1、集合A中所有元素都是集合B中的元素（即若xA，则xB）AB（或BA）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B（或B A）集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的基本运算运算交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA知识拓展1若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1.2ABABAABB.3AUA；AUAU；U（UA）A.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确（请
2、在括号中打“”或“”）（1）任何一个集合都至少有两个子集（）（2）x|yx21y|yx21（x，y）|yx21（3）若x2,10,1，则x0,1.（4）x|x1t|t1（）（5）对于任意两个集合A，B，关系（AB）（AB）恒成立（）（6）若ABAC，则BC.（题组二教材改编2已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则U（AB）_.答案x|x是直角3已知集合A（x，y）|x2y21，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为_答案2解析集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线yx，圆x2y21与直线yx相交于两点，则AB中有两个元素题组三易错自纠4已知集合A1,3，
3、B1，m，ABA，则m等于（）A0或 B0或3C1或 D1或3或0答案B解析A1,3，B1，m，ABA，故BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，其中m1不符合题意，所以m0或m3，故选B.5已知集合Ax|x22x30，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案（3，）解析Ax|x22x30x|1x3，AB，Bx|x3.6若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.答案0或解析若a0，则A，符合题意；若a0，则由题意得98a0，解得a.综上，a的值为0或题型一集合的含义1设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a_.答案1解析3B，又a244，a23，a1.经检验，a1符
4、合题意2若A2,3,4，Bx|xnm，m，nA，mn，则集合B中的元素个数是（）A2 B3 C4 D5解析Bx|xnm，m，nA，mn6,8,12思维升华 （1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题题型二集合的基本关系典例 （1）设A，B是全集I1,2,3,4的子集，A1,2，则满足AB的集合B的个数是（）A5 B4 C3 D2解析1,2B，I1,2,3,4，满足条件的集合B有1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,
5、4，共4个（2）已知集合Ax|x22 019x2 0180，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案2 018，）解析由x22 019x2 0180，解得1x2 018，故Ax|12 018又Bx|xa，AB，如图所示，可得a2 018.引申探究本例（2）中，若将集合B改为x|xa，其他条件不变，则实数a的取值范围是_答案（，1解析Ax|12 018，Bx|xa，AB，如图所示，可得a1.思维升华 （1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常
6、用数轴、Venn图等来直观解决这类问题跟踪训练 （1）已知集合AxR|x2x60，BxR|ax10，若BA，则实数a的值为（）A.或 B或C.或0 D或0答案D解析由题意知，A2，3当a0时，B，满足BA；当a0时，ax10的解为x由BA，可得3或2，a或a综上可知，a的值为或0.（2）已知集合Ax|2x7，Bx|m12m1，若BA，则实数m的取值范围是_答案（，4解析当B时，有m12m1，则m2；当B时，若BA，如图，则解得2m4.综上，m的取值范围是（，4题型三集合的基本运算命题点1集合的运算典例 （1）（2017全国）已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x1 DAB答案A解
7、析Bx|3x1，Bx|x0又Ax|x1，ABx|x0，ABx|x0，Bx|2或x0，ABR.命题点2利用集合的运算求参数典例 （1）设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是（）A12Ca1 Da1解析因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a1.（2）集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为（）A0 B1 C2 D4解析由题意可得a，a24,16，a4.（3）设集合A0，4，Bx|x22（a1）xa210，xR若ABB，则实数a的取值范围是_答案（，11解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此可知，0和4
8、是方程x22（a1）xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且B A时，B0或B4，并且4（a1）24（a21）0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4（a1）24（a21）0，解得a综上所述，所求实数a的取值范围是（，11思维升华 （1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化跟踪训练 （1）（2017天津）设集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，则（AB）C等于（）A2 B1,2,4C1,2,4,6 DxR|1x5解析AB
9、1,2,4,6又CxR|1x5，则（AB）C1,2,4，故选B.（2）已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1m1，且ABB，则实数m的取值范围为（）A1,2） B1,3C2，） D1，）解析由x2x120，得（x3）（x4）0，即3x4，所以Ax|3x4又ABB，所以BA.当B时，有m12m1，解得m2；当B时，有解得1m2.综上，m的取值范围为1，）题型四集合的新定义问题典例 若集合E（p，q，r，s）|0ps4,0qs4,0rs4且p，q，r，sN，F（t，u，v，w）|0tu4，0vw4且t，u，v，wN，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）card（F）等于（）A
10、200 B150 C100 D50解析在集合E中，当s1时，pqr0，此时只有1个元素；当s2时，p，q，r0,1，此时有2228（个）元素；当s3时，p，q，r0,1,2，此时有33327（个）元素；当s4时，p，q，r0,1,2,3，此时有44464（个）元素，故card（E）182764100.在集合F中，（t，u）的取值可能是（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共10种可能同理，（v，w）也有10种可能，故card（F）1010100，card（E）card（F）200.思维升华 解决以集合为背景的新定
11、义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中（2）用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素跟踪训练 定义一种新的集合运算：ABx|xA，且xB若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA等于（）Ax|3x4 Bx|3x4Cx|33，则AB等于（）A B1,2C0,3） D0,1,2解析由A中不等式变形，得（x5）（x1）0，xN，解得15，xN，即A0,1,2,3,4，Bx|x3，AB0,1,25（2017潍坊调研）已知全集UR，集合A1,2,3,4,5，BxR|x2，则图中阴影部分所表示
12、的集合为（）A0,1 B1C1,2 D0,1,2解析因为AB2,3,4,5，而图中阴影部分为集合A去掉AB部分，所以阴影部分所表示的集合为16已知集合M1,2,3,4，则集合Px|xM，且2xM的子集的个数为（）A8 B4C3 D2解析由题意得P3,4，集合P有4个子集7（2017全国）设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B等于（）A1，3 B1,0 C1,3 D1,5解析AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,3故选C.8已知集合Ax|10，Bx|xa，若AB，则a的取值范围为（）A（，0 B0，）C（，0） D（0，）解析用数轴表示集合A，B（如图），由AB，得
13、a0.9已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则（RP）Q_.答案（1,2）解析Px|x2或x0，RPx|0x2，（RP）Qx|1x210若3,4，m23m12m，33，则m_.解析由集合中元素的互异性，可得所以m1.11（2017衡水模拟）若集合Ay|ylg x，Bx|y，则集合AB_.答案0，）解析集合Ay|ylg xy|yRR，Bx|yx|x0，则集合ABx|x00，）12已知集合Ax|ylg（xx2），Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是_答案1，）解析由题意知，Ax|ylg（xx2）x|xx20（0,1），Bx|x2cx0（0，c）由AB，画出数轴，如图所示，得c1.13
14、（2018安徽黄山二模）已知集合A2，1,0,1,2，RB，则AB等于（）A1,0,1 B1,0C2，1,0 D0,1,2解析集合A2，1,0,1,2，RBx|x2或x1，Bx|2x1，则AB2，1,014已知集合AxR|x2|3，集合BxR|（xm）（x2）0，且AB（1，n），则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|51，由AB（1，n），可知m1，则Bx|m2，画出数轴，可得m1，n1.15设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个答案6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数故这样的集合共有6个16已知集合A，Bx|x22xm0，若ABx|14，则实数m的值为_答案8解析由1，得0，1x5，Ax|1x5又Bx|x22xm0，ABx|14，4是方程x22xm0的根，即4224m0，解得m8.此时Bx|24，符合题意，故实数m的值为8.
