1、1999全国高考数学文科试题1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史)本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）注意事项： l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式sincos=sin(+)+s
2、in(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/2 coscos=cos(+)+cos(-)/2sinsin=-cos(+)-cos(-)/2 正棱台、圆台的侧面积公式：S台侧=(c+c)L/2其中c和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。台体的体积公式：其中s,s分别表示上下底面积，h表示高。 一. 选择题：本大题共14小题；第(1)(1O)题每小题4分，第(11)(14)题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。（1）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （A）（MPS （B）（MP）S （C（MP） （D（M
3、P）（2）已知映射f：AB，其中，集合A-3，-2，-1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中 元素在映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素 的个数是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7（3）若函数yf（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab0，则g（b）等于 （A）a （B）a-1 （C）b （D）b-1（4）函数f（x）Msin（x+）（0）在区间a，b上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M， 则函数g（x）=Mcos（x+）在a，b上 （A）是增函数 （B）是减函数 （C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M（5）若f（x）si
4、nx 是周期为的奇函数，则f（x）可以是 （A）sinx （B）cosx （C）sin2x （D）cos2x（6）曲线x2+y2+2x-2y=0关于 （A）直线x=轴对称 （B）直线y=-x轴对称 （C）点（-2，）中心对称 （D）点（-，0）中心对称（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水倒 人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （A）6cm （B）6cm （C）2cm （D）3cm（8）若（2x）3a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2）2-（a1+a3）2的值为 （A）-1 （B）l （C） 0 （D） 2（9）直线xy
5、-2=O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为 （A） （B） （C） （D）（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形， EFAB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 （A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2（11）若sinatgactga(-a)，则a （A）（-，-） （B）（-，0） （C）（0，） （D）（，）（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的 侧面积的比为1：2，那么R= （A）10 （B）15 （C）20 （D）25（13）给出下列曲线： 4x+2y-1=0 x2+y
6、2=3 x2/2+y2=1 x2/2-y2=1 其中与直线r-2x-3有交点的所有曲线是 （A） （B） （C） （D）（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装 磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有 （A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种第II卷（非选择题共90分）注意事项： 1第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。二，填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线（15）设椭圆(x2/a2)+(y2/b2)1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l
7、1若过F1且垂直于x轴的弦的长 等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是_（16) 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作 物生长。要求A、B两种作物的问隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_种(用数字作答)（17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_（18）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断： mn n m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_三.解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（19）（本小题满分10分）解方程-3lgx
8、+4=0（20）（本小题满分12分）数列an的前n项和记为Sn，已知an=5Sn-3（nN）求（al+a3+a2n-1）的值。（21）（本小题满分12分）设复数z3cos+isin求函数y=tg（argz）（0mn 或mn, ma, m=a三解答题（19）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。满分10分。解：设(31gx-2)1/2=y,原方程化为y-y2+2=0. 4分解得y=-1, y=2. 6分因为 (31gx-2)1/20,所以将y=-1舍去，由 (31gx-2)1/2=2得 lgx=2,所以 x=100. 9分经检验x=100为原方程的解10分（20）本小题主要考查等比数
9、列和数列极限等基础知识，满分12分。解：由 Sn=a1+a2+an知an=Sn-Sn-1(n2),a1=S1, 2分由已知 an=5Sn-3 得an-1=5Sn-1-3. 4分于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an, 所以an=-(an-1/4). 6分由 a1=5S1-3,得 a1=3/4.所以，数列an是首项a1=3/4，公比q=-1/4的等比数列 8分由此知数列 a1,a3,a5,a2n-1,是首项为 a1=3/4, 公比为(-1/4)2的等比数列。所以limn(a1+a3+a5+a2n-1)=(3/4)/1-(-1/4)2=4/5. 12分（21）本小题主要考查复数的基本概念
10、、三角公式和不等式等基本知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力，满分12分。解：由00.由z3cos+isin得 tg(arg z)=sin/3cos=1/3tg. 3分故 y=tg(-arg z)=(tg1/3tg)/(11/3tg2) 6分=2/(3/tg)+tg.(3/tg)+tg2(3)1/2, 2/(3/tg)+tg(3)1/2/3. 9分当且仅当3/tg=tg(0O, /a0,对上式两端取对数，得nlg(l-ro)lg(/a).由于lg(1-ro)0,所以n(lg-lga)/lg(1-ro).因此，至少需要安装不小于(lg-lga)/lg(1-ro)的整数对轧辊 7分（II）
11、解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600a(1-r)k宽度 （其中r20），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lka(1-r)4宽度。因宽度相等，且无损耗，由体积相等得1600a(1-r)k=Lka(1-k)4(r=20%),即 Lk=16000.8K-4. 10分由此得 l3=2000(mm), l2=2500(mm), l1=3125mm)填表如下：轧辊序号K1234疵点间距LK（mm）312525002000160014分解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
12、：1600=L3(1-0.2),所以 L3=1600/0.8=2000(mm). 10分同理 L2=L3/0.8=2500(mm). L1=L2/0.8=3125(mm).填表如下：轧辊序号K1234疵点间距LK（mm）312525002000160014分（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。解法一：依题意，记B（1，b）（bR），则直线OA和OB的方程分别为y0和ybx，设点C（x,y），则有0xa,由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线的距离公式得|y|=|y+bx|/ 4分依
13、题设，点C在直线AB上，故有y=-b/(1+a)(x-a). 6分由 x-a0，得b=-(1+a)y/(x-a). 将式代入式得y21+(1+a)2y2/(x-a)2=y-(1+a)xy/x-a2,整理得y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0. 9分若y0，则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0xa);若y=0,则 b=0,AOB，点C的坐标为（0，0），满足上式，综上得点C的轨迹方程为(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0xa), 10分a1,x-a/(1-a)2/a/(1-a)2+y2/a2/(1-a2)=1(0x1时，方程 表示双曲线一支的弧段。 14分解法二：
14、如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CEx轴，E是垂足。（1）当|BD|0时，设点C（x,y），则0xa y0.由CEBD得 |BD|=|CE|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). 3分COA=COB=COD-BOD=-COA-BOD,2COA=-BOD， tg(2COA)=2tgCOA/(1-tg2COA), tg(-BOD)=-tgBOD,tgCOA=|y|/x, tgBOD = |BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).2|y|/x/1-(y2/x2)=|y|/(a-x)(1+a), 整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa).(II) 当|BD|=0时，BOA，则点C的坐标为（0，0），满足上式。综合（I）（II），得点C的轨迹方程为（1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa) 10分以下同解法一。
