1、20分，2题,内容提纲,3/25,Ch 1 离散时间信号的傅里叶变换与Z变换Z变换Z变换的性质Z变换与DTFT、DFT关系Z逆变换LTI系统的线性、时不变、稳定、因果概念系统函数与差分方程FIR和IIR系统,Z变换,4/25,Z变换（Z-transformation）：Z变换：,=+其中：=为复变量,时域 复频域,Z平面,收敛域（ROC）,注：不同的序列可能具有相同的Z变换表达式，但ROC可以区分这些表达式,Z变换,5/25,1=1 1 1,2=1 1 1,序列不同，Z变换可能相同,求 1=n 和 2=n 1的Z变换,例1,Re,jIm,1（）,Re,jIm,2,Z变换+收敛域：唯一对应序列,
2、Z变换的收敛域,6/25,使序列xn的Z变换X（z）收敛的所有z值的集合,收敛域的定义,收敛条件,序列绝对可加,Z变换的收敛域（4）,7/25,已知=|，求Z变换,例,若 1，则ROC为：,解：,若 1，两收敛域无交集 xn的Z变换不存在,Z变换的常用变换对,8/25,Z变换的性质（1）,9/25,线性,时移,指数相乘,反序,Z变换的性质（2）,10/25,微分,共轭,卷积,Z变换的性质（3）,11/25,例,Z变换的性质（4）,12/25,例,Z变换与DTFT关系,13/25,DTFT:,Z变换:,Re,Im,采样序列单位圆上的z变换就等于该序列的DTFT,Z逆变换（1）,14/25,Z逆变
3、换的计算（1）,15/25,Z逆变换,部分分式展开法,长除法（幂级数展开法）,观察法,需要使用复数理论，求解复杂,常用计算方法,Z逆变换的计算（2）,16/25,观察法,Z变换基本变换表,例,求 的Z逆变换,解：由于,Z逆变换的计算（3）,17/25,部分分式展开法,情况1：MN，且分母无重根,例,求 的Z逆变换,Z逆变换的计算（4）,18/25,部分分式展开法,情况2：M=N，且分母无重根,例,求 的Z逆变换,长除法,情况1,情况3：M=N，且分母有重根（s阶）,Z逆变换的计算（5）,19/25,部分分式展开法,情况2：M=N，且分母无重根,例,求 的Z逆变换,长除法,情况1,Z逆变换的计算
4、（4）,20/25,长除法（幂级数展开法）,例1,求 的Z逆变换,例2,求 的Z逆变换,离散时间系统,21/25,将输入序列转变成输出序列的唯一性变化或者运算,系统激励,系统响应,系统,常见的离散时间系统,累加,差分,离散时间系统,22/25,线性,其中a,b是常数,若,则,例：判断下面系统的线性,解：反例说明,离散时间系统,23/25,时不变,若,则,检验一个系统时不变性的步骤:,令输入为，根据系统描述，确定此时的输出将输入信号变为，再根据系统的描述确定输出令，根据自变量变换，检验 是否等于。,离散时间系统,24/25,稳定性,当输入有界时，输出也有界，则该系统是稳定系统。,时域：绝对可和，
5、即,Z域：的ROC包含单位圆,因果性,如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的。否则就是非因果的。,离散时间系统,25/25,因果性,输出只与过去和现在的输入有关,输出与未来的输入有关,时域：当，,Z域：的ROC为,离散时间系统,26/25,线性时不变系统,Linear Time-Invariant（LTI）Systems基本特性：同时满足线性和时不变性优点：这类系统数学上容易分析和描述，因此工程上容易设计,离散时间系统,27/25,线性时不变系统,系统是线性时变系统,解：,系统是非线性时不变系统,解：,离散时间系
6、统,28/25,LTI离散时间系统的时域特性,1.用单位脉冲表示离散时间信号,对任何离散时间信号，如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。,离散时间系统,29/25,于是有：,表明：任何信号 都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。,2.卷积和（Convolution sum）,如果一个线性系统对 的响应是，由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：,离散时间系统,30/25,因此，只要得到了LTI系统对 的响应,这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convo
