1、,实分析,多媒体教学课件,Department of Mathematics,第三章复习,本章讨论一类重要的函数可测函数。它和连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数。我们可以看到可测函数取极限相当方便，可测函数的极限仍是可测函数。,第三章 可测函数,第一节可测函数的基本性质,Lebesgue积分,(从分割值域入手),用 mEi 表示 Ei 的“长度”,要使Lebesgue积分的思想得以实现,必须要求分割得出的点集 Ei 都是可测集.或更一般地要求:,定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若 可测，则称f(x)是E上的可测函数.,1可测函数定义,定义：设f(x
2、)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测,2.可测函数的等价描述,例1 零测度集上的任何函数都是可测函数。,证明：设f是零测度E上的函数,则对任意aR有 因为零测度集的子集仍为零测度集(可测),由定义所以函数可测.,例2 简单函数是可测函数,证：任取xEfa,则f(x)a,由连续性局部保号性知,例3.可测集E上的连续函数f(x)一定为可测函数,可测函数关于子集、并集的性质,即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；,3.可测函数的性质,证明:注意到,若,f(x)限制在En上是 可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。,证明:注意到,设S是某个命题或某个性质
3、,若S在集E上除了某个零测度集外处处成立,则称S在E上几乎处处成立.记为S,a.e.于E 或S,a.e.（almost everywhere）,定义1.3(几乎处处概念),若m(Efg)=0,则称f(x)=g(x)在 E上几乎处处相等,记f(x)=g(x)a.e.于E。,例如:几乎处处相等,例如:Dirichlet函数几乎处处等于0,例3 设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测,例题说明,在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性,例如:几乎处处收敛,设 是E上的函数列，是E上的函数，若存在，使 且对任意，有 则称在上几乎处处收敛到f，记作,若fn(x
4、)是可测集E上的可测函数列,则下列函数仍为E上可测函数。,定理1.1.,为方便我们把一般函数分解成两个非负函数来考察.一般函数可分解成正部和负部如下：,推论1 设f(x)是可测集E上的可测函数列,则下列函数在E上均为可测函数。,推论2 若fn(x)是可测集E上的可测函数列,则下列函数仍为E上可测函数。,证明 两次应用定理1.1即可.,推论3：可测函数列的极限函数仍为可测函数.(注:连续函数列的极限函数不一定为连续函数).,由于函数的可测性不受一个零测度集的值的影响,于是我们有下面定理1,2.,定理1.2 如果 是可测集E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到，即 则 在E上可测。,可测函数与简单函
5、数的关系,设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 的极限而且还可办到,注:由于一般函数f可表示成它的正部与负部之差,对f的正部与负部分别应用定理1.3即得:,定理(可测函数的充分必要条件):函数f(x)是可测集E上的可测函数的充分必要条件是f(x)总可表示为一列简单函数的极限.,引理1.1 函数(x),(x)是可测集E上的简单函数,则它们的和、差、积、商(分母几乎处处不为零)仍然是简单函数.,定理1.4 可测集E上的两个可测函数的和、差、积、商(假定运算几乎处处有定义)仍然是E上可测函数.,第二节可测函数列的收敛性,(1).它的上极限集定义为:,定义2.1(上、下极
6、限集),(2)下极限集定义为:,(3)如果集列 的上极限集与下极限集相等，即,则称集列 收敛，称其共同的极限为集列 的极限集，记为：,定义2.1：极限集,容易知道上、下极限集有关系：,定理：单调集列是收敛的.,单调增集列极限,函数逼近是分析中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数.,点点收敛:,函数列的几种收敛定义,记作,一致收敛:,记作:,去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛,即,几乎处处收敛:,记作:,例1：试考察函数列fn(x)=xn,n=1,2,在0,1上处处收敛(自然几乎收敛).但不一致收敛(因为极限函数不连续).但去掉一小测度集合(
7、1-,1,在留下的集合上一致收敛.,fn(x)=xn,定义2.2 设E为可测集,mE+，fn，f是E上几乎处处有限的可测函数，如果对,则称fn 在E上近一致收敛于f,记作,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,(4)近一致收敛,即：去掉任意小（适当小）的测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,fn不近一致收敛于f,定义2.3 设E为可测集,fn，f是E上的可测函数，如果对每个0,有,则称fn 在E上依测度收敛于f,记作,依测度收敛,不依测度收敛,（1）处处收敛但不依测度收敛,在R+上处处收敛于 f(x)=1,几种收敛的区别,例2,说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上
8、处处收敛于1,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1.,又例.上述fn处处收敛于1但不近一致收敛于f(x)=1,例3（依测度收敛但处处不收敛）,取基本集E=0,1),n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,fn如下图:,因为,但是,对任何x0,1),fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；,例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛,收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）,设E为可测集,mE+，fn，f是E上几乎处处有限的可测函数，,即：可测函数列的(收敛)几乎处
9、处收敛“基本上”是一致收敛.,定理2.1(叶果洛夫定理),引理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，,注:a.叶果洛夫定理中条件mE+不可少,则fn 在R+上处处收敛于 f(x)=1,fn不几乎一致收敛于f于R+,例:设,定理2.2(叶果洛夫定理的逆定理),Lebesgue定理：设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，,Riesz定理证明的说明,定理2.4令mE+，则(1)若又有,则f(x)=h(x)a.e.于E。,依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）,第三节可测函数的构造,可测函数,问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？,可测集E上的连续函数定为可测函数,设f(x)为E上几
10、乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。,（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数,定理3.1(鲁津定理),（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）,（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列,（2）任一可测函数差不多就是连续函数,实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）,定理3.2(鲁津定理推论),若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立）,则 及R上的连续函数g(x),设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对0，存在闭集，使 且f(
11、x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数,鲁津定理的逆定理,一、可测函数的概念及其运算性质.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的。,本章内容要点,二、可测函数列的收敛性、几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系。通过它，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。,勒贝格定理告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。黎斯定理指出：依测度收敛的可测函数列必
12、有几乎处处收敛的子序列。,三、可测函数的构造定理。连续函数，单调函数等都是可测函数。反之不然(如迪里克雷函数)。鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过它常常能把可测函数的问题又转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便。,四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。,Its The End！Thank You！,Department of Mathematics,Real Analysis,
