(ab)c=a(bc)（3） 乘法交换律：ab=ba（4） 乘法结合律：(ab)c=
3、a(bc)（5） 分配律： a(bc)=abac （反过来就是提取公因数）（6） 减法（括号）的性质：a-b-c=a-(bc)（7） 除法的性质：a(bc)=abc (ab) c=acbc (a-b) c=ac-bc和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变. 【例1】 （04陈省身杯数学邀请赛）计算：3.1415252-3.1415152【例2】 （06香港圣公会小学奥林匹克）计算：8.880.15+2650.0888+5.28.88+
4、0.88820【例3】 （希望杯数学邀请赛初赛）计算7.8161.453.142.1841.697.816【例4】 （05我爱数学夏令营）计算：147.758.4+4.792+4092.1+0.9521479【例5】 计算11.8438600.09【例6】 41.28.1+118.75+5370.19【例7】 （希望杯数学邀请赛决赛）计算 8.11.381.31.91.311.91.3 【例8】 下面有两个小数：试求ab，ab，ab，ab. 周期性数字周期性数字就是由相同的数字重复写几遍而来，这些数字可以利用规律来巧妙分解如：123123123=123000000+123000+123=123
5、1000000+1231000+123=1231001001由此我们可以巧妙的发现上面数字其实就是看有几个周期，这样原来的数就可以分解成一个周期数乘以1001001这种类型的数，0的个数就是每个周期内的数字个数减一.也可以这样理解，其实就是在每个周期数最后一位下填1，然后看1的中间隔几个数就填几个0.如：47564756=475610001【例9】 计算200520062006-200620052005 【例10】 （希望杯数学邀请赛培训题）计算200620052006-200520062005 从简单情况找规律【例11】 计算： 【例12】 计算： 【例13】 求的末三位数字. 练习一1.
6、（希望杯数学邀请赛决赛）计算2.005390+20.0541200.52 2. （05南京市少年数学智力冬令营）计算：3.142+68.61.3143. 计算4.830.590.411.590.3245.94. 计算：3.4276.3+7.6357.6+9.1823.75. 计算：99666+6678186. 计算（235711131719）（38516577）7 917+9117-517+45178. （05陈省身杯数学邀请赛）计算：200420032002-2002200320049 求的末四位数. 课外故事成功就是将简单的事情重复做那天，会场座无虚席，人们在热切地、焦急地等待着，那位当代
7、最伟大的推销员，做精彩的演讲。当大幕徐徐拉开，舞台的正中央吊着一个巨大的铁球。为了这个铁球，台上搭起了高大的铁架。一位老者在人们热烈的掌声中，走了出来，站在铁架的一边。他穿着一件红色的运动服，脚下是一双白色胶鞋人们惊奇地望着他，不知道他要做出什么举动。这时两位工作人员，抬着一个大铁锤，放在老者的面前。主持人这时对观众讲：请两位身体强壮的人，到台上来。好多年轻人站起来，转眼间已有两名动作快的跑到台上。老人这时开口和他们讲规则，请他们用这个大铁锤，去敲打那个吊着的铁球，直到把它荡起来。一个年轻人抢着拿起铁锤，拉开架势，抡起大锤，全力向那吊着的铁球砸去，一声震耳的响声，那吊球动也没动。他就用大铁锤接
8、二连三地砸向吊球，很快他就气喘吁吁.另一个人也不示弱，接过大铁锤把吊球打得叮当响，可是铁球仍旧一动不动。台下逐渐没了呐喊声，观众好像认定那是没用的，就等着老人做出什么解释。会场恢复了平静，老人从上衣口袋里掏出一个小锤，然后认真地，面对着那个巨大的铁球。他用小锤对着铁球“咚”敲了一下，然后停顿一下，再一次用小锤“咚”敲了一下。人们奇怪地看着，老人就那样“咚”敲一下，然后停顿一下，就这样持续地做。十分钟过去了，二十分钟过去了，会场早已开始骚动，有的人干脆叫骂起来，人们用各种声音和动作发泄着他们的不满。老人仍然一小锤一停地工作着，他好像根本没有听见人们在喊叫什么。人们开始忿然离去，会场上出现了大块大
9、块的空缺。留下来的人们好像也喊累了，会场渐渐地安静下来大概在老人进行到四十分钟的时候，坐在前面的一个妇女突然尖叫一声：“球动了！”刹时间会场立即鸦雀无声，人们聚精会神地看着那个铁球。那球以很小的摆度动了起来，不仔细看很难察觉。老人仍旧一小锤一小锤地敲着，人们好像都听到了那小锤敲打吊球的声响。吊球在老人一锤一锤的敲打中越荡越高，它拉动着那个铁架子“哐、哐”作响，它的巨大威力强烈地震撼着在场的每一个人。终于场上爆发出一阵阵热烈的掌声，在掌声中，老人转过身来，慢慢地把那把小锤揣进兜里。老人开口讲话了，他只说了一句话：在成功的道路上，你没有耐心去等待成功的到来，那么，你只好用一生的耐心去面对失败。第二
10、讲 周期性问题 内容概述呵呵! 小朋友们你们还记得春季第十四讲的“规律性问题”吗？在那一讲中我们其实已经接触到了周期问题的一些基本概念，规律性问题和周期问题两者相互交融，紧密联系，在解答问题时它们常常同时会来帮助你！下面让我们一起先来回忆一下基本概念和几道有关周期性问题的习题，然后一同研究几种新的知识点！基本概念：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为365天，闰年为366天. 在公历纪年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天. 闰年的2月29
11、日为闰日.一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年. 数字大排队【例1】 除0外的全体自然数如右表排列，请问（1）数43在哪个字母下面?（2）数47在哪个字母下面?（3）数56在哪个字母下面?【例2】 （小数报数学竞赛初赛）右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？【例3】 （05希望杯邀请赛）将100个小球放入依次排列的36个盒子中如果任意相邻的5个盒子中的
12、小球总数均为14，且第1个盒中有2个小球求第36个盒子中小球的个数 末尾数字的规律【例4】 算式的得数的尾数是几？【例5】 求281282929的个位数字. 圆圈上的数学游戏【例6】 （希望杯数学邀请赛决赛）如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？【例7】 （迎春杯
