1、考研数学公式推导积化和差 积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。公式sin a sin 3 二cos( a + 3 )-cos( a - 3 )/2 (注意此公式前的负号)COS a cos 3 =cos( a + 3 )+COS(a - 3 )/2sina cos3 =sin(a +3 )+sin(a -3 )/2cosa sin3 =sin(a +3 )-sin(a -3 )/2证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：sina sin3 =-1/2cos( a +3 )-cos(a -3 ) =-1/2(cos a
2、 cos3 -sina sin3 )-(cosa cos3 +sina sin3 ) =-1/2-2sina sin3 其他的 3 个式子也是相同的证明方法。作用 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式， 所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。在历史上， 对数出现之前， 积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算， 运算需要利 用三角函数表。运算过程：将两个数通过乘、除 10的方幂化为 0到 1之间的数，通过查表求出对应的 反三角函数值，即将原式化为10Ak*sin a sin 3的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数 的值，并最后利用加减算出结果。对数出
3、现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。和差化积正弦、余弦的和差化积指高中数学三角函数部分的一组恒等式sin a +sin 3 =2sin( a +3 )/2 cos(a - 3 )/2sin a -sin 3 =2cos( a + 3 )/2 sin( a - 3 )/2cos a +cos 3 =2cos( a + 3 )/2 COS( a - 3 )/2cos a -cos 3 =-2sin( a + 3 )/2 sin( a - 3 )/2以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程sin a +sin 3 =2sin( a +3 )/2 cos(a - 3 )/2的证明过
4、程因为sin(a +3 )=sin a cos 3 +cos a sin 3，sin( a - 3 )=sin a cos 3 -cos a sin 3,将以上两式的左右两边分别相加，得sin(a +3 )+sin(a -3 )=2sin a cos 3，设 a + 3 = 0,a - 3 = 0那么a =(0 +0 )/2, 3 = (0 -0) 12把a,3的值代入，即得sin 0 +sin 0 =2sin(0 +0 )/2 cos(0 -0) /2正切的和差化积tan a tan 3 =sin(a3 )/(cos a cos3 )(附证明)cot a cot 3 =sin( 3a )/(
5、sin a sin 3 )tan a +cot 3 =cos( a - 3 )/(cos a sin 3 )tan a -cot 3 =-cos( a + 3 )/(cos a sin 3 ) 证明：左边 =tana tan3 =sina /cosa sin3 /cos3 =(sin a cos 3 COSa sin 3 )/(cos a cos 3 )=sin( a3 )/(cos a cos 3 )=右边-等工式成立必须用诱导公式化注意事项 在应用和差化积时， 必须是一次同名三角函数方可实行。 若是异名， 为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩 正减
6、正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然生动的口诀： (和差化积) 帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕 哥-哥=负嫂嫂 反之亦然sinx*siny=? 正余弦的和差化积和积化和差公式 常用的诱导公式有以下几组：公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n + a) = sinacos ( 2k n + a) = cos atan (2k n + a) = tan acot (2k n + a) = cot a公式二：设a为任意角，n +a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (n + a)= sin acos (n + a)= cos atan (n
7、+ a)= tan aCOt (n + a)= cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin(a)= sinaCOs(a)= COsatan(a)= tan aCOt(a)= COta公式四：利用公式二和公式二可以得到n - a与a的三角函数值之间的关系：sin (n a) = sin aCOS (n a)= COS atan (n a)= tan aCOt (n a)= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 n - a与a的三角函数值之间的关系:sin (2 n a)= sin aCOS ( 2 n a) = COs atan (2 n a)= tan aCOt
8、 (2 n a)= COt a 公式六：n /2aoc与a的三角函数值之间的关系sin(n/2 a)= COsaCOs(n/2 a)= sinatan(n/2 a)= COtaCOt(n/2 a)= tan asin(n/2 a)= COsaCOs(n/2 a)= sinatan(n/2 a)= COtaCOt(n/2 a)= tan a诱导公式记忆口诀规律总结 上面这些诱导公式可以概括为：对于kn /2 a (k Z)的个三角函数值，1当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；2当k是奇数时，得到a相应的余函数值，即 sint cos;costsin;tan cot,cot tan.
