1、S c 右 （ y） 左 （y） dy例 1 计算抛物线 y2 x、 y x2 所围成的图形的面积解（1）画图（2）确定在 x 轴上的投影区间 : 0 1（3）确定上下曲线f上 （ x）x, f下 （x） x2（4）计算积分131 x31S （ x x2 ）dx 2 x2例 2 计算抛物线y2 2x 与直线 yx 4 所围成的图形的面积（2）确定在 y 轴上的投影区间 : 2 4确定左右曲线左 （ y）2, 右（ y） y42 y 1 y2 4 y 1 y34 2 18S（ y 4 1 y2）dy6例3 求椭圆 x2 y2 1 所围成的图形的面积 a2 b 2解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象
2、限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为 0 a因为面积元素为ydx 所以aS 4 0 ydx椭圆的参数方程为 :x a cos t yb sin t于是b sin td（a cost）高等数学教案4absin2 tdt2ab 02 （1 cos2t）dt 2ab 2ab2极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线（ ）及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为dS1 （） 2d曲边扇形的面积为S1 （例 4.计算阿基米德螺线（a 0）上相应于从 0 变到 2的一段弧与极轴所围成的图形的面积解 : S2 1（a ）2d1 a21 3024 a2 3例5. 计算心形线a（1
3、cos ） （a0） 所围成的图形的面积 S 2a（1 cos 2da2（12cos1 cos2 ）da2 32sin1 sin 23 a2二、体 积1旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线y f （x）、直线 x a、a b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体设过区间 ab 内点 x且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V （ x） 当平面左右平移 dx后体积的增量近似为 Vf （x） 2dx于是体积元素为dVf （x）2dx旋转体的体积为V f （ x） 2
4、 dx例 1连接坐标原点O 及点 P（ h r） 的直线、 直线 xh 及 x 轴围成一个直角三角形将它绕 x轴旋转构成一个底半径为r、高为 h 的圆锥体计算这圆锥体的体积 直角三角形斜边的直线方程为y rh所求圆锥体的体积为r0 （x）dxh 2 3 03 hr例 2计算由椭圆y 2所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体（旋转椭球体 ）的体积b 2a 2 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆y及 x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积元素为dVy 2dx于是所求旋转椭球体的体积为（a 2x2 ）dxb2 a 2 x1 x 3 aa4 ab2例 3计算由摆线x a（t sin t）y a（1c
5、os t）的一拱直线 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的旋转体的体积解 所给图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为Vx2 ay2 dxa 2 （1 cost ） 2 a（1 cos t） dt3 cos t3 costcos t）dt5 2a 3所给图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差设曲线左半边为x=x1（y） 、右半边为 x=x2（y）则V y2a（ y）dyx2x1 （ y）dya 2 （tsin t） 2a sin tdta 2 （t sin t ） 2a 3（tsin t ） 2 sin tdt3a 32平行截面面积为已知的立体的体积设立体在
6、x 轴的投影区间为 a b过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截截面面积为 A（x）则体积元素为 A（x）dx立体的体积为a A（ x）dx例 4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为 y 轴那么底圆的方程为x 2y 2 R 2立体中过点x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为R2x2 及R 2tan因而截面积为A（ x）1 （R2x2 ） tan于是所求的立体体积为R 1（ R） tan dx RR R例 5 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于
7、底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积 取底圆所在的平面为x O y 平面圆心为原点并使 x 轴与正劈锥的顶平行底圆的方程为 x 2过 x 轴上的点 x （ Rx0） 相应于从 0 到 2一段的弧长弧长元素为a 2 2a 2 da 12 d于是所求弧长为a 2 1 4 2ln（21 4 2 ）s 0 a 16 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例 1 把一个带q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点O 处它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为 r 的地方 那么电场对它的作用力的大小为F k q（k 是常数 ）r 2当这个单位正电荷在电场中从r a 处沿 r 轴移动到 rb（ab）处时
