1、二次根式基础专题二次根式知识梳理二次根式：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义.二次根式的性质1.非负性:,a(a 0)是个非负数.2、(、.a)2a(a 0).3.a2,a(a 0) |a|a(a 0)4.公式a2 |a| 0)与C.a)2 a(a 0)的区别与联系a(a0)(1) a2表示求一个数的平方的算术根， a的围是一切实数.(2) ( . a)2表示一个数的算术平方根的平方， a的围是非负数.(3a2和(,a)2的运算结果都是非负的.最简二次根式：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式.同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式
2、化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可 以合并的两个根式。分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互 为有理化因式。有理化因式确定方法如下：1单项二次根式：利用 a a a来确定，如：、.a与、,a , . a b a b , 0, b 0)2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。、a 、,b = . ab . ( a0, b0)3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a 八 a (a
3、0, b0) b b4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。二次根式的混合计算与求值1、 确定运算顺序；2、 灵活运用运算定律；3、 正确使用乘法公式；4、 大多数分母有理化要及时；5、 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法 当a 0, b 0时，如果a b，则a b ；如果a b，则Ja b。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： a
4、ba1a b&求商比较法 它运用如下性质：当 a0, b0时，则：b二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因，等是二次根式，而，等都不是二次根式。为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，例1.下列各式一定不是二次根式的是( )A、 a2 B 、.5 C 、. 4x2 4x 1 D 、. a2 6例2.下列与2是同类二次根式的是( )A. 3 B. 12 C. 8 D. 2 -11.判断下列各式哪些是二次根式( )(1) . 16 ； (2) x2 4x 4;(3) . 3x(x 0)；(4)4
5、4x2.写出下列各等式成立的条件、(x 2)2(5)1.下列根式中不是最简二次根式的是 ( )A. .10 B. .8 C. .6 D. 22.如果最简二次根式 屆二与72!是同类二次根式，那么 a的值是 ;取值围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a仝0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a 1 D、a 15 若使代数式：/x 2有意义，3则x的取值围是（)A、xm2 B、x 2 C 、x 2 D 、x w 46 若化简丨1-x | - x2 8x 16的结果为2x-5，则x的取
6、值围是（ ）A、x 为任意实数 B 、1 x 1 D 、x 47. x为何值时，下列各式在实数围有意义（1） 4 x （2） 4 |x| x （4）-2x 6 1 （5）3x 12 |x| v 2x 1 x8.二次根式.1-a中，字母a的取值围是 （ ）A . a v 1 B . a 1 D. a 19.已知12-n是正整数，则实数 n的最大值为 （ ）A . 12 B . 11 2,2） C. 8 D. 310.使式子p4-x无意义的x取值的是 ;二次根式（）的非负性0 () （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即注：因为二次根式（）表示 a的算术平方根，而正数的算术平方根是
7、正数， 0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。则a=,b=例.若,1.若,则a=,b=2 .若x-2 = ;3- xx-2成立，则x3-x满足3.已知x、y是实数，且满足 y= ,x-6 + 6- x +1（1 ）求x和y的值； （2）求寸x+2y的值。二次根式（）的性质()文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若, 则.例.女口，则3 ; ,5 21.已知一个正数的平方根是 2x-6和x+3，则这
8、个数是 ;2.把二次根式3寸1中根号外的因数移到根号，结果是 ;二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于 a的相反数-a,即；例2 2 =1中的a的取值围可以是任意实数，即不论 a取何值，一定有意义；2化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。3如果 x2 2xy y2 | x 3| 0，求y-2x的算术平方根。2 I 24.已知 x 10x 25 4 4x x 7，求x的取值围。5.若 (3- b)2 =3-匕，则( )A . b 3 B
9、 . b v 3 C. b 3 D. b 3与的异同点1、 不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a的算术平方根的平方，而表示一个实数 a的平方的算术平方根；在中，而中 a可以是正实数，0,负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果 是有差别的， ，而2、 相同点：当被开方数都是非负数，即时， =;时，无意义，而例.若av0，则.a2b化简为( )A、a . b B 、- a . b C 、a , b D 、- a . b1.当 a 时，a2 ( a)2二次根式的乘除法基础知识1.计算：J2 苗 ； J369 2.10xy 30xy(x 0, y 0) 3 .计算：3j5a 2扌丽
10、 .4.使等式 x 1 x 1 x 1g x 1成立的条件是5.当 a 0, b p 0 时， 6、 若 x3+3x2 = x x+3，则x的取值围是7 化简二次根式 5） 3得8若 A . a2 4 ，则A9 .下列名式中计算正确的是（C. 32 4234 7 d. . 412 402.41 40 .41 40 9 1 910.若a1 ,则1 a 3化简后为（)A.a 1a1b. 1 a ,1 a C.a 11 a D. 1 a . a 111.计算：能力提升14.当a八3时，则A，15 a 16.已知.x33x2 =- x x 3，则()(A)x 3(D) 3 x 0)(2) .10x 1
11、0 1 xy(x 0, y 0)的根号外的因式移到根号等于O2 6xy 1 .32xy2(3) 4 (x0, y0)19.化简:(1) 4a2b3 ( a0, b0) (2) x xy &o, y0) ( 3) - a4b2 a2b4 (ab0)能力拓展与探究二次根式的加减基础知识11.把下列各式化成最简二次根式：（1） 8 = （2） 25a = （3） .80 =(4) 3屁= (5) 6 石= (6) 418 =2.判断正误：对的画“V” ，错的画“X” .,2+、3= ；5 ； ( )、8- J3= -、5 ; () 2 2=2.2 ; ( ) 32- . 2=3 ; ( ) 2 .2
12、+、2=2、2; () 4.3- .3=3.3. ( )3.计算：(1)2 7-6 .7(2),50+、, 32屁+6、2x-、8x基础知识21.填空： 二次根式，再将二次根式加减法的法则是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成相同的二次根式进行合并2.计算:，20-53.计算： x 80.20+, 5.18+、, 98- . 27 724+/0 - 上-y/6基础知识31.计算：阿-5曆10、I.计算：(1) 5、2+、7,12-3 ,75 2、33.计算：(1) 3+2 ,/3+3 2、, 2+1 3、2-2基础知识41.计算：(1) 2.12- .6 2、.3 5+,6 5、2-2、,3
13、2.填空：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)= (2)完全平方公式：(a+b) = ,(a-b) 2= . 3.计算：(1) 4+、_7 4- , 7 . 10+32 10-3 ： 2、3+22 .6- 2二次根是综合1 .如图所示，实数a、b在数轴上的位置，化简：,a2 - ,b2 - (a-b)2.2+1 =(,2+1)( 2-1)=1- I 2,3+2(*3+ ；2)( 3- 2)1护-逗.4+ .3 _解答下列问题:(,4+ 3)( 4- 3) = 4- 3 ；写出一个无理数，使它与 3- 2的积为有理数。你认为这样的无理数可以是1利用你观察到的规律，化简：，-,一1计算：去+存丙十丽+3+ .10