9、(奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)例如：sin(2 n a ) = sin(4 n /2 a ), k= 4为偶数，所以取 sina。当 a 是锐角时，2 n a (270 , 360 ), sin(2 n a )V 0，符号为“一”。 所以 sin(2 n a )= sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。360 -a公式右边的符号为把a视为锐角时，角 k 360 + a( k Z) , - a、180 a,所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；
10、三为切； 余弦”这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“” ； 第二象限内只有正弦是“” ，其余全部是“” ； 第三象限内切函数是“” ，弦函数是“” ； 第四象限内只有余弦是“” ，其余全部是“” 上述记忆口诀 ,一全正 ,二正弦 ,三正切 ,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系 :tan a cot a = 1Sin a CSCa = 1COS a SeCa = 1商的关系：Sina /CoSa= tana= SeCa /CSCaCoSa /Sin a= Cota= CSCa /SeCa平方关系：sinA2( a
11、) + COSA2( a )= 11 + tanA2( a )= secA2( a )1 CotA2( a )= CSCA2(a ) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法： (参看图片或参考资料链接) 构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1的正六边形为模型。( 1 )倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积) 。由此，可得商数关系式。(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下 面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式2.两角和与
12、差的三角函数公式sin (a + B) = Sin a cos 3 + cos a Sin 3sin (a 3) = sin a cos 3 cos a sin 3 CoS(a3)= CoSa CoS3 Sina Sin3 cos(a3)= cosa cos3 sina sin3 tanatan3tan (a3)=1 tan a tan 3tana tan3tan (a_B)= 1+ tan a tan 3倍角公式3二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式) sin2a=2sinacosacos2 a = cosA2( a ) sinA2( a ) = 2cosA2( a )_ 1 = 1
13、_ 2sin2( a )2tan atan2 a =1_tanA2(a)半角公式4半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)1_cosa sinA2(a/2)=21cosa cosA2(a/2)=21_cosa tanA2(a/2)=1cosa万能公式5万能公式2tan( a/2)sin a =1tanA2( a /2) 1_tanA2(a/2)cosa=1tanA2( a /2)2tan( a/2)tan a =1_tanA2(a/2)万能公式推导附推导：sin2a=2sinacosa=2sinacosa/(cosA2( a)+sinA2(a) *，(因为 cosA2(a)+sinA2(a)
14、=1)再把*分式上下同除 cosA2( a )，可得sin2a = tan2 a /(1 + tan人2( a ) 然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3a=3sina_ 4sinA3( a ) cos3a= 4cosA3( a )_3cosa 3tana_ tanA3(a)tan3 a =1 3tan八2( a )三倍角公式推导 附推导：tan3 a = sin3 a /cos3 a=(sin2 a cosa+ cos2a sin a )/(cos2 a cos a -sin2 a sin a
15、 )=(2sin a cosA2( a ) + cosA2( a )sin a sinA3( a )/(cosA3( a ) cos a sinA2( a ) 2sin2( a )cosa)上下同除以 cosA3(a )，得：tan3 a = (3tan a tan人3( a )/(1 -3ta门人2( a )sin3 a = sin(2 a + a ) = sin2 a cosa+ cos2 a sin a=2sin a cosA2( a )+ (1 2sinA2( a )sin a=2sina 2sinA3( a )+sina 2sinA2(a )=3sina 4sinA3(a )cos3
16、a= cos(2a+a )= cos2a cosa sin2a sina= (2cosA2( a ) 1)cosa 2cosa sinA2( a )= 2cosA3(a ) cosa+ (2cosa 2cosA3(a )= 4cosA3(a ) 3cosa即sin3a= 3sina 4sinA3(a ) cos3a= 4cosA3(a ) 3cosa三倍角公式联想记忆 记忆方法：谐音、联想 正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角(欠债了 (被减成负数 )，所以要“挣钱” (音似“正弦” ) 余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余” ) 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表
17、示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式7三角函数的和差化积公式a+3 a 3sin a + sin 3= 2sin - cos-2 2a+3 a3sin a sin 3= 2cos sin 22a+3 a3cosa + cos 3 = 2cos COS2 2a+3 a3cosa cos 3= 2sin sin2 2积化和差公式8三角函数的积化和差公式sin a cos 3 = 0.5sin (a + 3)+ sin (a 3) cosa sin 3 = 0.5sin (a + 3) sin (a 3) cosa cos3 = 0.5cos (a+3)+ COS (a 3) sin a si
18、n 3= 0.5cos (a + B) cos (a 3)和差化积公式推导附推导：首先 ,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a -b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理 ,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的 ,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
