1、三角形梯形中位线定理应用练习课三角形、梯形中位线定理应用练习课教学设计执教 李裕达【教学内容】人教版初中几何第二册 P176P181【教学目标】1 .进一步熟悉三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理;2能熟练地运用三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理进行有关证明和计算;3通过例题和练习，使学生掌握与中点有关的常用辅助线作法;4培养学生思维能力和归纳、概括能力，提高解题能力。【教学重点】三角形、梯形中位线定理的应用【教学难点】证(解)题思路分析和辅助线的作法【教学方法】题组教学法【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件等【教学设计】一、复习题组1.知识要点(1)如图1 ,三角形中位线性质
2、定理的条件是结论是结论是三角形中位线判定定理的条件是(2)如图2,梯形中位线性质定理的条件是结论是结论是梯形中位线判定定理的条件是B C(图2)2.基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1)全等三角形对应边相等；(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质； 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 角平分线上的点到角的两边距离相等；(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6)直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半;(7)平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)的
3、性质;(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。、基本题组1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是 ;2顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 ;3顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ;4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是 ;5顺次连结正方形各边中点所得的四边形是 ;6顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 。7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是 。&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是 。9顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是正方形。12 .已知D、E、F是厶ABC各边
4、的中点，则厶DEF与厶ABC的周长比为 ，面积比为 则 EE = , FF = )13.如图3,在厶ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D、E、F是AC的四等分点，BC=28 , 贝U DD= , EE = , FF = 。14.如图4,在厶ABC中，D、E是AB边的三等分点， D、E是AC边的三等分点，若 BC=18 , 贝U DD= , EE = 。EE / FF / BC，分别交 CD 于15.如图5,在梯形 ABCD中，AD/BC , E、F是AB的三等分点,16.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是(A .相等且平分 B .相等且垂直 C.垂直平分17以等腰梯形两
5、底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是(D .垂直平分且相等)D .正方形A 平行四边形 B 矩形 C.菱形A B（图6）、教练题组例1.已知：如图 6,在梯形 ABCD中，AB/CD，以AD、AC为边作口 ACED ,DC的延长线交EB于F。求证：EF = FB。1注1本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳;1注2本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（1）延长EC，交AB于点G （如图7）；延长EC，交BA的延长线于点 G （如图8）；连结AE，交CD于点G （如图9）; 过点E作EG丄AB，分别交 DF、AB于G、H （如图10）;（5）过点E作EG/CD，交AD的延长
6、线于G （如图11）;构造梯形中位线过点F作FG/AD，交AB于G （如图12）;过点F作FG/AC，交AB于G （如图13）;构造全等三角形1注重点研究图构造平行四边形（图 10）G7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。例2.已知：如图15,在厶ABC中，AB=AC , E是AB的中点，延长 AB到D，使BD=AB。求证：CD=2CE。证法一：取 AC的中点F,连结BF （如图16）。证法二：过点 B作BF/CE，交AC的延长线于 F （如图17）。证法三：延长 CE到F,使EF=CE，连结FA、FB （如图18）。（图 15）口（图 19），再证此中线长
7、等于 DF ；22，BM、CN是厶ABC的角平分线,例3.已知：如图 19,在厶ABC中，/ B=2 / C, AD丄BC于D, E是BC的中点。求证：AB=2DE分析：要证AB=2DE，只需证等于 AB 一半的线段等于 DE或等于DE的2倍的线段等于 AB。（2）找等于AB 一半的线段有三种方法: 是只取AB的中点，但这不利于问题的证明;二是构造以AB为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直）三是构造以AB为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于 DE。证法一：取AB的中点F,（如图20）。（以下证明略）证法二：取AC的中点F，（如图21）。（以下证明略）例4.（选讲）已知：如图AE丄BM
8、于E, AF丄CN于F。求证：EF / BC。分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线”和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。证明：延长 AF交BC于G,延长AE交BC于H。（以下略）思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”结论是否还成立？如何证明？（如图23）,亠P四、巩固题组1.已知:如图 24, AD是厶ABC的中线，E是ADAE的延长线交AC于F。求证:BE = 3EF。2.已知:如图25,在菱形 ABCD中，E是AD的中点,求证:3.（选做）交AB于GE=GF。已知：如图26,G,交CB延长线于F。（图 23）在四边形 ABCD中，AB=CD , E、F
9、分别是 AD、BC的中点，延长 BA、CD，分别交FE的延长线于 M、N。（图 25）、复习题组1.如图1,三角形中位线性质定理的条件是 ,结论是 三角形中位线判定定理的条件是 结论是 2如图2，梯形中位线性质定理的条件是 ，结论是 梯形中位线判定定理的条件是 结论是 3三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？二、基础题组1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是 ;2顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 ;3顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ;4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是 ;5
10、顺次连结正方形各边中点所得的四边形是 。6顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 ;7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是 ;&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是 。9 顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是正方形。12.已知D、E、F是厶ABC各边的中点，则 DEF与厶ABC的周长比为 ，面积比为 13. 如图3，在 ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D、E、F是AC的四等分点，BC=28 ,贝U DD= , EE = , FF = ;14. 如图4，在 ABC中，D
11、、E是AB边的三等分点， D、E是AC边的三等分点，若 BC=18 ,贝U DD= , EE = ;15.如图5，在梯形 ABCD中，AD/BC , E、F是AB的三等分点，EE / FF / BC，分别交 CD于C.垂直平分 D .垂直平分且相等16直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（17.以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（）A .平行四边形B.矩形C.菱形三、例题题组D .正方形A .相等且平分B.相等且垂直例1.已知：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD，以AD、AC为边作ACED ,DC的延长线交EB于F。求证：EF = FB。例2.已知：如图，在
12、ABC中，AB=AC , E是AB的中点，延长AB 至U D，使 BD=AB。求证：CD=2CE。例3.已知：如图，在 ABC中，/ B=2 / C, AD丄BC于D , E是BC的中点。求证：AB=2DE例4.（选讲）已知：如图,BM、CN是厶ABC的角平分线,AE丄BM于E, AF丄CN于F。求证：EF / BC。A思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图），结论是否还成立？如何证明？四、巩固题组1已知：如图，AD是厶ABC的中线,求证：BE = 3EF。E是AD的中点,AE的延长线交2.已知：如图，在菱形求证：GE=GF。ABCD 中，AB=CD ,FE的延长线于M、N。BFABCD中，E是AD的中点，EF丄AC，交AB于G,交CB延长线于F。3.（选做）已知：如图，在四边形延长BA、CD，分别交求证：/ BMF= / CNF。
