1、（1）从OW P（AB）W P（A）知，当AB=A，即卩AA B时P（AB）取到最大值，最大值为P（AB）=P（A）=0.6,（2）从（*）式知，当A U B=S时，P（AB）取最小值，最小值为P（AB）=0.6+0.7 1=0.3。17.四设 A , B , C 是三事件，且 P（A）二 P（B）=P（C） 士，P（AB） = P（BC）=0 ,P（AC） .求A, B, C至少有一个发生的概率。8P （A, B, C 至少有一个发生）=P （A+B+C）= P（A）+ P（B）+ P（C） P（AB） P（BC）P（AC）+ P（ABC）=8.五在一标准英语字典中具有 55个由二个不相同的
2、字母新组成的单词，若从 26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词： 55个P（A）二等A26_ 111309.（设后面4在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0, 1, 29）记A表“后四个数全不同”/后四个数的排法有104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有 A；P（A） A4 =0.50410410.六在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选 3人记录其纪念章的号码。（1
3、）求最小的号码为 5的概率。记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件A10人中任选3人为一组：选法有且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为 5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有P（A）二12（2）求最大的号码为 5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有每种选法等可能,又事件B相当于：有一人号码为5,其余2人号码小于5，选法有1P（B）二11.七某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬 运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A
4、。在17桶中任取9桶的取法有 G97种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有Co C： CjP（A）=C14。C3 C2G67252二 243112八 在1500个产品中有 400个次品，1100个正品，任意取 200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件 A在1500个产品中任取200个，取法有 覷种 ,每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有 400 100种400 1100P（A）90 1101500200（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”Bo表“不含有次品” ，Bi表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法 有20?
5、札200个产品含一个次品，取法有仏0叮200 1 199 A=B0 B1且Bo, Bl互不相容。1100 400 1100P（A） =1 -P（A） =1 P（B。）P（BJ =1 |（200丿 * J 1 人199 丿 1500）0500） |_（200 丿 （200 丿13.九从5双不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?记A表“ 4只全中至少有两支配成一对”则A表“ 4只人不配对”从10只中任取4只，取法有 4种, 每种取法等可能。524要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。 取法有 4p（A）=C10=_821P（A） =1 _P（A
6、） =11321 2115.十一 将三个球随机地放入 4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1, 2， 3，的概率各为多少?记Ai表“杯中球的最大个数为 i个” i= 1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有 43种，每种放法等可能对A1 :必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4X 3X 2种。（选排列：好比3个球在4个位置做排列）4X32P（A1）4 3 2616对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有（从3个球中选2个球，选法有C；，再将此两个球放入一个杯中，选法有 4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有 3种。P（A2）2C3 4 3 9对A3：必须三球都
7、放入一杯中。放法有 4种。（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种）4P（A3） 416.十二50个铆钉随机地取来用在 10个部件，其中有三个铆钉强度太弱， 每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱， 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“ 10个部件中有一个部件强度太弱”。1.法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组， 三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组 中不分先后次序。但 10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E:铆法有C50 C47 C44 C23种，每种装法等可能对a：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有 C
8、33 c23X10种C； C：7 C：4 C；3】10 1P（A） 3 47 44 23 0.00051cAc：7汇心 1960法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）铆法有 A。种，每种铆法等可能A3 a4； =10 A a4；对A:三支次钉必须铆在“ 1, 2, 3”位置上或“ 4, 5, 6”位置上，或“ 28, 29, 30”位置上。这种铆法有 A A A A47 I960= 0.0005117.十三已知 P（A） =0.3, P（B） =04P（AB） =0.5,求P（B| A 一 B）。解一：P（A） =1
