1、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言ab图形语言知识点三空间等角定理1.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角
2、）.2.异面直线所成的角的取值范围：090.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作ab.4.异面直线所成的角的两种求法（1）在空间任取一点O，过点O分别作aa，bb，则a与b所成的锐角（或直角）为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.（2）在其中一条直线上任取一点（如在b上任取一点）O，过点O作另一条直线的平行线（如过点O作aa），则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a所成的角），然后通过解三角形等方法求角（如图）.题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和
3、c的位置关系是（）A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是_；（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是_；（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是_；（4）直线AB与直线B1C的位置关系是_.答案（1）平行（2）异面（2）相交（4）异面解析序号结
4、论理由（1）平行因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C（2）异面A1B与B1C不同在任何一个平面内（3）相交D1DD1CD1（4）AB与B1C不同在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以又因为在矩形A1B1C1D1中，所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以四边形DQC1F为平行四边形.又因为，所以所以四边形B1EDF为
5、平行四边形.跟踪训练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.证明（1）在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面.（2）由（1）知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.题型三异面直线所成的角例3如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角.解如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD
6、，所以EGCD，GFAB，且EGCD，GFAB.所以GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EGGF.因为ABCD，所以EGGF.所以EGF90所以EFG为等腰直角三角形.所以GFE45，即EF与AB所成的角为45跟踪训练3空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB，GFCD.故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为30，EGF30或150由ABCD，知EGFG，EFG为等腰三角形.当EGF30时，GEF
7、75；当EGF150时，GEF15故EF与AB所成的角为15或75转化与化归思想例5在空间四边形ABCD中，ADBC2a，E，F分别是AB，CD的中点，EFa，求异面直线AD，BC所成的角.分析要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至一个三角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则EMF（或其补角）为所求角.解如图，取BD的中点M.由题意，知EM为BAD的中位线，所以EMAD且EMAD.同理，MFBC且MFBC.所以EMa，MFa，且EMF（或其补角）为所求角.在等腰MEF中，取EF的中点N，连接MN，则MNEF.又因为
8、EFa，所以ENa.故有sinEMN所以EMN60，所以EMF2EMN120因为EMF12090所以AD，BC所成的角为EMF的补角，即AD和BC所成的角为60反证法的合理应用例6如图，三棱锥PABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面内，因为P，E，所以PE.又因为CPE，所以C.所以点P，A，B，C都在平面内.这与P，A，B，C不共面（PABC是三棱锥）
9、矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线（）A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.（填序号）5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_
10、.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A.一定平行 B.一定相交C.一定异面 D.相交或异面2.已知空间两个角，与的两边对应平行，且60，则等于（）A.60 B.120 C.30 D.60或1203.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（）A.30 B.45 C.60 D.904.下面四种说法：若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；若ab，则a、b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四
11、边形各边中点，所组成的四边形是（）A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为（）A.10 B.20 C.8 D.47.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60二、填空题8.在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB
12、与CM所成的角为60EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为_.10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为_.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.（1）证明：（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？（3）在（2）的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.当堂检测答案1.答案D解析若直线a和b共面，则由题意可
13、知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.答案B解析如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.3.答案A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.4.答案解析中，G，M是中点，AG綊BM，GM綊AB綊HN，GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，G，M是中点，GM綊CD，GM綊HN，即G
14、MNH是梯形，则HG，MN必相交，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面.5.答案解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED1中，cosAED1课时精练答案解析可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.2.答案D解析由等角定理，知与相等或互补，故603.答案B解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，故B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为454.答案D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对.若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行
15、、异面均有可能，故不对.若ab，bc，则a、c平行、相交、异面均有可能，故不对.正确.5.答案D解析如图，因为BDAC，且BDAC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FGEHBD，HGEFAC.所以FGHG，且FGHG.所以四边形EFGH为正方形.6.答案B解析设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，EFGHAC4，FGHEBD6，周长为2（46）20.7.答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面
16、直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误.综上所述，故选C.8.答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有428（对）异面直线.9.答案解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确.10.答案60解析连接BC1，A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.
17、在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160故异面直线A1B与AD1所成的角为6011.解取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）.在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE在RtAEF中，AFAC，AE，EF在RtABF中，AB1，AF，BF在等腰三角形EBF中，cosFEB异面直线BE与CD所成角的余弦值为12.（1）证明因为AEEBAHHD，所以EHBD.又因为CFFBCGGD，所以FGDB.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面.（2）解当且仅当EHFG，EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.因为，所以EHBD.同理FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形.（3）证明当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC.又因为ACBD，而FEH是AC与BD所成的角，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.
