1、“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位（既通常说的“逢十进一”）， 这种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。 8、整数和小数数位顺序表： 小数部分的最高计数单位是0.1，整数部分的最低计数单位是1。它们之间的进率也是10。 9、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 （1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是这个分数的分数单位。最大的分数单位是 。 （2）分数的分类： 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数均小于1
2、。如: , , 假分数：分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数，假分数大于或等于1。 , 。 （3）带分数:整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为：整数+真分数 10、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比。百分数的分数单位是1%。百分数的分母是100。 11、分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数（后面可加数量单位）；也可以表示两个数的倍比关系。而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能表示具体的数。因此百分数不带单位。 12、正数和负数：像 、+2、0.5、+4.5这样的数叫做正数；像 、5.5、6这样的数叫做负数。（也可以说：比0大的
3、数叫正数，比0小的数叫负数。） （不能认为：一个数的前面加上“+”号这个数就是正数；也不能认为：一个数的前面加上“”号这个数就是负数。比如：“-a”这个数我们就不能判断是负数，因为a可能是正数、也可能是负数、也可能是0；所以我们无法判断。 自然数是等于或大于0的整数，也可以说是不小于0的整数，既是非负整数。0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界点 。 二、数的读法和写法。 （一）、多位数的读法和写法 1多位数的读数法则： （1）从高位到低位，一级一级地往下读； （2）每级末尾不管有几个0，都不读； （3）每级的开端或中间有一个0或连续的几个0，都只读一个零。 2多位数的写数法则： （1）
4、从高位到低位，一级一级地往下写； （2）哪一位上一个单位都没有，就在那一位上写0。 （二）、小数的读法与写法： 读法：通常是整数部分按整数的读法去读，小数点读作“点”，小数部分按从左向右的顺序只读出数字。 写法：写小数时，整数部分按整数部分的写法去写，小数点写在个位的右下角，小数部分按从左向右的顺序依次写出每一个数位上的数字。 （三）、分数的读法与写法：读分数时，先读分数的分母，再读“分之”最后读分子。读带分数时，要先读整数部分，再读“又”字，最后按分数部分的读法读分数部分。（分数线的读法：“分之”）， 写分数时，要先写分数线，再写分母，最后写分子，写带分数时，要先写整数部分，再写分数部分，整
5、数部分要对其分数线，二者要紧凑。 （四）、百分数的读法与写法：百分数的读法与分数相同。百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。写百分数时，先写分子，再写百分号。 （五）、数的大小比较： 1、整数的大小比较：比较两个整数的大小，首先要看它们的位数，如果位数不相同，那么位数多的那个数就大；如果位数相同，就先从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大； 2、小数的大小比较：先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上数大的那个数就大；十分位上的数字相同，百分位上的数大那个数就大。以此类推。 3、分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的那个分数就大
6、；（因为分母相同，分数单位就相等，分子大的就意味着含有的分数单位多。）；分子相同的分数，分母小的那个分数反而大。分子、分母都不同的分数相比较，先通分，转化成同分母分数后，再比较大小。 4、正数和负数的大小比较：负数都比正数小。0大于一切负数，0小于一切正数。 5、两个负数相比较：如果ab（a、b均为正数），则ab。就是在不看负数符号的情况下：数大的那个数反而小,（即：负号后的数越大,这个数反而越小）如: 266。 三、数的变化规律和性质： 1乘法中的一些规律： （1）一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也随着扩大或缩小相同的倍数。 （2）一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积