7、lution sum）。,：单位脉冲（冲激）响应,就可以得到LTI系统对任何输入信号 的响应：,离散时间系统,31/25,系统的差分方程描述,N阶线性常系数差分方程的一般形式：,其中 ai、bi都是常数。,递推表达式,系统函数,32/25,频域,LTI系统的系统函数,系统函数与差分方程,33/25,从差分方程到传输函数,时域,频域,系统函数,频率响应,34/25,系统函数,频率响应,单位圆：,频率响应,35/25,差分方程（时域）,冲激响应（时域）,传输函数（变换域）,FIR系统和IIR系统,36/25,IIR（无限长单位脉冲响应系统）:hn无限长IIR系统特征:至少有一个bi不为0,存在反馈
8、项y（n-i）,H（z）至少有一个极点。FIR（有限长单位脉冲响应系统）:hn有限长FIR系统特征:所有bi全为0,不存在反馈项,H（z）没有,存在稳定性问题,系统稳定,内容提纲,37/25,Ch 2 信号采样与重建连续时间信号的离散时间信号处理流程信号采样的周期性特点采样定理,数字信号处理系统的模拟接口,38/25,简化模型,连续时间信号的离散时间信号处理框图,模拟信号,数字信号,模拟信号,连续时间信号,连续时间信号,模拟信号的采样与重建,39/25,时域抽样在频域中的影响,T:采样周期.FT=1/T:采样频率,理想采样：模拟输入冲激串 连续时间信号 离散时间信号,模拟信号的采样与重建,40
9、/25,xa（t）p（t）xp（t）xn,模拟信号的采样与重建,41/25,抽样角频率（弧度/秒）,重要结论：理想采样信号的频谱是连续信号频谱 的周期延拓,重复周期为s（采样频率）。,模拟信号的采样与重建,42/25,-,h,h,）,（,j,X,a,）,2,（,）,（,h,a,j,X,s,s,h,h,s,-,-,T,1,）,2,（,-,-,）,（,T,1,s,s,h,h,s,h,a,j,X,内容提纲,43/25,Ch 3 DFT及FFTDFT变换DFT频谱分析可能遇到的问题FFT算法原理及蝶形图,离散傅里叶变换,44/25,连续时间Fourier变换,正变换 分析（提取）,x（t）,X（j）,
10、正变换,反变换,反变换 综合（还原）,物理意义是什么？,离散傅里叶变换,45/25,频域,如何分解出CEG分量？,Fourier变换的导出,离散傅里叶变换,46/25,频域,时域,离散傅里叶变换,47/25,连续时间傅立叶变换,连续时间傅立叶级数,频域离散，时域周期,离散傅里叶变换,48/25,离散时间傅立叶变换,离散傅立叶变换,时域离散，频域周期,离散傅里叶变换,49/25,时域,频域,离散,连续,离散时间傅立叶变换,连续,连续,连续时间傅立叶变换,离散,离散,离散傅立叶变换,连续,离散,连续时间傅立叶级数,信号与系统,数字信号处理,离散傅里叶变换,50/25,信号与系统与数字信号处理的区别
11、,数字信号处理,信号与系统,问题 分析系统 求系统,离散傅里叶变换,51/25,N点有限长序列,离散傅里叶变换,52/25,离散傅里叶级数（DFS）,是一个周期序列的离散傅里叶级数（DFS）变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记,离散傅里叶变换,53/25,离散傅里叶变换（DFT）,非周期序列扩展为周期为N的序列,xn,符号（n）N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。,截取还原为xn,离散傅里叶变换,54/25,定义,离散傅里叶变换,55/25,性质,离散傅里叶变换,56/25,DFT的性质,已知,线性：,离散傅里叶变换,57/25,序列的循环移位（圆周移位）,离散傅里叶变换,58/
12、25,移位与循环移位,离散傅里叶变换,59/25,圆周卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。,1）由有限长序列 x（n）、y（n）构造周期序列,循环卷积过程:,2）计算周期卷积,3）卷积结果取主值,离散傅里叶变换,60/25,线性卷积：周期卷积：循环卷积：,F（k）=X（k）Y（k）,W（z）=X（z）Y（z）,离散傅里叶变换,61/25,DFT与Z变换的关系:Xk是z变换在单位圆上等间隔的采样值,DFT与DTFT的关系:Xk可看作是对序列付氏变换的等间隔采样,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,X（ej）,X（k）,o,Rez,jImz,o,连续信号的频谱分析,62/25,利用
