1、中考数学考点专题复习专题六四边形 1中考数学考点复习-专题六四边形中考点击考点分析：内容要求1、四边形和多边形的有关概念，四边形及多边形的内角和、外角和定理2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定，运用相关知识进行证明及计算3、中心对称和中心对称图形的概念、性质及判定4、梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，掌握等腰梯形的性质和判定，运用相关知识进行证明和计算；5、三角形、梯形中位线定理及其运用6、割补等方法计算特殊四边形的面积和不规则图形的面积命题预测：四边形知识是中考的重点内容，纵观近几年的中考试题，四边形以其独特的魅力占据了一席之地，试题从拼图剪切分割、到阅读理解、科学探究发现应有
2、尽有，题型涉 及填空、选择、解答题等各种形式，尤其值得重视的是与四边形相关的开放探索性问题，以 及与相似形、三角函数、圆、函数等知识构建起的综合题。在 2004-2006 年的中考中，四边形知识的题量大约占全卷试题总量的 14%-16%，平均分值一般占到 12%左右，有些地区比例更高。估计 2007 年有关四边形试题将保持综合性，加大开放性，增强探索性，体现应用性。难点透视例 1 若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是 .【考点要求】本题考查多边形内角公式与外角知识。【思路点拨】设此凸多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于360”的推论，列方程，得(n - 2)
3、 180 = 360 ,解得 n=4.【答案】填 4.【方法点拨】部分学生因未能记住多边形内角和公式，导致无法求解。突破方法：利用 图形推导，理解记忆多边形内角和公式计算公式为： (n - 2) 180 。例 2（2005 年荆门）下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（ ）A.B. C. D.【考点要求】本题考查轴对称与中心对称知识。【思路点拨】一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称 轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂 直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形。【答案】选 A。【方法点拨】部分学生未正确理解
4、中心对称的意义，容易错远 C。突破方法：理解中心对称的意义，要求图形绕某一点旋转 180 度后能与原图形重合。解题关键：判断中心对称的简单方法就是将图形正着看与倒过来看效果是完全一样的。例 3 如图 6-1，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形图 6-1则图中的度数是（ ）A60 B55 C50 D45【考点要求】本题考查等腰梯形的性质及镶嵌知识。【思路点拨】观察图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形 上底角等于 120，所以=60。【答案】选 A。【方法点拨】部分学生对于本题不易找到解题思路，不能完整解答，通常是进行猜测。 突破方法：牢牢抓住图中是六块全
5、等的等腰梯形，因而各对应底角相等。解题关键：以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析，三个相等的底角和为 360 度，所以每个上底角等于 120 度，下底角为 60 度。例 4 已知：如图 6-2，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OEDC 交 BC 于点E，AD=6cm，则 OE 的长为（ ）A6 cm B4 cm C3 cm D2 cm【考点要求】本题考查菱形的有关性质及相似三角形的判定及应用。【思路点拨】菱形 ABCD 中，AD=CD=6，因为 OEDC，所以BEOBCD，所以 BOBD=OECD，又因为 O 是 BD 中点，所以OE = 1 CD = 3。2图 6
6、-2【答案】选 C。【方法点拨】解题关键：线段 OE 的一个端点 O 为对角线的中点，要求 OE 长，只需证明OE 是中位线。例 5 如图，ABCD 的周长为 16cm，AC、BD 相交于点 O，OEAC 交 AD 于 E，则DCE的周长为（ ）A4 cm B6cm C8cm D10cm【考点要求】本题考查平行四边形及垂直平分线性质的应用。【思路点拨】由题意知，AD+CD=8cm。ABCD 中，AC、BD 互相平分， 则 OE 为 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 所 以 EC=EA 。 因 此 ， DCE 的 周 长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。【答案】选 C。A
