1、等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一1、如图，已知AC平分/ BAD,CE丄AB于E,CF丄AD 于 F,且 BC=CD.(1) 求证： BCE DCF(2) 若 AB=17 , AD=9 ,求 AE 的长.2、如图，已知 AB=AC, / A=36 AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证：(1)BD平分/ ABC ;(2) BCD为等腰三角形.3、已知：如图/ BAC的角平分线与BC的垂直 平分线DG交于点D,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别 为 E, F.试说明：BE=CF;若AF=3 , BC=4，求 ABC的周长.4、如图， ABC 中，AC = BC ,Z ACB = 90
2、 点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD 对称，CE与AD、AB分别交于点F、G,连接BE、BF、GD5、如图，在等腰Rt ABC中，/ C= 90 D是 斜边上AB上任一点，AE丄CD于E , BF丄CD 交CD的延长线于F，CH丄AB于H点，交AE于G.(1) 试说明AH = BH(2) 求证：BD = CG.(3) 探索AE与EF、BF之间的数量关系6、(本题14分)如图(1),在厶ABC和厶EDC中，D ABC边AC上一点，CA平分/ BCE ,BC = CD , AC = CE.圈 09(2)(1) 求证： ABC EDC ;(2) 如图(2),若/ ACB = 60连接BE交AC
3、于F, G为边CE上一点，满足CG = CF, 连接DG交BE于H.1 求/ DHF的度数；2 BE 平分/ ABC.若EB平分/ DEC ,试说明:参考答案1、 （ 1）证明见解析（2） 12、 （ 1）证明见解析（2）证明见解析3、 （1）证明详见解析；（2）10.4、 （ 1）证明见解析；（2）证明见解析.5、 （ 1）见解析；（2）见解析；（3） AE=EF + BF，理由见解析6、 （ 1）略（2）/ DHF=60 略【解析】1、试题分析：（1）根据角平分线的性质可以得出 CF=CE, 在证明 就可以得出DF=BE ；先证明 ，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x
4、=10-x，求出方程的 解即可.试题解析：（1）T AC平分/ BAD,CE丄AB于E,CF 丄 AD 于 F CE=CF,在 Rt BCE 和 Rt DCF 中, CE=CFBC=CD, Rt BCE也 Rt DCF （HL ）.(2)由(1)得，Rt BCE 也Rt DCF DF=EB，设 DF=EB=X由 Rt AFC 也 Rt AEC ( HL )可知 AF=AE 即：AD+DF=AB-BE AB=17 , AD=9 , DF=EB=x9+x =17-x 解得，x=4. AE=AB-BE=17-4=1点睛：本题考查了角平分线性质， 全等三角形的 性质和判定的应用， 注意：全等三角形的对
5、应边 相等，对应角相等 直角三角形全等的判定定理 是 SAS， ASA ， AAS， SSS， HL 2、试题分析：( 1 )由 AB 的中垂线 MN 交 AC 于点D，交AB于M ,求得 ABD是等腰三角 形，即可求得/ ABD的度数，然后根据等边对 等角，求得/ DBC的度数，从而得证；( 2)根据( 1)的结论和外角的性质，可得/ BDC= / C,再根据等角对等边得证.试题解析：(I)： MN为AB的中垂线， AD=BD ,贝A= / ABD=36 , AB=AC，/ A=36 ,/ ABC= / C=72，/ DBC=36 ，因此， BD 平分/ ABC ；(2)由和/ 2=36 /
6、 C=72 ,/ BDC=180 -36 -72 =72，/ C= / ABD+ / DBC= / BDC , BCD为等腰三角形.3、试题分析：(1)连接DB、DC,根据角平分 线性质和垂直平分线的性质得： DE=DF ， DB=DC，证明 Rt BED 也 Rt CFD (HL ), 得出结论；(2)先证明 AED AFD，得 AF=AE=3 , 再将 ABC的周长进行等量代换，即 ABC的 周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC，代入 求值即可试题解析：连接 DB、 DC，(1) ： AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 AC , DE=DF ,： D
7、G 垂直平分 BC, DB=DC ,在 Rt BED 和 Rt CFD 中，DE=DF ，BD=CD ， Rt BED也 Rt CFD (HL ), BE=CF ；(2) T/ DAE= / DAF ,Z AED= / AFD=90 , AD=AD , AED BAAFD , AF=AE=3 ,由( 1)得： BE=CF , ABC 的周长 =AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性 质；线段垂直平分线的性质.4、试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线 段垂直平分线的性质，求出 CF=EF , CD=D
8、E , 推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出 BEF是直角三角形，求出/ AFC= / BEC= / ACD=90，/ CAF= / ECB ,根据全等三角形的判定定理得出 ACF CBE，根据全等三角形的性质得证；（2）作/ ACB的平分线交AD于M ,根据ASA推出 ACM CBG 得出/ ADC= / M , CD=BM，根据 SAS 推出 DCM DBG，求 出/ M= / BDG ,即可得出答案.试题解析：（1）连接DE ,点E、C关于AD对称，AD为CE的垂直 平分线，CD=DE , D为CB中点，CD=DE=DB ,/ DCE= / CED，/ DEB= / DBE ,
9、/ DCE+ / CED+ / DEB+ / DBE=180 ,/ CEB=90 ,/ ECB+ / ACF=90，/ CAF+ / ACF=90 ,/ ECB= / CAF ,在厶ACF和厶CBE中，MAF=BCE AC = CB ACF CBE (AAS ), CF=BE，右 CF=EF，二 EF=EB , EFB为等腰直角三角形.(2)作/ ACB的平分线交AD于M ,在厶ACM和厶CBG中，ZJCAS1 = ZBCG( AC = CB - _ : ACM CBG (ASA), CM=BG ,在厶DCM和厶DBG中，MC = GB(ZMCD = ZGBD =45s _ DCM DBG (
10、SAS),/ ADC= / GDB.5、试题分析：(1) 根据等腰三角形的三线合一证明；(2) 证明 ACG CBD，根据全等三角形的 性质证明；(3) 证明 ACE CBF 即可.试题解析：(1) AC=BC , CH 丄 AB AH = BH(2) ABC为等腰直角三角形，且 CH丄AB:丄 ACG = 45/ CAG +/ACE = 90 / BCF + / ACE = 90 / CAG =Z BCF在厶ACG和厶CBD中.CAG=ZBCD AC=CBZACg _CBD ACG CBD (ASA)BD = CG(3) AE=EF + BF理由如下：在厶ACE和厶CBF中，ZCAE= ZB
11、CF2AE8ZCFEACCB ACE CBF , AE=CF , CE=BF , AE=CF=CE+EF=BF+EF .6、( I)： CA 平分/ BCE ,:丄 ACB = Z ACE.在厶ABC和厶EDC中 BC = CD，/ ACB = Z ACE , AC = CE ABC BA EDC (SAS)(2)在 BCF和厶DCG中 BC=DC,Z BCD = Z DCE,CF=CG, BCF BA DCG (SAS),/ CBF = Z CDG./ CBF + Z BCF = Z CDG+Z DHF:丄 BCF = / DHF=60. EB平分/ DEC ,/ DEH = / BEC./ DHF=60,:丄 HDE=60/ DEH./ BCE=60+60=120,:丄 CBE = 180-120 / BEC=60/ BEC.:丄 HDE = / CBE. / A= / DEG. ABC EDC, BCF DCG （已证） / BFC = Z DGC,/ ABF = Z BFC-/A,/ HDE=Z DGC-Z DEG, :丄 ABF = / HDE,/ABF = / CBE,BE平分/ ABC.