19、所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理 ,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式 :sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需
20、一个变形 ,就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的 a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式 ：sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x -y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x -y)/2) 和差化积公式：sin 0 +sin $ =2sin( 0 + 阀c)02I( 0sin -sin $ =2cos( 0 +
21、 $ )/2sijn2 0cos 0 +cos $ =2cos( 0 + $ )/2Co)s2 0cos 0cos $ =sin( 0 + $ )/2sin$( )/2 0和差化积公式由积化和差公式变形得到。积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程： sin(a +B )=sina cosB +cosa sinB， sin(a -B )=sina cosB -cosa sinB 把两式相加得到： sin(a +B )+sin(a -B )=2sina cosB所以， sina cosB =Isin(a +B )+sin(a -B )/2 同理，把两式相减，得
22、到： cosa sinB =Isin(a +B )-sin(a -B )/2 cos(a +B )=cosa cosB -sina sinB， cos(a -B )=cosa cosB +sina sinB 把两式相加，得到： cos(a +B )+cos(a -B )=2cosa cosB 所以， cosa cosB =Icos(a +B )+cos(a -B )/2 同理，两式相减，得到 sina sinB =-Icos(a +B )-cos(a -B )/2 这样，得到了积化和差的四个公式 ： sin a cos B =Isin( a + B- B) +) s /i2n ( acos a
23、 sin B =Isin( -sain(+-aB)/2cos a cos B =Icos( a +B -)B+c)o/s2( asin a sin-IBco=s( a +-cBos)( a-B )/2.我们有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积的四个公式那么a =(0 +0 )/2, 3 =(9 -0 )/2把a ,3分别用B , 0表示就可以得到和差化积的四个公式 ：sin 0 +sin 0 =2sin( 0 + 0 )-0c)02I( 0sin -sin 0 =2cos( 0 + 0 )/20%2 0cos 0 +cos 0 =2cos( 0 + 0 )/2C
24、o)s2 0cos 0cos 0 =sin( 0 + 0 )/2sin( )/2 0正余弦公式三角函数的积化和差公式sinacos3= 1/2sin(a+3)+sin(a-3)cosasin3= 1/2sin(a+3)-sin(a-3)cosacos3= 1/2cos(a+3)+cos(a-3)sinasin3=- 1/2cos(a+3)-cos(a-3)三角函数的和差化积公式sin 0 +sin 0 = 2sin( 0 + 0-)/2/2os( 0sin -sin 0 = 2cos( 0 + 0 )/2阳)/2(| 0cos 0 +cos 0 = 2cos( 0 + 0 )-0 cosi(
25、0cos -cos 0 =2sin( 0 + 0 )/2 sinK )/2 0有相关的口诀正加正，正在前，正减正，余在前余加余，余并肩，余减余，负正弦反之亦然360 =2 n360。用角度表示的一个圆周角的角度 ，而2 n是用弧度表示的圆周角(即该角度所在的弧长是半径的多少倍：弧长/半径。如360。是整圆，所在的弧长是 2n r,半径是r,所以弧度为：2n r/r=2 n)两者是相同的量不同单位的表示形式在公式里看具体是用弧度还是角度 ，如果前面是用弧度就应用 2n ,如果用的是角度就应用360详细讲解正余弦诱导公式解题过程诱导公式(口诀 ：奇变偶不变，符号看象限。 )sin ( a)= si
26、n acos (a) = cos a tan (a)= tan acot(a)= cota sin (n /2 a) = cos a cos (n /2 a) = sin a tan (n /2 a) = cot a cot (n /2 a) = tan asin (n /2 +a) = cos a cos (n /2 +a)= sin atan (n 12 +a)= cot acot (n /2 +a)= tan asin(na)= sinaCOs(na)= COsatan(na)= tan aCOt(na)= COtasin (n + a)= sin a COS (n + a)= COS
27、a tan (n + a)= tan aCOt (n + a)= COt asin(3n /2 a)= COsaCOs(3 n /2 a)= sinatan(3 n /2 a)= COtaCOt(3n /2 a)= tan asin(3 n /2 +a)= COsaCOs(3 n /2 +a)= sinatan(3 n /2 +a)= COtaCOt(3 n /2 +a)= tan asin (2 n a)= sin aCOS ( 2 n a) = cos a tan (2 n a)= tan aCOt (2 n a)= COt asin (2k n + a) = sinaCOs ( 2k n
28、 + a) = COs a tan (2k n + a) = tan a COt (2k n + a) = COt a (其中k Z)两角和与差的三角函数公式 万能公式sin (a + B) = sin a cos 3 + cos a sin 3 sin (a 3) = sin a cos 3 cos a sin 3 COs(a3)= COsa COs3 sina sin3 COs(a3)= COsa COs3 sina sin3tan (a + B)= (tan a + tan 3 )/(1 tan a tan 3 )tan a tan 3tan (a_3)= 1 + tan a tan 3
29、2tan(a /2)sin a= 1tan2(a /2)1 tan2( a /2)cosa=1 + tan2( a /2)2tan(a /2)tan a=1 tan2( a /2)半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2a= 2sina cosacos2a= cos2a sin2a= 2cos2a 1 = 1 2sin2a2tan atan2 a =1 tanA2 asin3 a = 3sin a 4s沖3 acos3a= 4cosA3a 3cosa3tan a tanA3 atan3 a =1 3tanA2 a三角函数的和差化积公式 三角函数的