9、-P（A） =0.7, P（B） =1 -P（B） =0.6, A = AS 二 A（B 一 B） = AB 一 AB 注意（AB）（AB .故有P （AB）=P （A） - P （AB ）=0.7 - 0.5=0.2。再由加法定理，P （A U B ）= P （A）+ P （ B） - P （AB ）=0.7+0.6 - 0.5=0.8于是 P（B| A 一 B）PB（A 一 B）一 P（A 一 B）P（AB）P（A 一 B）0.20.8= 0.25解二：P（AB）二 P（A）P（B | A）由已知05 = 07 卩（B | A）PA050.7二号二 P（B | A）1 故 P（AB） =
10、P（A）P（B| A）=-5PWB）定义弟P（BA） _ _ 5P（A） P（B） - P（AB） 0.7 0.6- 0.50.2518.十四P（A） *, P（B|A） #, P（A|B）弓,求P（A 一 B）。由 P（A| B）定义P（AB）P（B）P（A）P（B| A）由已知条件 有丄二二 3=. P（B）二丄P（B） 2 P（B） ） 6由乘法公式，得P（AB） =P（A）P（B|A）=占由加法公式，得 P（A 一 B） =P（A） P（B） P（AB）=寸 g 一吉 二;19.十五掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。（方法一）（在缩小的样本
11、空间 SB中求P（A|B），即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（ x, y） （ x, y=1,2,3,4,5,6 ）并且满足x,+y=7，则 样本空间为S=（ x, y）| （1,6 ）, （6, 1）, （2, 5）, （5, 2）, （3, 4）, （4, 3）每种结果（x, y）等可能。A=掷二骰子，点数和为 7时，其中有一颗为1点。故P（A）二纟 63方法（用公式P（A|B）=S=（ x, y）| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A= “掷两颗骰子， x, y中有一个为“ 1”点”，B= “掷两颗
12、骰子， x,+y=7”。则6 1 2P（B） 6t=1,P（AB） ，62 6 62故 P（A| B）_2_石=2 =丄20.十六据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P（A）=P孩子得病=0.6，P （B|A）=P母亲得病|孩子得病=0.5，P （C|AB）=P父亲得病|母亲 及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。所求概率为P （ABC ）（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件, 这里不是求 P （C |AB）P （AB）= P（A）=P（B|A）=0.6 （X5=0.3, P （C |AB）=1 - P （C |AB）=1 - 0.
13、4=06从而 P （ABC ）= P （AB） P（C |AB）=0.3 0.6=0.18.21.十七已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作 不放回抽样，求下列事件的概率。法一：用组合做在（1）二只都是正品（记为事件 A ）10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。c2C8辱 0.6245用排列做10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。28A10法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记Ai， A2分别表第一、二次取得正品。28 45（2）二只都是次品（记为事件 B）法一:P（B） = C2G2。法二:AP（B）去法
14、三: 2 1 P（B） *（人财北（几尸傀| A）吒=45（3）只是正品，一只是次品（记为事件 C）P（c）=（c8y2）s；8 2 2 8 16 = P（）P（Ae |A!）P（A1）P（A2|A1;80 .丽二嗚（4）第二次取出的是次品（记为事件 D）因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作, P（D） =凡；A2 =Ao 5 p（d）=p（A2 AAd且aA与Aa2互斥mAjPiA） P（A）P（A2lA）=1o 9 _2_ 1=122.十八某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超 过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是 多少
15、？记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。H = Ai + A A? + A A3三种情况互斥P（H）二P（AJ P（入）P（A2 | 瓦）P（Ai）P（A2 | 入）P（A3 | 入A?）10 10 9 10 9 8 10如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 再发生的概率。B）问题变为在 B已发生的条件下，求 HP（H |B PA1 | B A1A2 | B A1A2A3 |B）=P（A |B） P（A, |B）P（A2 |BAj P（瓦 |B）P（A2 |B）P（A3 IBA1A2）14 14 3 13 i A i A A =
16、24.十九设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n只白球m只红球，乙袋中装有 N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋 中取到）白球的概率是多少？（此为第三版 19题（1）记Ai, A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。T B=Ai B+A2B 且 Ai , A2 互斥P （B）=P （Ai）P（B| Ai）+ P （A2）P （B| A2）n N+i 丄 N= n m N M i n m N M i十九（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。 先从第一盒子中任取 2只球放入第二盒中去，然
17、后从第二盒子中任取一只球，求取到白 球的概率。记Ci为“从第一盒子中取得 2只红球”。C2为“从第一盒子中取得 2只白球”。C3为“从第一盒子中取得i只红球，i只白球”，D为“从第二盒子中取得白球”，显然Ci, C2, C3两两互斥，CiU C2 U C3=S,由全 概率公式，有P （D）=P （Ci）P （D|Ci）+P （C2）P （D|C0+P （C3）P （D| C3）C； 5 C2 7 C5 C4 6 53_C2 ii C； 11 C9 11 一 9926.二一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人
