1、解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章docx第三章 平 面 与 空 间 直 线 平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（ 1）通过点 M 1 (3,1, 1) 和点 M 2 (1, 1,0) 且平行于矢量 1,0,2 的平面（ 2）通过点 M 1 (1, 5,1) 和M 2 (3,2, 2) 且垂直于 xoy 坐标面的平面；（ 3）已知四点 A(5,1,3) ， B(1,6,2) ， C (5,0,4) D (4,0,6) 。求通过直线 AB 且平行于直线 CD 的平面，并求通过直线 AB 且与 ABC 平面垂直的平面。解： （1）M1M 2 2,2,1 ，又矢量 1,0,2
2、 平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为： 4x3y 2z 70（ 2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即 0,0,1 与所求的平面平行，又M 1M 2 2,7,3，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为： 7(x1)2( y 5)0 ，即 7x2 y 170 。（ 3）（）设平面通过直线 AB ，且平行于直线 CD ：AB4,5, 1 ， CD1,0,2从而的参数方程为：一般方程为： 10 x9 y5z 740 。（）设平面通过直线 AB ，且垂直于ABC 所在的平面AB4,5, 1 ， ABAC 4,5, 10, 1,1 4,4,4 41,1,1均与
3、平行，所以的参数式方程为：一般方程为： 2xy3z 20 .2.化一般方程为截距式与参数式：: x2 yz 40.解：与三个坐标轴的交点为：(4,0,0), (02,0), (0,0,4) ，xyz1 .所以，它的截距式方程为：244又与所给平面方程平行的矢量为： 4, 2,0, 4,0,4 ，所求平面的参数式方程为：3.证明矢量 v X ,Y,Z 平行与平面Ax By Cz D0 的充要条件为：AX BY CZ 0.证明：不妨设 A0 ，则平面 AxByCzD0的参数式方程为：故其方位矢量为：B ,1,0, C ,0,1 ，AA从而 v 平行于平面AxByCz D0的充要条件为：v ， BC
4、,0,1共面,1,0, AAAXBYCZ0 .4. 已知连接两点 A(3,10,5), B(0,12, z) 的线段平行于平面7x 4 y z 10 ，求 B 点的 z 坐标 .解：AB3,2,5z而 AB 平行于 7x4 yz10由题 3知： (3)724( z 5)0从而 z18 .5.求下列平面的一般方程 .通过点12,1,1 和23,2,1且分别平行于三坐标轴的三个平面;过点3,2,4 且在 x 轴和 y 轴上截距分别为2和 3的平面 ;与平面5x y 2z 3 0 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;已知两点13, 1,2 ,24,2,1,求通过1 且垂直于1 ,2的平面 ;原点在所
5、求平面上的正射影为2,9, 6 ;求过点13,5,1 和24,1,2 且垂直于平面x8 y 3z10的平面 .解 : 平行于 x 轴的平面方程为x2y 1 z11100 . 即 z10.100同理可知平行于y 轴, z 轴的平面的方程分别为z 10, xy1 0 .xyz1, 把点3,2,424设该平面的截距式方程为3c代入得 c219故一般方程为 12 x8 y19 z 240 .若所求平面经过x 轴，则0,0,0 为平面内一个点 ,5,1, 2 和 1,0,0为所求平面的方位矢量,x 0 y 0 z 0点法式方程为5120100一般方程为 2 yz0 .同理经过 y 轴, z 轴的平面的一
6、般方程分别为 2x 5z 0, x 5 y 0 .121, 1,3 .12 垂直于平面,该平面的法向量n1, 1,3 ,平面通过点1 3,1,2 ,因此平面的点位式方程为x 3y1 3 z20 .化简得 xy 3z20 .(5)op 2,9, 6 . cos2 , cos9 ,cos6 .111111则该平面的法式方程为 :2 x9 y6 z 11 0.111111既 2x9 y 6z 1210.（ 6）平面 x 8 y3z10 的法向量为n1,8,3 ， M1M21,6,1 ，点从 4,1,2x4y1z283183写出平面的点位式方程为0，则 A26,16161311314, D264228
7、74 ，B2, C1111则一般方程 AxByCzD0, 即：13xy7 z37 0.6将下列平面的一般方程化为法式方程。解： D 3.将已知的一般方程乘上1. 得法式方程x2 y5z30.30303030302D1.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程221x1y10.2223 .D2.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程x 20.4 .D0.1. 即1或1999将已知的一般方程乘上1或1 . 得法式方程为4 x4 y7 z0 或44799999y0.x9z997求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解： 1.D35.1 . 化为法式方程为2 x3y6 z
8、50 原点指向平面的单位法矢量为7777u236, 它的方向余弦为 cos23, cos6的距离为,7, cos7. 原点 o 到平面7777PD5.2 .D21.1. 化为法式方程为 -1 x2 y2 z70 原点指向平面的单位法矢量为3333n01,2, 2, 它的方向余弦为 cos1 ,cos2 ,cos2 . 原点 o 到平面的距离333333pD 7.第20页8已知三角形顶点A 0, 7,0 ,B 2,1,1 ,C2,2,2. 求平行于 VABC 所在的平面且与她相距为 2各单位的平面方程。uuurr uuurrr2,6,1r解：设 ABa, ACb.点 A 0, 7,0. 则 a,