13、刊赛）如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？【例8】 如右图，把18八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？【例9】 （1）时针如果指在5，那么分针旋转转动2008周后，钟表显示的时间是几时？（2）时钟在下午的时候指在5，那么
14、分针旋转转动2008周后，钟表显示的时间是几时？ 我来找找星期几【例10】 （美国小学数学奥林匹克）一月份有三十一天，如果某年的1月1日星期一，这年的2月22日是星期几?【例11】 （国家公务员考试题改编）1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？ 【例12】 （06年华罗庚金杯）奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期（ ）.【例13】 某年的10月有5个星期六，4个星期日，问这一年的十月一日是星期几？ 练习二1（小学数学奥林匹克初赛）如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几点钟？2除0外
15、的自然数都按右表排列，问： （1）21排在第几列的下面?（2）32排在第几列的下面?（3）54排在第几列的下面?32008个数排成一排，其中任意五个相邻数之和都是2008，已知第1个数是1，第9个数是9，第90个数是9，第102个数是3，那么第2008个数是 ；4求291+3291的个位数字。5（迎春杯刊赛）元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期_.6（迎春杯刊赛）阳历1978年1月1日是星期日，那么阳历2000年的1月1日是星期_. 课外故事永远看得起自己有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着. 最后，这位农夫决定
16、放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口井还是得填起来。于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦.农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中。当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得很凄惨。但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了。农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！ 就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去。很快地，这只驴子便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！第三讲
17、行程问题 内容概述行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等，思维灵活性大，辐射面广，但万变不离根本，就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度时间 .在这三个量中，已知两个，可求出第三个未知量这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.解决行程问题时，画图分析是一个非常有效的方法，我们一定要养成画图解决问题的好习惯！ 平均速度【例1】 汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米时，要想来回的平均速度为48千米时，回来时的速度应为多少？【例2】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三
18、条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？【例3】 老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米时；从B到C为上山路，车速是22.5千米时；从C到D为下山路，车速是36千米时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？ 沿途数车【例4】 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?【例5】 一条电车
19、线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟. 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站. 他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站. 在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出. 问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 猎狗追兔【例6】 一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？【例7】 猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多
20、少步?【例8】 猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?【例9】 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬. 一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568步.如果狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步?狼跑了多少步? 多人行程【例10】 东、西两城相距75千米小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑这
