1、余弦函数：y = cosx.（/） = （-s,+s）, /（） = -1,1。（3）.正切函数：y = tanx.T =兀、D（f） = xxeR,x（2k + ）-,keZ . /（） = （-oo,+s） （4）余切函数：y = cotx.T = 7i D（f） = xxeR,xk7r,k eZ, /（） = （-s,+s）.5、反三角函数（1）反正弦函数：y = arcsinx, （/） = 1,1, /（D） = -,-o2 2（2）反余弦函数:y = arccosr, （/） = 1,1, /（D） = 0,刃。 反if 切函数：y = arctaiw, ）（/） = （-8,+s
2、）, /（） = （-，）（4）反余切函数：y = arccotr, ） = （0,龙）。极限一、求极限办法1、代入法代入法重要是运用了 “初等函数在某点极限.等于该点函数值/因而遇到大某些简朴题目时候，可以直接代入进行极限求解。2、老式求极限办法（1） 运用极限四则运算法则求极限。（2） 运用等价无穷小量代换求极限。（3） 运用两个重要极限求极限。（4） 运用罗比达法则就极限。二、函数极限四则运算法则设 lim u = lim v = B 贝 Ux（1）liin（M v） = liin z/ lim v = A Ba2 .v（2）lim（w v） = lim u - lim v = ABXT
3、/I .r2 xT/i推论（a） lim（C v） = C lim v, （C为常数）。.v2lim u A（3）= = （BhO）.3 v liin v BKT久（4）设P（x）为多项式P（x） = %x“+吗兀心+陽,则lim P（x） = P（x0）XT）（5）设PM.Q（x）均为多项式，且0（x）HO,贝ij limd2 =空心fQ（x） QM三、等价无穷小惯用等价无穷小虽代换有：当x 0时，sinx x, tanx x, arctanxx, arcsinxx, ln（l + x） x , e-lx, 1-cosx x2对这些等价无穷小量代换，应当更深一层地理解为：当 TO时，sin匚
4、,别的类似。四、两个重要极限qin工重要极限I lim = 1.5 x八、洛必达（LHospital）法则“V”型和“上”型不定式，存在有limZU2 = = A （或8）。0 O0 F g（x） f g （x）一元函数微分学一、导数定义设函数y = f（x）在点某一邻域内有泄义，当自变量兀在心处获得增疑（点+心 仍在该邻域内）时，相应地函数y获得增量3 = /（人）+心）一/（兀）。如果当山0时, 函数增量，与自变量Ax增量之比极限lim = liin 竺亠2二2如=广&）注意两个符号心和心在题目中也许换成其 TO Av ato zkr她符号表达。二、求导公式1、基本初等函数导数公式 （1）
5、（cy = o（C为常数）（2）xay = oxa （a为任意常数）（3）（axy = axna （0,l）特殊状况（ex）f = ex（4）（loga x = log e = ! （x 0,6/ 0,a H 1）, （In x）f =x xln a x（5）（sinx） = cosx（6）（cosx） = -sinx（7）（tanx）= cos x1（8）（cotx） =一 ssin。x（9）（arcsinx） = （ （-1（x（1）Jl FI（10）（arccosx） =_ （_lxl）Jl-x，（11）（arctanx）= l + Q=fl（pM导数为 g = g半=f （“）.0（x
6、）。三、导数应用1、函数单调性/ （x）0则/（x）在（ab）内严格单调增长。/ W0则/（x）在（“）内严格单调减少。2、 函数极值/ （x） = 0点一一函数/（兀）驻点。设为卞（1）若 x 0 : xx0 时，/ （%） 0 ,则/（兀）为/（X）极大值点。（2）若x x（）时，/ （%） 0 ,则/（儿）为/（兀）极小值点。（3）如果/ （%）在心两侧符号相似，那么/（心）不是极值点。3、 曲线凹凸性厂匕） 0 ,则曲线y = /（x）在（a,）内是凹。/ （x）0）和直线 x = ,A- = b（a “）及久轴所用平而图形绕久轴旋转一周所形 成旋转体，如图所示。则该旋转体体积V可由下
7、式求岀： Vx = f 7tj2 （x）dx = /rf f2（x）dx.多元函数微分学1、 偏导数，对某个变量求导，把其她变量看做常数。2、 全微分公式：dz = df （x, y） = AAx + BAy。3、 复合函数偏导数一一运用函数构造图如果” = 0（x,y）、v = y）在点（x,y）处存在持续偏导数殂dx dy dx dy且在相应于（x,y）点（“*）处，函数z = /Gap）存在持续偏导数空，三，则复合函数 du dvz, = /0（忑y）,0gy）在点（上刃处存在对X及y持续偏导数，且dz dz du dz, dv dz dz du dz dv = + ， = odx du
8、 dx dv dx dy du dy dv dy4、 隐函数导数对于方程F（x,y） = 0所拟定隐函数y = f（x）,可以由下列公式求出y对x导数：-F、（x,刃2、隐函数偏导数对于由方程F（x,y,z） = 0所拟定隐函数z = /（兀刃，可用下列公式求偏导数：空=_ F；（x,y,z）& F. （a y, z）勿 F； （x, y, z）5、 二元函数极值设函数Z = /Uo,儿）在点（旺，儿）某邻域内有一阶和二阶持续偏导数，且A（oOo） = 0，/（x0,y0） = 0又设兀（心,儿）=A,人（氐,）=B,扎，（心九）=C, 则：（1） 当B2-AC 0时，函数/（X, y）在点（
