1、1991年高考数学试题全国卷1991年高考数学试题(理工农医类)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.【 】(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是【 】(A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1) (3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是【 】 (4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有(A)12对 (B)24对 (C)36对 (D)48对 【 】【 】 (6)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与
2、底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在ABC内,那么O是ABC的【 】(A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心 (7)已知an 是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于【 】(A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【 】(A)(0,0),(6,) (B)(-3,0),(3,0) (C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0) (9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有【 】(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种 【 】(A)第一象限 (B)第二
3、象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么【 】(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件 (D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 【 】(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (13)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间-7,-3上是【 】(A)增函数且最小值为5 (B)增函数且最大值为5(C)减函数且最小值为5 (D)减函数且最大值为5 【 】(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 (1
4、5)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M=xf(x)0,N=xg(x)0,那么集合xf(x)g(x)=0等于【 】 二、填空题：把答案填在题中横线上.(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45,那么这个正三棱台的体积等于 .(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a1,那么a= .(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PAPBPCa.那么这个球面的面积是 .三、解答题.(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取
5、最小值的x的集合.(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC2.求点B到平面EFG的距离.(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-,+)上是减函数. (25)已知n为自然数,实数a1,解关于x的不等式1991年高考数学试题（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. (1)A (2)D (3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D (9)C (10)C(11)A (12)C (13)B (14)C (15)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查三角形函数式
6、的恒等变形及三角函数的性质.解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin2x+cos2x(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.解：如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EFBD,H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.由直线
7、和平面平行的判定定理知BD平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.BDAC,EFHC.GC平面ABCD,EFGC,EF平面HCG.平面EFG平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.作OKHG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.证法一：在(-,+)上任取x1,x2,且x1x2,x1x2,x1-x20.所以,函数f(x)=-x3+1在(-,+)上是减函数.证法二：在(-,+)上任取x1,x2,且x1x2
8、, x1x2, x1-x20. x1,x2不同时为零,即 f(x2)1,式等价于 logax1,式等价于(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.依题意知,点P,Q的坐标满足方程组将式代入式,整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. 根据根与系数的关系,有18、大多数生物都是由多细胞组成的，但也有一些生物，它们只有一个细胞，称为单细胞生物。如草履虫、变形虫、细菌等。整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. 在铁制品表面涂上油漆或菜油，用完铁制品后擦干放在干燥的地方等。将,式及c2=a2+b2
9、代入式,并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,13、1663年，英国科学家罗伯特.胡克用自制的复合显微镜观察一块软木薄片的结构，发现它们看上去像一间间长方形的小房间，就把它命名为细胞。(a2+3b2)(3a2-b2)=0.8、对生活垃圾进行分类和分装，这是我们每个公民应尽的义务。因为 a2+3b20,解得b2=3a2,2、如果我们想要设计一个合理、清洁的垃圾填埋场，我们首先应考虑要解决的问题有哪些呢？9、物质的变化一般分为物理变化和化学变化。化学变化伴随的现象很多，最重要的特点是产生了新物质。物质发生化学变化的过程中一定发生了物理变化。整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. 二、问答
10、题：将,式及b2=3a2,c=2a代入式,解得a2=1.将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.24、目前，我国的航天技术在世界上占有相当重要的位置。“长征四号”运载火箭的顺利发射，载人飞船“神舟”五号和“神舟”六号和“神舟”七号也已经发射成功，“嫦娥”一号探月卫星又发射成功。解法二：式以上同解法一.将式及c2=a2+b2代入式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.12、淡水在自来水厂中除了沉淀和过滤之外，还要加入药物进行灭菌处理，这样才能符合我们使用的标准。因a2+3b20,解得b2=3a2.答：水分和氧气是使铁容易生锈的原因。即 (x2-x1)2=10. 将式代入式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.将b2=3a2代入上式,得a2=1,将a2=1代入b2=3a2得b2=3.故所求双曲线方程为