7、不变。 （一扩一缩，倍数相同，积不变。 （3）一个非零的数乘小于1的数，积就小于这个数；乘大于1的数，积就大于这个数。 2除法中的一些规律： （1）除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数。 （2）被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。 （3）被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变（注意：余数要变），这叫做商不变规律。 （4）当被除数不为零时，除数大于1，商反而小于被除数；除数小于1，商反而大于被除数。 3小数的基本性质： 小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的基本性质。（注意：小数的位数有变化，精确度也就有变化。即“值同,
8、意义不同”） 判断：在小数点的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。（ 给小数添上0或者去掉0，小数的大小不变。 近似数末尾的0不能去掉。（在表示小数近似数的时候,小数末尾的“0”不能去掉,以近似数0.1和0.10为例,它们的精确度不同,0.1表示精确到十分位,它所代表的数一定大于或等于0.05而小于0.15的数;0.10表示精确到百分位,它所代表的准确数一定是大于或等于0.095而小于0.105的数。所以,近似数末尾的“0”不能随意去掉,它决定着该数的精确度。 小数点的位置移动引起小数的大小变化规律：小数点每向右移动一位、两位、三位这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍；小数点每向
9、左移动一位、两位、三位该数就缩小到原数的1/10、1/100、1/1000。 4分数的基本性质： 分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数值不变，这叫做分数的基本性质。分数的分数单位有变化，分子、分母都有变化） 约分和通分：把一个分数化成和原分数相等的，且分子分母都比原分数小的的分数叫做约分；把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数，叫做通分。 分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。 5比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。 6比例的基本性质： 在比例中，两内项的积等于两外项的积，这叫做比例的基本性质。 四、数的改写
10、： 1、把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。 （1）直接改写：把一个多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法是：在“万”位或“亿”位的右下角打上小数点（如果原来位数不够，要用0补足），再在数后面加上“万”或“亿”字，用“=”连接。 （2）省略尾数改写成近似数：找到多位数“万”位或“亿”位，看“千位”或“千万位”上的数是否满5，满了5就向前一位进一，没满5就舍去，同时在后面加上一个“万”字或“亿”字，用“”连接。常以“四舍五入到哪位或省略万级（或亿级）后面的尾数、精确到哪位、保留到哪位”等题样出现。 2、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面的尾数按照“四舍五
11、入法”省略，中间用“”。根据实际需要另有“进一法或去尾法”的情况。 进一法：就是在保留整数时，无论十分位上的数是多少，一律往整数部分进一。运货物、物体（或液体）分装箱（或瓶）、乘车（或船）的人数安排、需要安排材料等一类有余数的除法数学问题。 去尾法：就是在保留整数时，无论十分位上的数是多少，一律去掉。买书（或货物）、做服装、做通风管等一类有余数的除法数学问题。 3、小数、分数、百分数的互化： 小数化成分数方法：先看小数点后面有几位小数，就在1的后面添上几个0做分母，原来的小数去掉小数点后做分子。能约分的必约成最简分数。 分数化成小数方法：用分子除以分母。 小数化成百分数的方法：把小数的小数点向
12、右移动两位，（位数不足时用0补足）同时在后面添上“%”。 百分数化成小数的方法：把百分数的分子的小数点向左移动两位，同时去掉后面的“%”。 百分数化成分数的方法：先把百分数的改写成分母是100的分数，然后约成最简分数。 分数化成百分数的方法：先把分数化成小数，（若遇除不尽时，通常要保留三位小数）再把小数化成百分数。 4、常用分数与小数、百分数的互化： 0.550% 0.2525% 0.7575% 0.220% 0.440% 0.660% 0.880% 0.12512.5% 0.37537.5% 0.62562.5% 0.87587.5% 0.110% 0.011% 0.0010.1% 0.00
13、010.01% =0.05 = 5% =0% =0% =0% =0% =0% =0% =0% 0.044% 0.088% 0.1616% 0.2424% 0.022% 5、常用整数的倍数值： 25250 254100 256150 258200 12300 2516400 752150 754300 1252250 1254500 12581000 五、数的整除： 1、整除：整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数且没有余数，我们就说数a能被数b整除。（也可以说b能整除a）。 2、因数和倍数：（是在非0自然数的条件下）如果ab=c（a、b、c都是非0整数）那么a、b就叫做c的因数，c就叫做