9、勺,儿）处获得极值，且当40时有极小值。（2） 当B2-AC 0时，函数/（X, y）在点（“，儿）处无极值。（3） 当B2-AC = 0时，函数/（x,y）在点（x,儿）处与否有极值不能拟左，要用其他办 法另作讨论。平面与直线1.平而方程 1）T而点;丿. ：d 间直角坐标系屮，过点MoEZ。）觉得n = A,B,C向量平而方程为A（x一兀）+ B（y 一儿）+ C（z -zo） = O称之为平面点法式方程（2）平而普通式方程Ax+By+Cz + D = O称Z为平而普通式方程2、 特姝平面方程By+Cz = 0 表达过原点平而方程Ax+By+D = O 表达平行于Oz.轴平而方程你+ By
10、 = 0 表达过Oz.轴平而方程Cz + D = O 表达平行于坐标平而xOy平面方程3、 两个平面间关系设有平面 码：4兀+ $y + C忆+ 0 = 0 : A2x+ B2y + C2z + D2 = 0平面街和禺互相垂直充分必要条件是：AA2+B,B2 +C&2 =0平而和心平行充分必要条件是：企=如=1工2 A B. G O厶 & & *平而街和龙2重叠 冬件出A=A=S=i a2 b2 c2 d24、 直线方程（1） 直线原则式方程 过点Mog,儿，和）且平行于向量s = 加,n,p直线方棵 匚乞=口1=口1称之为直线原则式方程（又称点向式方程、对称式方程）。m n p常称s = m
11、,n, p为所给F线方向向mC（2） 直线普通式方程和+场y + C忆+ D =0称之为直线普通式方程A2x + B2y + C2z + D2 = 05.两直线间关系乙_Px-x2 y 儿 m2心 Pi直线/厂人丫彳 必耍条件为空=乞；m2 n2直线厶，/2互相垂直充分必要条件为叫加2 +叩2 +pxp2 =06、直线/与平面兀间关系设直线/与平而兀方程为zx-x0 _ y-y0 _ Z-Zo兀：A（x ） + B（y-儿）+ C（z 5）= 0ARC直钱/ 15屮 必要条件为：- = - = -N线/仃平而;r平行充分必要条件为:“线/落在平而兀I:充分必要条何为Am+ Bn+ Cp = 0
12、 A“）+ Bnf + Ci* +00Am+ Bn + Cp = 0A/?o + Bn（i + Cp + ） = 0将初等函数展开成幕级数1.- I1： vkf（x）6-U（x）内具条任总阶导数,且汕心，尺心倆（r严则在呱Q内n=0n称上式为f（x）在点X。泰勒级数。或称卜式为将/（兀）展开为JC = Xq幕级数。2.几种惯用原则展开式1 x1 一 X n-08 Yn cos 牙=y （-l）- n=0 （2）!常微分方程1、 一阶微分方程（1）可分离变量微分方程若一阶微分方程F（x, y, y） = 0通过变形后可写成g（y）dy = fx）dx 则称方程F（x, y, y） = 0为可分离
13、变量微分方程.2、 、可分离变量微分方程解方程g（y）dy = f（x）dx必存在隐式通解G（y） = F（x） + C。其中：G（y） = J g（y）y, F（x） = j f（x）dx.即两边取积分。（2）一阶线性微分方程1、泄义：方程y+p（x）y = e（x）称为一阶线性微分方程.（1）非齐次方程一一Q（x）HO；齐次方程一一 y + P（x）y = O.2、求解一阶线性微分方程（1）先求齐次方程y + P（x）y = O通解：y = H-PC为任意常数。（2）将齐次通斛 C 埃成（x） HI： y = u（x）e iPixdx代入非齐次方程+ P（x）y =。（劝，得2、二阶线性常
14、系数微分方程（1）可降阶二阶微分方程1、y = /（x）型微分方程例 3：求方程，=丄戶-sinx通解.分析：y1 = f ydx = e2x + cos.v + Cx:2、 y = /（x,y）型微分方程解法：（1）令 p = y，方程化为 p = f （x, /?）:（2）解此方程得通解p = （x，G）:（3）再解方程y = 0（x，G）得原方程通解y = （px,C）dx+C2.3、 / = /（*，/）型微分方程（1）令p = y并视为），函数，那么丫=业=也.空=卩也, ax dy dx dy代入原方程，得p-= f（yp）dy（3）解此方程得通解p = （y,CJ； 再解方程y=
15、（”G）得原方程通解f = x + C.例4：求方程yy*-/2= 0通解.分析:（1）令卩=：/,并视为y函数，那么=吃=吐.空=p如.dx ay dx dy（2）代入原方程，得yp-/r=O或 = dy p y（3）解上方程，得 hilpl=hilyl + lnC = p = C$, （C,=C）.（4）再解方程 y = Cy = = C = lnlyl=C$ + C；.y（5）于是原方程通解为y = C2ecx, （C2= ）（2）常系数线性微分方程（1）、二阶常系数齐次线性方程yH + py+qy = 0解.写出特性方程并求解r2 + pr + q = 0.下面记 = “2 -4。，人
16、,q为特性方程两个根.（1） = /一40时，则齐次方程通解为：uCy+C?*，。（2） = 2_4 = 0时，则齐次方程通解为y = C 严 + C2xeriX =刃（G + C2x）.（3） = “2 - 4q v 0时，有q=a + e、q=a_W邙丰0），则齐次方程通解为y =严（G cos J3x + C2 sin fix）.（2）二阶常系数非齐次方程解法方程形式：y” + pyf + qy = f（x）解法环节:（1）写出方程特性方程r2 + pr + q = Oi（2）求出特性方程两个根斤,勺：（3）原方程通解如下表所示：特性方程根方程通解Cerx+C2er2X（G+CqX）丹r = aip严（G cos Px + C2 sin /?v） （0 工 0）（4）再求出非齐次方程一种特解/（X）；（5）那么原方程通解为 y = CiN（x） + C2y2（x） + 。
