1、设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系：设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n。 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mii=0，i=1,2,n 当ij时，若Ai:j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则：mij=mik+mk+1j+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。 综上，
2、有递推关系如下：构造最优解： 若将对应mij的断开位置k记为sij，在计算出最优值mij后，可递归地由sij构造出相应的最优解。sij中的数表明，计算矩阵链Ai:j的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为（Ai:k）（Ak+1:j）。因此，从s1n记录的信息可知计算A1:n的最优加括号方式为（A1:s1n）（As1n+1:n），进一步递推，A1:s1n的最优加括号方式为（A1:s1s1n）（As1s1n+1:s1s1n）。同理可以确定As1n+1:n的最优加括号方式在ss1n+1n处断开.照此递推下去，最终可以确定A1:n的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
3、 1、穷举法列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P（n）。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：（A1.Ak）（Ak+1An）可以得到关于P（n）的递推式如下： 以上递推关系说明，P（n）是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。 2、重叠递归 从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：/3d1-1 重叠子问题的递归最优解/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 2
4、0*25/p0-6=30,35,15,5,10,20,25#include stdafx.h#include using namespace std;const int L = 7;int RecurMatrixChain（int i,int j,int *s,int *p）;/递归求最优解void Traceback（int i,int j,int *s）;/构造最优解int main（） int pL=30,35,15,5,10,20,25; int *s = new int *L; for（int i=0;iL;i+） si = new intL; cout矩阵的最少计算次数为：Recu
5、rMatrixChain（1,6,s,p）endl;矩阵最优计算次序为： Traceback（1,6,s）; return 0;int RecurMatrixChain（int i,int j,int *s,int *p） if（i=j） return 0; int u = RecurMatrixChain（i,i,s,p）+RecurMatrixChain（i+1,j,s,p）+pi-1*pi*pj; sij = i; for（int k=i+1; kj; k+） int t = RecurMatrixChain（i,k,s,p） + RecurMatrixChain（k+1,j,s,p）
6、+ pi-1*pk*pj; if（tu） u=t; sij=k; return u;void Traceback（int i,int j,int *s） if（i=j） return; Traceback（i,sij,s）; Traceback（sij+1,j,s）;Multiply A,sij; and A（sij+1）j1. 用算法RecurMatrixChain（1,4,s,p）计算a1:4的计算递归树如下图所示：2. 3. 4. 从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T（n）有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T（n）的递
7、归不等式：5. 6. 用数学归纳法可以证明，因此，算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。7. 3、备忘录递归算法8. 备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题
8、已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。/3d1-2 矩阵连乘 备忘录递归实现int LookupChain（int i,int j,int *m,int *s,int *p）;int MemoizedMatrixChain（int n,int *m,int *s,int *p）; int *m = new int *L; mi = new intL;MemoizedMatrixChain（6,m,s,p）int MemoizedMatrixChain（int n,int *m,int *s,int *p） for（int i=1
9、; i=n; i+） for（int j=1; j0） return mij; if（i=j） return 0; int u = LookupChain（i,i,m,s,p） + LookupChain（i+1,j,m,s,p）+pi-1*pi*pj; sij=i; int t = LookupChain（i,k,m,s,p） + LookupChain（k+1,j,m,s,p） + pi-1*pk*pj; sij = k; mij = u;算法通过数组m记录子问题的最优值，m初始化为0，表明相应的子问题还没有被计算。在调用LookupChain时，若mij0，则表示其中存储的是所要求子问题
10、的计算结果，直接返回即可。否则与直接递归算法一样递归计算，并将计算结果存入mij中返回。备忘录算法耗时O（n3），将直接递归算法的计算时间从2n降至O（n3）。3、动态规划迭代实现用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。/3d1-2 矩阵连乘 动态规划迭代实现int MatrixChain（int n,int *m,int *s,int *p）;MatrixChain（6,m,s,p）int MatrixChain（int
11、 n,int *m,int *s,int *p） mii = 0; for（int r=2; r r+） /r为当前计算的链长（子问题规模） for（int i=1;=n-r+1; i+）/n-r+1为最后一个r链的前边界 int j = i+r-1;/计算前边界为r，链长为r的链的后边界 mij = mi+1j + pi-1*pi*pj;/将链ij划分为A（i） * （ Ai+1:j ） sij = i; for（int k=i+1; /将链ij划分为（ Ai:k ）* （Ak+1:j） int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if（tmij） mij = t;
12、sij = k; return m1L-1;上述迭代算法的运行过程如下图所示：如图所示：当R=2时，先迭代计算出：m1:2=m1:1+m2:2+p0*p1*p2；m2:3=m2:2+m3:3+p1*p2*p3;m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4;m4:5=m4:4+m55+p3*p4*p5;m5:6=m55+m66+p4*p5*p6的值；当R=3时，迭代计算出：3=min（m1:3+p0*p1*p3,m1:3+p0*p2*p3）;4=min（m2:4+p1*p2*p4,m2:3+m4:4+p1*p3*p4）;.6=min（m4:4+m5:6+p3*p4*p6,m4:5+m6:6+p3*p5*p6）;依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。与备忘录方法相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结构可以看出，该方法只解那些确实需要求解的子问题