14、a、b的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 综上：一个数的最大因数 = 它的最小的倍数 3、公因数和最大公因数：几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 4、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。 5、求两个数的最大公因数的方法：一般采用列举法，就是把两个数的因数一一列举出来，然后找出两个数的公因数，其中最大的那个数就是这两个数最大公因数。也可以采用短除法。 短除法求最大公因数的
15、方法：把两个数写在 的横线上，先用着这两个数的公有质因数做除数，如果两个数的商是互质数，除数就是这两个数的所得的商就是这两个数的最大公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。 6、求两个数的最小公倍数的方法：一般也采用列举法，把两个数的倍数数根据需要按从小到大的顺序列举一部分，然后找出两个数的公有的倍数，其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。 短除法求最小公倍数的方法：把两个数写在 的横线上，先用着这两个数的公有质因数做除数，所 得的商写在横线下的相对应的位置，如果两个数的商是互质数
16、，就把除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个数的商不互质， 就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 7、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法： 如果两个数中，较大数是较小数的倍数，较小数就是较大数的因数，则较大数是这两个数的最小公倍数；较小数是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 8、奇数和偶数：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数（总前述：奇、偶数的判定与能否被2整除有关）。最小的偶
17、数是0，最小的奇数是1，最小的偶质数是2。 链接：判定：在自然数中，不是奇数就是偶数。（） n为任意自然数时，2n表示为偶数，连续后两个偶数分别表示为2n+2、2n+4 。 n为任意自然数时，2n表示为偶数，2n+1表示奇数，连续后两个奇数分别表示为2n+3、2n+5 9、2、3、5的倍数的特征。 （1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 （2）一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （3）个位上是0或5的数都是5的倍数。 能同时被2和3整除的数，一定是6的倍数； 能同时被2和5整除的数，个位一定是0（也就是10的倍数）； 能同时被3和5整除的数，一定是15的倍数
18、； 能同时被2、3、5整除的数，一定是30的倍数；最小两位数是30，最大两位数是90。最小三位数是120，最大三位数是990。 20以内既是奇数又是合数的数只有9和15。 50以内的质数有：2、3、5、7；11、13、17、19；23、29 10、质数和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。质数有且只有两个因数，合数至少有三个因数（总前述：与给定的这个数的因数个数有关）。 1既不是质数也不数合数。最小的质数是2，既是质数又是奇数的最小一位数是3，最小的合数是4，百数表中，最大的质数是97。所有的合数都是偶
19、数（9它是合数但不是偶数。 所有的偶数都是合数（0，2它是偶数但不是合数。 11、质因数与分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。 12、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法，分解质因数时，先用这个合数的质因数（通常用最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续下去，直到得出商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。 13、互质数的6种特例： （1）相邻两个自然数一定是互质数； 例如：15和16 58和59 （2
20、）相邻两个奇数一定是互质数；15和17 61和63 （3）1和任意一个自然数一定是互质数；1和26 1和100 （4）2 和任意一个奇数一定是互质数；2和25 2和39 （5）两个不同的质数一定是互质数；7和13 23和31 （6）一质一合，不成倍数就一定是互质数。例如：5和33 11和28 14、大于0的自然数的分类方法：（1）根据是否是2的倍数，自然数可分为：奇数和偶数。（2）根据所含因数的个数，自然数可分为：1、质数、合数。 B、数的运算： 一、四则运算的意义和计算方法 1、加法的意义：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算。 2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数