9、 b 2,9,2 写出平面的点位式方程x y 7 z2 6 1 02 9 2设一般方程 Ax By Cz D 0. A 3.B 2, C 6, D 14 0.1.pD2.则7相距为 2 个单位。则当p4 时 D28.当 p0 时 D0.所求平面为3x2 y6z28 0.和 3x2 y6z0.9求与原点距离为6 个单位，且在三坐标轴ox, oy 与 oz 上的截距之比为a : b : c 1:3: 2 的平面。解：设 ax, b3x, c 2x.Q abc0.设平面的截距方程为xyz1.abc即 bcxacyabzabc.又 Q 原点到此平面的距离d6.abc6.b2 c2a2c2a2 b2 x
10、12所求方程为xyz7.3210平面xyz1分别与三个坐标轴交于点A, B, C. 求 VABC 的面积。abcuuuruuura,0, c解 A(a,0,0) ,B(0, b,0), C (0,0, c) ABa, b,0 , AC.uuuruuuruuuruuurb2c2c2a2a2 b2 .ABACbc, ca, ab ; ABACSVABC =1b2c2c2a2a2b2211设从坐标原点到平面的距离为。求证11111证明：由题知：11p.a2b2c2 .1pa2b2c2从而有 1111p2a2b2c2 . 平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1） M( 2,4,3)
11、 ，:2xy2z30 ；（2） M(1,2, 3) ，:5x3yz40.解： 将的方程法式化，得：2 x1 y2 z10 ，333故离差为：21421(M) ()(2)3 1，3333M 到的距离 d1(M).3（ 2）类似（ 1），可求得5634(M )35350 ，3535M 到 的距离 d(M )0.2.求下列各点的坐标：（ 1）在 y 轴上且到平面22 y 2z 20 的距离等于4 个单位的点；（ 2）在 z 轴上且到点 M (1,2,0) 与到平面 3x2y 6z90距离相等的点；（ 3）在 x 轴上且到平面 12 x16 y 15 z10 和 2 x2 yz 1 0 距离相等的点。
12、解： （ 1）设要求的点为M (0, y0 ,0) 则由题意y0 16y05或 7.即所求的点为（0， -5， 0）及（ 0， 7，0）。（ 2）设所求的点为(0,0, z0 ) 则由题意知：由此， z02 或 -82/13 。82故，要求的点为 ( 0,0, 2) 及 (0,0, ) 。（ 3）设所求的点为 (x0 ,0,0) ，由题意知：由此解得： x02 或 11/43 。所求点即（ 2， 0， 0）及（ 11/43 ， 0， 0）。3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4), A(3,5,3), B(2,11, 5), C (1, 1,4) ，计算从顶点S 向底面 ABC 所引的高。解
13、： 地面 ABC 的方程为：所以，高 h624533 。4.求中心在 C (3,5,2) 且与平面 2xy3z110 相切的球面方程。解：球面的半径为C 到平面： 2xy3z110 的距离，它为：235611282 14，R1414所以，要求的球面的方程为：(x 3) 2( y 5) 2( z 2) 256 .即： x2y2z26x10 y4z 18 0 .5求通过 x 轴其与点 M 5,4,13 相距 8 个单位的平面方程。解：设通过x 轴的平面为 ByCz0. 它与点M5,4,13 相距 8 个单位，从而4B13C8.48B2104BC105C 20.因此 12B35C4B3C0.B2C2
14、从而得12B35C0或 4B3C0.于是有 B:C35:12或 B:C3:4 .所求平面为 35 y12 z0或 3 y4 z0.6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. 3x 6 y 2z 7 0和 4x 3 y 5 0 ; 9x y 2z 14 0和9x y2z 6 0 .解 : 1 :1 36y2z70x7令 1 3x 6 y 2z 71 4x3y575化简整理可得 : 13x51y10z0 与 43 x9y10z 700 .对应项系数相同,可求DD1D21464 ,从而直接写出所求的方22程 : 9xy2z40 .9 判别点 M（2-11）和 N（1 2 -3）在由下列相交平面所构成
15、的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1） 1 : 3x y 2z3 0 与 2 : x 2y z 4 0（2） 1: 2x y 5z 10 与2 : 3x 2 y 6z 1 0解：（ 1）将 M（ 2 -1 1）， N（1 2-3）代入1 ，得：6123 03263 0则 M，N 在 1的异侧2 2 1 4 70再代入 2 ，得：1 4 3 4 40MN 在 2的同侧MN 在相邻二面角内4 1 5 1 90（2）将 M（2 -1 1）N（ 1 2 -3）代入 1，得：2 2 151 80则 MN 在 1的异侧。再代入 2 ，得：6 6 2 1 13 03 4 181 20 0则 MN 在 2的异侧MN 在对顶的二面角内10 试求由平面1 ： 2xy 2z3 0 与2 ： 3x2 y 6z1 0 所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1，2，-3）解：设 p（ xyz）为二面角的角平分面上的点，点p 到1 2 的距离相等2xy 2z3 3x2 y 6z 1 化简得5x3y32z190(1)221222
