1、初中数学教学设计182勾股定理的逆定理18.2 勾股定理的逆定理一、教学目标 知识技能：1了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程； 2理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；3掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；4会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题 数学思考：1通过“创设情景建立模型实验探究理论释意拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程； 2通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用问题解决： 通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用
2、勾股定理的逆定理解决相关问题 情感态度：1通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系； 2在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神二、重难点分析 教学重点：勾股定理的逆定理及其应用考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，我们首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题如何突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点呢？我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸现“构造直角三
3、角形”这一问题转化的关键之后，再不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，介绍互逆命题（定理）的概念对于勾股定理的逆定理应用的教学，充分利用课本提供的两道例题，着眼于“双基”和“应用”这两个层面，来突出本节的教学重点 教学难点：勾股定理的逆定理的证明本节课立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学的意识三、学习者学
4、习特征分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成.部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路.现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望.学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较
5、主动，但合作交流能力和探究能力有待加强四、教学过程 （一）创设情境，引入新课内容：情境：1直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？ 2如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情.效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础.（二）合作交流，探索新知内容1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，5，12，13；7，24，25；8，15，17；并回答这样两个问题：1这三组数都满足吗？2分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
6、学生分为人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数.意图： 通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一般特殊”的发展规律.效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：5，12，13满足，可以构成直角三角形；7，24，25满足，可以构成直角三角形；8，15，17满足，可以构成直角三角形.从上面的分组实验很容易得出如下结论：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形内容2：说理提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现.你认为这个发现正确吗
7、？你能给出一个更有说服力的理由吗？意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形满足的三个正整数，称为勾股数.注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识.活动3：反思总结提问：1同学们还能找出哪些勾股数呢？ 2今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？ 3到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?4通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？意图：进一步让学生认识该
8、定理与勾股定理之间的关系（三）应用新知，体验成功 内容：例1一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中都应是直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？（拓展资源图片1） 解答：符合要求 ， 又，例2一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？解答：由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在ABC中 =(250+240)(250-240) =4900=即ABC是Rt答:船转弯后,是沿正西方向航行的.意图： 利用勾股定理逆定
9、理解决实际问题，进一步巩固该定理.效果： 学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形（），以便于计算.例3如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.（拓展资源图片2） 解答：4个直角三角形，它们分别是ABE、DEF、BCF、BEF意图：考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解.例4如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？（拓展资源图片3）解答：是直角三角形，不是直角三角形意图： 考查学生如何利用网格进行计算
10、，从而解决问题.效果：学生在对所学知识有一定的熟悉度后，能够快速做答并能简要说明理由即可.注意防漏解及网格的应用.练习： 1下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由.9，12，15； 15，36，39； 12，35，36； 12，18，22解答：2一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ）(A)250 . (B)150 . (C)200 . (D)不能确定.解答：B3如图1：在中，于，则是（ ） (A)等腰三角形. (B)锐角三角形. (C)直角三角形. (D)钝角三角形.解答：C4将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，(图1)得到的三角形是（ ）(A)直角三角形. （B）锐
11、角三角形 .(C)钝角三角形. （D）不能确定 . 解答：A意图：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用效果每题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别用了哪些知识.（四）课堂小结，体验收获内容：师生相互交流总结出：1今天所学内容会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；满足的三个正整数，称为勾股数；2从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：数学是源于生活又服务于生活的；数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一般特殊”的发展规律；利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算.意
12、图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用.（五）拓展延伸，布置作业一、必做题:1一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 .2小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80
13、m后，又走60m的方向是 .3一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？4如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90.参考答案16米，8米，10米，直角三角形；提示：根据勾股定理逆定理2向正南或正北.提示：画图判断3ABC、ABD是直角三角形，AB和地面垂直.提示：运用勾股定理逆定理判断436平方米 提示：
14、连结AC.AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90，S四边形=SADC+SABC=36平方米.二、选做题1.若ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状2如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，问
15、：甲巡逻艇的航向？参考答案1ABC是Rt. 提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，a2+b2=c2，ABC是Rt2能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3由ABC是直角三角形，可知CAB+CBA=90，所以有CAB=40，航向为北偏东50.五、学习评价：(一)选择题 1在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.（A）12，15，17 （B）9，16，25 （C）5a，12a
16、，13a（a0） （D）2，3，42在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，AB8，BC15，CA17，则下列结论不正确的是（ ）.（A）ABC是直角三角形，且AC为斜边 （B）ABC是直角三角形，且ABC90 （C）ABC的面积是60 （D）ABC是直角三角形，且A603在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a：b：c1：2，则下列说法错误的是（ ）.（A）C90 （B）c2a2b2 （C）c22a2 （D）若ak，则c2k（k0） 4下列定理中,没有逆定理的是（ ）.（A）两直线平行，内错角相等 （B）直角三角形两锐角互余（C）对顶角相等 （D）同位角相等，两直线平行5在A
17、BC中，A、B、C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.（A）ABC （B）A：B：C 1：1：2 （C）a：b：c4：5：6 （D）a2c2b2 (二)填空题6若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .7若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为 cm2.8如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）.9一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深1
18、6cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是 体.10写出一组全是偶数的勾股数是 .(三)解答题11.判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a6.5，b7.5，c4； （2）a11，b60，c61；（3）a，b2，c； （4）a，b2，c； 12. 在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c. an216，b8n，cn2+16（n4）.求证: C=90.13.如图3，AD=7，AB25，BC10，DC26，DB24，求四边形ABCD的面积.14. 如图4，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9. (1)求DC的长.(2)求AB的长.(3)求证: ABC是直角三角形.答案与提示(一)选择题 1C；2C；3B；(二)填空题 411,-1.3,-0.3; 549,7.(三)解答题 6.0或1; 7.5; 9; ; 8.a=5,b=-2; 9.25 ; 10.;