21、的运算。 3、乘法的意义：（1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。 （2）一个数乘小数，可以看作是求这个数的十分之几，百分之几是多少？ （3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。 4、除法的意义：以这两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。 5、计算方法： 、加法的计算方法。 整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进1。 分数：同分母分数相加，分母不变只把分子相加。异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数加法法则进行计算。 、减法的计算方法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，从前一位退1，在本位上加10后再减。同分母分数相
22、减，分母不变，只把分子相减。（分子之差做分子）异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算。 、乘法的计算方法： 整数乘法的计算方法：相同数位对齐，从末尾乘起，用第二个因数的每一位上的数去乘第一个因数，用哪一位的数去乘，乘得的积的末尾就要和那一位对齐，最后把每次乘得的积的相加。两位数两位数的速算 方法：尾数相乘，对角相乘再相加，首数相乘。4612 2294 第一步：尾数相乘： 7对角相乘再相加2=14（满十进位）。 第二步：对角相乘再相加：32=6、76=42；两积相加6+42=48（满十进位）；48+第三步：首数相乘：6=18 18+4=22 小数乘法的计算方法：计算小数乘法，末
23、尾对齐，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的末尾起向左数出几位，点上小数点。 分数乘法的计算方法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母（能约分的要先约分）。 、除法的计算方法 除法的计算方法：整数除法的计算方法：从被除数的高位除起，除的时候，除数有几位数就先看被除数的前几位，如果前几位不够除，再多看一位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，每次除得余数必须比除数小。 小数除法的计算方法：除数是整数的小数除法，要按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的末尾添上0继续除。除数是小数的
24、除法：先移动除数的小数点，使它变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同位数（位数不够时，在被除数的末尾用0补足），然后按除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。 分数除法的计算方法：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 0没有倒数。1的倒数是1。 估算：把参与运算的某个数看成与它接近的整十、整百或整千数（根据实际情况而定，常有大估与小估之分），再运算出结果，使用“”号连接。 常用策略：（1）凑整的方法。（2）利用给定的数据个体特征进行。12681000，是把126看作125来估算，属于小估范畴。 二、四则运算的验算方法： 1、
25、“加数+加数=和”的验算方法： （1）调换两个加数的位置再加一遍。（2）求个加数=和另一个加数。 2、“被减数-减数=差”的验算方法： （1）求被减数=差+减数 （2）求减数=被减数差 3、“因数因数=积”的验算方法： （1）调换两个因数的位置再乘一遍。 （2）求一个因数=积另一个因数。 4、“被除数除数=商”无余数的除法的验算方法： （1）求被除数=商除数 （2）求除数=被除数商 5、“被除数除数=商余数（每次除得余数必须小于除数）”有余数的除法的验算方法：除数+余数 （2）求除数=（被除数余数） 三、0与1在四则运算中特性： a+0=a a0=0 0a=0 a0=a a1=a aa=0 a
26、1=a 1a= （提示：a作除数时a0） 归纳：0+任何数=任何数 0任何数=0 0任何不是0的数=0 1任何数=任何数 任何数1=任何数 1任何不是0的数=任何不是0的数的倒数 规定：除法的除数、分数的分母、比的后项”均有不能为0”的条件。 在分数的基本性质、比的基本性质、等式的性质”中均有乘或除以一个不为0”的条件。 四、运算定律及简便计算： 1加数或减数接近整数（或整十、整百、整千数）的简便计算： （1）多加几就减几 如（1）：73+198 （2）：310-198 （3）：183-102 （4）：146+108 （2）多减几就加几 73+200-2 310-200+2 183-100-2
27、 146+100+8 （3）少减几就再减几。 273-2 110+2 83-2 246+8 （4）少加几就再加几。 271 112 81 254 2去括号（或添号）法则。（用于同级运算中） （1）在加、减法中：括号前面是加号 即：+（ ），去掉括号，里面的数前的符号不变号。 括号前面是减号 即：-（ ），去掉括号，里面的数前的符号要变号，方法是： +变-， -变+。 （2）在乘、除法中：括号前面是乘号 即：（ ），去掉括号，里面的数前的符号不变号； 括号前面是除号 即：（ ），去掉括号，里面的数前的符号要变号，变，变 3五大运算律。 （1）加法交换律：abba （2）加法结合律：（ab）ca（bc） （3）乘法交换律：abba （4）乘法结合律：（ab）ca（bc） （5）乘法分配律：（ab）cacbc 或（ab）ca