13、DFT计算连续信号的频谱,混叠泄漏栅栏效应DFT的分辨率,连续信号的频谱分析,63/25,利用DFT计算连续信号的频谱,混叠泄漏栅栏效应DFT的分辨率,连续信号的频谱分析,64/25,混叠如采样率过低，不满足采样定理，则导致频谱混叠。解决办法:用抗混叠滤波器使信号上限频率限制在采样频率的一半。增加采样频率,连续信号的频谱分析,65/25,泄漏加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使信号频谱延伸。,连续信号的频谱分析,66/25,栅栏效应DFT获得点的离散性，导致可能无法包含频谱所有的峰谷点。,减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分
14、量就可能被检测出来。,连续信号的频谱分析,67/25,例子：画出 的4点DFT，8点DFT，16点DFT图形。,确定采样频率 确定DFT点数N，已知频率分辨率（3）确定相应模拟信号的时间长度这里T是采样周期。,连续信号的频谱分析,68/25,DFT的分辨率,规定DFT的频率分辨率为，这里的N是指信号x（n）的有效长度，而不是补零的长度。,快速傅里叶变换,69/25,N*N,N*（N-1）,DFT、IDFT复数乘法DFT、IDFT复数加法,快速傅里叶变换,70/25,算法优化：如何减少计算次数？,一次加法两次乘法,一次加法一次乘法,观察DFT的两根谱线,有同类项,需按n的奇偶细分,快速傅里叶变换
15、,71/25,N/2点DFT,X1k,N/2点DFT,X2k,两根谱线奇偶细分,快速傅里叶变换,72/25,两根谱线的同时计算方法:,偶数N/2点 DFT,奇数N/2点 DFT,可以合并同类项！,快速傅里叶变换,73/25,一个N点DFT 两个N/2点DFT+N/2个 一次乘法，两次加法,快速傅里叶变换,74/25,最简单的蝶形计算单元：2点DFT,两次加法,快速傅里叶变换,75/25,NL/2*NL+,L=log2N,快速傅里叶变换,76/25,运算量分析：,乘法 加法 DFT N*N N（N-1）FFT（N/2）log2N Nlog2N 改善比 2N/log2N（N-1）/log2N,例：
16、,DFT FFT 改善比 乘法 加法 乘法 加法 128 16384 16256 448 896 37256 65536 65280 1024 2048 64516 2.7*105 2.7*105 2304 4608 1171024 1.0*106 1.0*106 5120 10240 195,快速傅里叶变换,77/25,例：8点DFT分解过程第1层分解,01234567,快速傅里叶变换,78/25,01234567,8点DFT分解过程第2层分解,快速傅里叶变换,79/25,N=8 按时间抽取的FFT运算流图,01234567,8点DFT分解过程第3层分解,每层N/2个蝶型，逐渐变大,快速傅里
17、叶变换,80/25,FFT流图规律一:Mlog2N级,因为N=2M所以N点DFT可分成M级如上图所示依次共3级,快速傅里叶变换,81/25,FFT流图规律 二:蝶形类型成倍增加 第一级，一种类型的蝶形运算，系数W02，数据点间隔为1。第二级，二种类型的蝶形运算，系数W04、W14，数据点间隔为2。第三级，四种蝶形，系数W08、W18、W28、W38，数据点间隔为4。,快速傅里叶变换,82/25,FFT流图规律三:序数重排,01234567,000001010011100101110111,自然顺序,二进制码表示,码位倒读,码位倒置顺序,000100010110001101011111,0426
18、1537,看出：码位倒读后的顺序刚好是数据送入计算机内的顺序。,快速傅里叶变换,83/25,FFT运算量 复乘 复加,快速傅里叶变换,84/25,时间抽取蝶形FFT算法法流程,两根谱线联合计算时序打乱频序正常,快速傅里叶变换,85/25,按频率抽取的FFT（基2 DIF FFT）,观察DFT的一根谱线,需按k的奇偶细分,快速傅里叶变换,86/25,频谱偶部,频谱奇部,按k的奇偶划分：频率抽取方法,快速傅里叶变换,87/25,频率抽取法蝶形运算,频率抽取运算复杂度=时间抽取方法,快速傅里叶变换,88/25,N=8按频率抽取的FFT算法过程,每层N/2个蝶形，逐渐变小,快速傅里叶变换,89/25,