7、 E DB C图 6-3【方法点拨】少数学学生未能意识到 OE 是 AC 的垂直平分线而无法选择。突破方法： 平行四边形对角线互相平分，所以 O 为 AC 中点，OEAC，因此 OE 是 AC 的垂直平分线。解题关键：将DCE 的周长转化为 AD 与 CD 的和。例 6 如图 6-5，在梯形 ABCD 中，AB/DC，AB=a，CD=b（ab）若 EF/AB，EF 到 CD 与AB 的距离之比为 m:n，则可推算出： EF = ma + nb .m + n试运用类比的方法，推想下述问题的结果.在上面的梯形 ABCD 中，延长梯形两腰 AD、BC 相交于 O 点 O设OAB、OCD 的面积分别是
8、 S1、S2, EF/AB 且 EF 到 CD 与AB 的距离之比为 m:n，则OEF 的面积 S0 与 S1 、S2 的关系是（ ）AS0 = mS1 + nS2m + nC S0 = m S1 + n S2m + nBS0 = nS1 + mS2m + nD S0 = n S1 + m S2m + n【考点要求】本题考查梯形中位线性质的应用。【思路点拨】题目中给出的是梯形中位线定理的推广公式，A B图 6-5由 DC/EF/AB，得， EF b S0=S2a = EF S1S0，b =代入题目所给公式，化简得 S0 = m S1 + n S2 。m + n【答案】选 C。【方法点拨】解题关
9、键：观察四个选项，容易看出各选项结构与题目条件所给公式相同， 但都不含字母 a 和 b。根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，分别求出 a、b，然后代入题目中所提供的公式，整理后可得出结果。例 7 如图 6-7，在梯形 ABCD 中， AB DC ，过对角线 AC 的中点O作 EF AC ，分别交边 AB，CD 于点 E，F ，连接CE，AF （1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 EF = 4 ， tanOAE = 2 ，求四边形 AECF 的面积5【考点要求】本题考查菱形的判定及简单的三角函数知识。【思路点拨】（1）证明：方法 1： AB DC ，ACF = CAE 在CFO
10、 和AEO 中，ACF = CAE，FOC = EOA，OC = OA， CFO AEO ， OF = OE ，又 OA = OC ，四边形 AECF 是平行四边形 EF AC ，四边形 AECF 是菱形 方法 2：证AEO CFO 同方法 1，图 6-7 CF = AE， CF AE， 四 边 形 AFCE 是 平 行 四 边形 OA = OC，EF AC ， EF 是 AC 的垂直平分线， AF = CF ，四边形 AECF 是菱形（2）解： 四边形 AECF 是菱形， EF = 4 ， OE = 1 EF = 1 4 = 2 2 2在RtAEO 中， tanOAE = OE = 2 ，
11、OA = 5，OA 5 AC = 2AO = 2 5 = 10 S菱形AECF= 1 EF AC = 1 4 10 = 20 2 2【答案】（2） S菱形AECF = 20【误区警示】少数学生未能掌握菱形的判定方法，证明（1）时遇到困难。突破方法：因为菱形是特殊的平行四边形，结合本题所给条件，应先证明四边形 AECF 是平行四边形， 再由对角线互相垂直或一组邻边相等证明其为菱形。例 8 如图 6-10 中图 1，矩形纸片 ABCD 的边长分别为a，b(a b) 将纸片任意翻折（如图 2），折痕为 PQ（ P 在 BC 上），使顶点C 落在四边形 APCD 内一点C，PC 的延长线交直线 AD
12、于 M ，再将纸片的另一部分翻折，使 A 落在直线 PM 上一点 A，且 AM 所在直线与 PM 所在直线重合（如图 3）折痕为 MN （1）猜想两折痕 PQ，MN 之间的位置关系，并加以证明（2）若QPC 的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕 PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由（3）若QPC 的角度在每次翻折的过程中都为 45 （如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MCQD，及四边形 BPAN的周长与 a, b 有何关系，为什么？【考点要求】本题考查学生对探索题型的思维能力水平， 解题时关键要正确理解题意。【思路点拨】（1） PN MN 因为四边形 ABCD 是矩形
13、，所以 AD BC ，且 M 在 AD 直线上，则有 AM BC ，图 6-10 AMP = MPC ， 由 翻 折 可 得 ：MPQ = CPQ = 1 MPC， NMP = AMN = 1 AMP ，2 2 MPQ = NMP ，故 PQ MN （2）两折痕 PQ，MN 间的距离不变。过 P 作 PH MN ，则 PH = PM sin PMH ，因为QPC 的角度不变，所以CPC 的角度也不变，则所有的 PM 都是平行的又因为 ADBC ，所以所有的 PM 都是相等的，又因为PMH = QPC ，故 PH 的长不变（ 3 ） 当 QPC = 45 时， 四边形 PCQC 是正方形， 四边
