1、 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%,x等于多少? 解 本题若用直接元x列方程十分不易,可引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比表示,那么写出售货价(固定不变)的等式,可得:M(1+0.01x)=0.92M1+0.01(x+10). 约去M,得1+0.01x=0.921+01.1(x+10). 解之,得 x=15. 例3 在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合? 例4(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切
2、下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克? 采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x千克,并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1,n千克的铜合金中含铜百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克,混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜xq1+(n-x)q2千克和xq2+(m-x)q1千克,依题意,有: 二.多元方程和多元方程组 例5 (1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,后由C给A、B现有豆数,互
3、送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒? 设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆,可列出下表: 解得:x=104,y=56,z=32. 答:原来A有豆104粒,B有56粒,C有32粒. 例6(1985年宁波市初中数学竞赛题)某工厂有九个车间,每个车间原有一样多的成品,每个车间每天能生产一样多的成品,而每个检验员检验的速度也一样快,A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完毕后,再去检验另两个车间的所有成品,又用了三天检验完毕,在此五天内,B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品,问B组有几个检验员? 设每个车间原有成品x个,每天每个车间
4、能生产y个成品;则一个车间生产两天的所有成品为(x+2y)个,一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个,由于A组的8个检验员每天的检验速度相等,可得B组有12个检验员. 三.关于不等式及不定方程的整数解 例7(1985年武汉市初一数学竞赛题)把若干颗花生分给若干只猴子,如果每只猴子分3颗,就剩下8颗;如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子得不到5颗,求猴子的只数和花生的颗数. 解:设有x只猴子和y颗花生,则: y-3x=8, 5x-y5, 由得:y=8+3x, 代入得5x-(8+3x)5, x6.5 因为y与x都是正整数,所以x可能为6,5,4,3,2,1,相应地求出y的值为26,23,20,
5、17,14,11. 经检验知,只有x=5,y=23和x=6,y=26这两组解符合题意.有五只猴子,23颗花生,或者有六只猴子,26颗花生. 例8(1986年上海初中数学竞赛题)在一次射箭比赛中,已知小王与小张三次中靶环数的积都是36,且总环数相等,还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭的环数是不超过10的自然数),则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少? 设小王和小张三次中靶的环数分别是x、y、z和a、b、c,不妨设xyz,abc,由题意,有: 因为环数为不超过10的自然数,首先有z10,否则与式矛盾. 若设z=9,则由知:xy=4, x=2,y=2,或x=1,y=4, x+y+z=1
6、3或x+y+z=14. 又由及cz知,c|36,c=6,这时,ab=6. a=2,b=3,或a=1,b=6 a+b+c=11或a+b+c=13 又由知:x+y+z=a+b+c=13 取x=2,y=2,z=9.小王的环数分别为2环,2环,9环. 例9(1980年苏联全俄第6届中学生物理数学竞赛题)一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初,每辆汽车乘了22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上,已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客? 设起初有汽车k辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘的旅客为n名,显然,k2,n32
7、,由题意,知:22k+1=n(k-1), k-1=1,或k-1=23, 即k=2,或k=24. 当k=2时,n=45不合题意, 当k=24时,n=23合题意, 这时旅客人数为n(k-1)=529.起初有24辆汽车,有529名旅客 四.应用题中的推理问题 竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现,而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力,还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维. 例10(1986年加拿大数学竞赛题)有一种体育竞赛共含M个项目,有运动员A、B、C参加,在每个项目中,第一、二、三名分别得p1、p2、p3分,其中p1、p2、p3为正整数且p1p2p3,
8、最后A得22分,B与C均得9分,B在百米赛中取得第一,求M的值,并问在跳高中谁取得第二名? 分析 考虑三个得的总分,有方程: M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, 又 p1+p2+p31+2+3=6, 6MM(p1+p2+p3)=40,从而M6. 由题设知至少有百米和跳高两个项目,从而M2, 又M|40,所以M可取2、4、5. 考虑M=2,则只有跳高和百米,而B百米第一,但总分仅9分,故必有:9p1+p3,8,这样A不可能得22分. 若M=4,由B可知:9p1+3p3,又p31,所以p16,若p15,那么四项最多得20分,A就不可能得22分,故p1=6. 4(p1+p2+p3)=40,
9、p2+p3=4. 故有:p2=3,p3=1,A最多得三个第一,一个第二,一共得分36+3=2122,矛盾. 若M=5,这时由5(p1+p2+p3)=40,得: p1+p2+p3=8.若p32,则: p1+p2+p34+3+2=9,矛盾,故p3=1. 又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p15. 若p16,则p2+p32,这也与题设矛盾,p1=5,p2+p3=3,即p2=2,p3=1. A=22=45+2. 故A得了四个第一,一个第二; B=9=5+41, 故B得了一个第一,四个第三; C=9=42+1, 故C得了四个第二,一个第三.仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。 not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文