19、频率抽取法中的比特逆序,例：N=8,二进制0 000 010 100 111 001 011 101 11,频域比特逆序,二进制00 010 001 011 000 110 101 111 1,快速傅里叶变换,90/25,频率抽取法流程（蝶形变小、频域比特逆序）,快速傅里叶变换,91/25,N=8的按频率抽取FFT运算流图,N=8的按时间抽取FFT运算流图,内容提纲,92/25,Ch 4 IIR滤波器设计滤波器原理常用模拟滤波器（巴氏）IIR滤波器设计模拟低通到数字数字低通到数字,93/25,滤波器基本原理,1,0,0,0,数字滤波器是一种具有频率选择性的离散线性系统。严格：允许输入信号某些频
20、率分量通过，而拒绝其 他频率分量广义：能够对某些频率进行修正,94/25,滤波器基本原理,数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。,差分方程,系统函数,IIR:,FIR:,95/25,滤波器基本原理,目的：通过确定系统函数的参数，是的在给定的容限内逼近所希望的频率响应分类：无限脉冲响应（IIR）：有理式逼近有限脉冲响应（FIR）：多项式逼近方法：模拟滤波器（连续时间系统）映射到数字滤波器（离散时间系统）IIR:脉冲响应不变法、双线性变换法FIR:窗口函数法、频率采样法,数字滤波器设计,96/25,滤
21、波器基本原理,滤波器的分类,1.从功能上分：低、带、高、带阻2.从实现方法上分：FIR、IIR,低通（LP）,高通（HP）,带通（BP）,带阻（BS）,97/25,滤波器基本原理,IIR数字滤波器的设计步骤：1）按照实际需要确定滤波器的性能要求滤除、保留哪些频率成分，保留部分允许多大失真等2）求 H（z）或 h（n）的表达式用一个因果稳定系统的 H（z）或 h（n）去逼近个性能要求3）数字滤波器的实现运算结构运算和存储的字长,98/25,滤波器基本原理,实际滤波器,过渡带,通带波纹,阻带波纹,通带截止频率,阻带截止频率,通带,阻带,99/25,滤波器设计方法,由模拟滤波器设计数字滤波器步骤,1
22、、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标2、由模拟滤波器指标设计模拟滤波器3、映射实现：从模拟滤波器再转换为数字滤波器,100/25,滤波器设计方法,常用的模拟滤波器 巴特沃斯（Butterworth filter）切比雪夫（Chebyshev filter）椭圆（Elliptic filter）,101/25,滤波器设计方法,N 阶巴特沃斯滤波器,归一化形式（c=1）,巴特沃斯滤波器,ai 可以查表得到,例：N=3,102/25,滤波器设计方法,2、3dB截止频率：c,3、滚降的陡峭度：N,巴特沃斯滤波器的特性,1、=0处前2N-1阶导数为0（最大平坦幅度特性）,N增加，通带和阻带的近似性
23、越好，过渡带越陡,103/25,滤波器设计方法,低阶巴特沃思滤波器H（s）（归一化）,104/25,滤波器设计方法,全极点系统,切比雪夫滤波器：I型,105/25,滤波器设计方法,切比雪夫滤波器：I型,特点：1、通带内具有等波纹 2、阻带内单调下降,106/25,滤波器设计方法,切比雪夫滤波器：II型,特点：1、通带内单调下降 2、阻带内具有等波纹,107/25,滤波器设计方法,巴特沃斯：通/阻带内随频率单调变化（误差非均匀分布，某些频带指标高出要求）,切比雪夫：误差均匀分布在通/阻带内,实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少,108/25,滤波器设计方法,特点：1.通带和阻带具有 等波纹特性（误
24、差均匀分布）2.同样的性能要求，比前两种滤波器所 需用的阶数都低,椭圆滤波器,109/25,滤波器设计方法,幅度响应 巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度 切比雪夫I型：通带内等波纹，阻带平滑 切比雪夫II型：阻带内等波纹，通带平滑 椭圆：通带和阻带均具有等波纹特性过渡带宽度 巴特沃斯 切比雪夫 椭圆相位 巴特沃斯、切比雪夫：通带3/4内近似线性相位 椭圆：通带1/2内近似线性相位,110/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,设计步骤：（1）从已知的模拟滤波器传递函数Ha（s）（2）设计数字滤波器传递函数H（z）,这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换,1）H（z）的频响要能模仿Ha（s）的