14、形 C QDM 是矩形 因为CQ = CD ， CQ + QD = a ，所以矩形CQDM 的周长为 2a。同理可得矩形 BPAN 的周长为 2a，所以两个四边形的周长都为 2a，与b 无关【答案】（1） PQ MN ；（2）两折痕 PQ，MN 间的距离不变；（3）矩形CQDM 的周长为 2a，矩形 BPAN 的周长为 2a。【方法点拨】部分学生因为未能仔细阅读操作过程，所以难以理解题意，即使猜想出结 论，也无法加以证明。突破方法：耐心研读题目条件，理解透彻。（1）问证明时，紧紧抓住翻折问题中存在的轴对称或者全等关系加以证明；（2）利用三角函数，将角的不变量转化为边的不变量；（3）将矩形的面积
15、用已知条件表示出来，再作判断。难点突破方法总结分析近年数学中考试题可以发现，四边形在中考试题中占有很重要的地位，是中考的重 点内容之一。本部分试题形式，题型丰富，考查面广。因而学生在复习时应从以下几个方面注意强化。1.准确掌握多边形的内角和公式，正多边形的性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形、 等腰梯形的概念、性质和判定，平面镶嵌的条件和镶嵌设计等，这些都是应考的重要前提。2.用转化思想求解数形结合题、方案设计题，以及一些综合题。3.用综合法、归纳法、比较法、类比法等数学方法，解答开放性、综合合性的阅读理解、 归纳探索等试题。4.运用理论联系实际的方法，动手操作，实践探究，解决操作题、开放题、
16、创新题。拓展演练一、填空题1ABCD 的周长是 30，AC、BD 相交于点 O，OAB 的周长比OBC 的周长大 3，则 AB 。2如图：在ABCD 中，AEBD 于 E，EAD60，AE2，ACBD16，则BOC的周长为 。A D A DOE FB C B E C第 2 题图第 3 题图第 4 题图第 5 题图3如图所示，ABCD 的周长为 30，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，且 AEAF23，C1200，则平行四边形 ABCD 的面积为 。4已知：如图，在 ABCD 中，1=B=50，则2= 。5已知 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，如果AOB 的面积是 3，
17、那么 ABCD 的面积等于 。6如图，有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A 点，两条直角边分别与 CD 交于点 F，与 CB 延长线交于点E则四边形 AECF 的面积是 7已知菱形的周长为 40cm，两条对角线之比为 34，则菱形面积为 。8如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边 形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 。9若梯形的面积为 6 2，高为 2 ，则此梯形地中位线长为 。10在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中，既是轴对称、又是中心对称的图形是 。二、选择题11如图，将矩形 ABCD
18、沿对角线 BD 折叠，使 C 落在 C处，BC交 AD 于 E， 则下列结论不一定成立的是（ ）AADBC BEBDEDB CABECBD D sin ABE =第 8 题图AE ED12已知：如图 1，在矩形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点。若 AB2，AD4，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B4 C6 D8A H D D C E G第 11 题图B F C第 12 题图A B第 14 题图13顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形14如图，在平行四边形 ABCD 中，EFAB，DEEA = 23，
19、EF = 4，则 CD 的长为（ ）A163B8 C10 D1615如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，BD 为对角线，中位线 EF 交 BD 于 O 点，若 FOEO=3， 则 BCAD 等于（ ）A4 B6 C8 D1016如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是对角线 AC 上的两点，当E，F 满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（ ）AAE=CF BDE= BF CADE=CBF DAED=CFBD CD C第 15 题图A B第 16 题图A B第 17 题图17如图，在一个由 44 个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形