18、是男性的概率是多少？Ai=男人 , A2=女人 , B=色盲，显然 Ai U A2=S, Ai A2= $由已知条件知 P（AJ =P（A2） =2 P（B| ） =5%, P（B|A2） =0.25%由贝叶斯公式，有1 5P（A | B）=P（A）P（B| A） 2 100 20P（A）P（B|A） P（A2）P（B|A2） 一 5 1 25_ 21H00 2 10000二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P,若第一次及格则第二次及格的概率也为 P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 （2）若已知他第
19、二次已经及格，求他第一次及格的概率。Ai=他第i次及格，i=1,2已知 P （A1）=P （A2|A”=P, P（A2|A）=p2（1）B=至少有一次及格所以B =两次均不及格A1A2 p（b）=1 p（B）=1 p（AA2）j p（A）p（A2 | A）1 -p（A）1 -p（A2|A）=1 _（1 _p）（1 _P）=3p _p22 2（2） P（AA2）定义需（*）由乘法公式，有 P （A1 A2）= P （A1） P （A2| A1） = P由全概率公式，有 P（A2P（A1）P（A2 | A!） P（A）P（A2 | A）=P P （1 P）将以上两个结果代入（* ）得P（A1 |
20、A2）=28.二十五某人下午5:00下班，他所积累的资料表明:到家时间5:355:39405:44455:49505:54迟于5:乘地铁到家的概率0.100.450.150.05乘汽车到0.300.350.20某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 回家的概率。47到家的，试求他是乘地铁设A= “乘地铁”，B= “乘汽车”，C= “5:49到家”，由题意，AB= $ ,AU B=S已知：P （A）=0.5, P （C|A）=0.45, P （C|B）=0.2, P （B）=0.5P（A|C）二P（C | A）P（A）由贝叶斯公式有0.5X0.45 0.45 9P（C|A）舟 P（C|B
21、）* 0.65 1329.二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装 5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一 只，作不放回抽样。试求（1 ）第一次取到的零件是一等品的概率。 （2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。设Bi表示“第i次取到一等品”i=1 , 2Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1 U A2=S A1A2= $（1） P（BJ10 1 1850 2 30= 0.4 （ B1= A1B +A2B由全概率公式解）。（2） P（B2|BJPB2）PQ）110_9 118172 0.4
22、857（先用条件概率定义，再求P （B1B2）时，由全概率公式解）32.二卜六（2）如图 1, 2, 3, 4, 5L- R表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为P,且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。记Ai表第i个接点接通 4 5记A表从L到R是构成通路的。t A=AiA2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥P （A）= P （AiA2）+ P （A1A3A5） +P （A4A5）+P （A4A3A2） P （A1A2A3A5）+ P （A1A2 A4A5）+ P （A1A2 A3 A4） +P （A1A3 A4A5） + P （A1A2 A3A4
23、A5） P （A2 A3 A4A5）+ P （A1A2A3 A4A5）+ P （Ai A2 a A4A5） + （AlA2 A3 A4A5） + P （A1A2 A3 A4A5） P （A1A2 A3 A4A5）又由于Ai , A?, A3, A4, A5互相独立。2323 4 4 4 4 5 4,故 P （A）=p + p + p + p p +p +p +p +p +p r 5 5 5 5、 52c3 u.4 c 5+ p + p + p + p p =2 p + 3p - 5p +2 p二十六（1）设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4。它们的可靠性分别为 Pi, P2,P3, P4
24、，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。2 3记Ai表示第i个元件正常工作，i=1, 2, 3, 4,A表示系统正常。T A=A 1A2A3 + A1A4两种情况不互斥P （A）= P （A1A2A3） + P （A1A4） P （A1A2A3 A4） （加法公式）=P （A1） P （A2）P （A3）+ P （A1） P （A4） P （A1） P （A2）P （A3）P （A4）=P1P2P3+ P1P4 P1P2P3P4 （A1, A2, A3, A4独立）34.三一-袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽） 在袋中任取一只，将它投掷 r次，已知每次都得到
25、国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？设“出现r次国徽面” =Br “任取一只是正品” =A由全概率公式，有m 1 r n rP（Br） =P（A）P（Br | A） P（A）P（Br | A） （）r 1rm + n 2 m 十 nP（A|Br）P（A）P（Br | A）P?BJ（条件概率定义与乘法公式）35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2,被两人击中而被击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。咼Hi表示飞机被i人击中，i= 1, 2, 3。B1, B2, B2分别表示甲、乙、丙击中飞机Hi =BiB2B3 B1B2B3 - B1B2B3，三种情况互斥。出 二B1B2B3 - B1B2B3 B1B2B3 三种情况互斥H3-B2b2 B3又B1, B2, B2独立。P（H1）=P（B1）P（B2）P（B3） P（B1）P（B2）P（B3）P（B1）P（B2）P（B30.4 0.5 0.3