21、样往返，直到三人在途中相遇为止问小辉共走了多少米?【例11】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇这花圃的周长是多少米? 练习三1有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米秒、6米秒和8米秒，求他过桥的平均速度.2小宇以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面而来如果电车也是匀速行驶的，那么起点站和终点
22、站隔多少分钟发一辆电车？ 3猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大，它跑 4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔？4有甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇那么东、西两村之间的距离是多少米? 课外故事一粒种子里有什么在平凡世界的卓越人生一书中，牧师罗伯特H舒勒写道：“多年来，我反复向听众宣讲：任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子，然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果。”作者舒勒先生的一名听众，农场主安斯利米勒对这句
23、话深有体会，他给舒勒先生寄去了一封夹有大豆种子的信。他在信里写道：“舒勒先生，那是1977年，我种的庄稼几乎颗粒无收，那年天气特别糟糕，雨水太多。在10月的收获季节，我走在自家的地里，看着满目的稀稀落落的豆荚，走上去一捏，大多数都是瘪的，我感到心灰意冷。就在那个时候，我猛然看见不远处有一株大豆特别显眼。我走过去，小心翼翼地摘下上面全部的豆荚。一共有202个，一个个看上去都硕大饱满。我把这些豆荚剥开，得到了503颗大豆。我把这些大豆带回家，整个冬天都放在一个平底罐里，让它们风干。“第二年春天，那是对我有特殊意义的一个季节。我拿出那503颗大豆种子，撒在我家屋后的一小块地里。那年10月，那块地让我
24、收获了32磅的大豆！到了冬天，我又把种子全部晾干。“1979年，我把那32磅大豆尽数种在一英亩的田里。那年10月，我总共收获了2409磅大豆。“1980年的春天，我将大豆种在一块69英亩的田里，那是我全部的土地。就在那年10月，那块地大获丰收，足足收获了8万多升大豆，卖了1.5万美元！“舒勒先生，一株大豆，202个豆荚，503粒大豆，4年以后变成了1.5万美元。还不错，不是吗？任何傻瓜都能数出一个苹果有多少粒种子，然而只有神才知晓一粒种子里面有多少个苹果。一粒种子里面有多少个苹果？ 噢，我知道了，我明白了。瞧，我给你寄一粒我收获的种子。”不要小瞧任何微小的可能和机会，那里蕴藏着无限的希望和收获
25、。第四讲 流水行船问题 基本的流水行船问题在行程问题的基础上，这一讲我们将研究流水行船的问题.船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题.另外一种与流水行船问题相类似的问题是“在风中跑步或行车”的问题，其实处理方法是和流水行船完全一致的.行船问题是一类特殊的行程问题，它的特殊之处就是多了一个水流速度，船速：在静水中行船，单位时间内所走的路程叫船速；逆水速度：逆水上行的速度叫逆水速度；顺水速度：顺水下行的速度叫顺水速度；水速：船在水中不借助其他外力只借助水流力量单位时间所漂流的路程叫水流速度(以下简称水速)，
26、顺水速度=船速+水速 ； 逆水速度=船速-水速 .顺水行程=顺水速度顺水时间逆水行程=逆水速度逆水时间船速=（顺水速度+逆水速度）2 ；水速=（顺水速度-逆水速度）2 .（可理解为和差问题）【例1】 甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？【例2】 A、B两港相距560千米，甲船往返两港需要105小时，逆流航行比顺流航行多了35小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？【例3】 甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米一艘船沿甲河顺水航行7小时，行了133千米到达乙
27、河，在乙河中还要逆水航行84千米，问：这艘船还要航行几小时? 【例4】 一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时求：这两个港口之间的距离【例5】 某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天问：水从甲地流到乙地用了多少时间? 【例6】 一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米.这艘小船的静水速度和水流速度是多少？【例7】 一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速. 流水行船中
28、的相遇与追击流水行船问题中的相遇与追及（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.（2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水
29、速）=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答.【例8】 甲、乙两船在静水中的速度分别为33千米/小时和25千米/小时. 两船从相距232千米的两港同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲船可以追上乙船？【例9】 甲、乙两船的船速分别为每小时22千米和每小时18千米两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发2小时，如果水速是每小时4千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船?【例10】 某河上、下两埠相距45千米，每天定时有甲、乙两艘船用相同的船速分别从两埠同时出发相向而行有一天甲船从上埠刚出发时掉下一物，此物浮于水面顺流而下，2分钟后与甲船相距0.5千米问：预计乙船出发后几小时与此物相遇?【例11】 有一个小孩不慎掉进河里，他抱住了一根圆木沿河向下漂流. 有3条船逆水而上，在对应着河岸上的A处同时与圆木相遇，但是