20、ABCD的面积比是 （ ）A34 B58 C916 D1218下列图形中对称轴最多的图形是（ ）三、解答题A B C D19已知如图：在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，点 E、F 分别在 BC 和AD 边上，AFCE，EF 和对角线 BD 相交于点 O，求证：点 O 是 BD 的中点。A F DB E C22已知如图，在ABC 中，C900，点 M 在 BC 上，且 BMAC，点 N 在 AC 上， 且 ANMC，AM 和 BN 相交于 P，求BPM 的度数。21已知：如图，已知：D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点 M，若MA=MC，求证：CD=AN。B
21、第 20 题图第 21 题图第 22 题图20已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 分别交 AD、BC 于点 E、F。求证：OE=OF。专题六四边形习题答案一、填空题19（提示：根据对角线的性质，OAB 与OBC 有两边是相等的，则OAB 的周长比OBC 的周长大 3，其实就是 AB 比 BC 大 3，又知 AB+BC=15，可求得 AB=9，BC=6）2（提示：根据直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半可求得 AD=4，再利用对角线性质，可求得BOC 周长为 12）3 27cm2（提示：连结 AC，根据等积法知 BCAE=CDAF，
22、因为 AEAF23，所以 BCCD=32，因为ABCD 的周长为 30，所以 BC=9，CD=6，再根据勾股定理，可求得 ABCD 的面积为 27cm2）480（提示：由平行四边形性质可知：B+1+2=180，又 1=B=50，2=1805050=80）512（提示：利用等底等高，S ABCD=4SAOB43=12）616（提示：由题意可知AEB 与AFD 全等，所以四边形 AECF 的面积等于四边形ABCD 的面积）790cm 2 （提示：由题意，菱形边长为 10cm，根据勾股定理可得菱形两对角线分别为12 和 16，故菱形面积为 90cm 2 ）8矩形、等腰梯形（拼时只要将相等的边靠在一起
23、）1 19（提示：根据梯形面积=（上底下底）高，其中，2 2（上底下底）=中位线，所以梯形面积=中位线高，所以此梯形中位线长为 3 ）10矩形、菱形、正方形（提示：平行四边形是中心对称，但不是轴对称，等腰梯形是 轴对称，但不是中心对称）二、选择题11C（提示：C 项中，如果ABECBD，则ABEDBCEBD=30 度，但题目中不具备这一条件）12B（提示：连结 EG，因为 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点，容易证明，S S EHG= 1 S2AEGD, S EFG= 1 S2EBCG，所以阴影部分面积等于矩形 ABCD 面积的一半）13A（提示：根据三角形中位线性质可知
24、所得到的四边形对边平行且相等，所以是平 行四边形）14C（提示：因为 EFAB，所以DEFDAB，所以 DE = EF ，即 2 = 4 ， 则 AB=10，又 AB=CD，所以 CD=10）DA AB2 + 3 AB15B（提示：根据三角形中位线知识，BCAD=2（FOEO）=6）16（提示：AE=CF，可用对角线互相平分证明；ADE=CBF 可能过证明全等得到 DE与 BF 平行且相等；AED=CFB 也可利用全等证明 BE 与 DF 平行且相等）17B（通过割补法或数格子，可得阴影部分共占 10 格，与正方形面积比为 1016=58）18C（提示：A 有 4 条对称轴；B 有 4 条对称
25、轴；C 有无数条对称轴；D 没有对称轴）三、解答题19证明：连结 BF、DE在四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，ADBC 又AFCEFDBE，FDBE四边形 BEDF 是平行四边形BODO，即点 O 是 BD 的中点。20证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD/BC，OA=OCEAO = FCO ， AEO = CFO ，则有AOECOF，故 OE=OF。21证明：因为 ABCN，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。，在错误！不能通过编辑域代码创建对象。和错误！不能通过编辑域代码创建对象。中 错误！不能通过编辑域代码创建对象。则错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。是平行四边形 错误！不能通过编辑域代码创建对象。22证明：过 M 作 MEAN，且 MEAN，连结 NE、BE，则四边形 AMEN 是平行四边形，得 NEAM，MEAN，ACBC，MEBC在BEM 和AMC 中，MECM，EMBMCA900，BMACBEMAMCBEAMNE，12，34，1390024900，且 BENEBEN 是等腰直角三角形BNE450AMNEBPMBNE 450