25、频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上。2）Ha（s）的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即S平面的左半平面 ReS0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。,0,S平面,Re,-,j,0,-,z,Z平面,Im,遵循两个原则,j,S平面,Im,Re,Z平面,111/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,脉冲响应不变法,脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h（n）正好等于模拟滤波器的冲激响应ha（t）的采样值，即 h（n）=ha（nT）,T为采样周期,如何由Ha（s）计算 H（Z）:模拟滤波器的系统函数可表达为部分分式形式：对ha（t）采样得到数字滤
26、波器的单位脉冲响应序列,拉氏反变换,112/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,脉冲响应不变法,步骤：（1）对 进行部分分式展开，得到 和（2）代入,s平面与z平面的映射关系,0,j,S平面,Im,Re,Z平面,/T,-/T,113/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,例:将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。解：,114/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,T越大，性能越好！,115/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,双线性变换法,脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换zesT的多值对应关系导致的，为了克服这一缺点，设想变换分为两
27、步,S1平面,Z平面,S平面,116/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,双线性变换法,平面压缩公式：,S1平面,Z平面,S平面,?,117/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,双线性变换法,变量替换：,通常取c=2/T,再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令,计算H（Z）,118/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,双线性变换法,单调：一一对应,非线性：频率弯折（低频扩展，高频压缩）,特点：,119/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,双线性变换法,模拟,畸变如何消除？,120/25,理根据模拟滤波器设计IIR滤波器,双线性变换法,121/25,理根据模拟滤波器设
28、计IIR滤波器,双线性变换法,适用性：大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，通过双线性变换后，其幅频特性仍保持分段常数的特性。各个分段的临界频率点发生了非线性变化，即畸变。这种频率点的畸变可以通过预畸来加以校正。,122/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,模拟归一化低通原型,模拟低通、高通、带通、带阻,数字低通、高通、带通、带阻,模拟-模拟频带变换,数字化,双线性变换法脉冲响应不变法,模拟数字频带变换,数字参数-模拟参数-Ha（s）-数字H（z）,123/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,例题：,设采样周期,设计一个三阶巴特沃思LP滤波器,其
29、3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。a.脉冲响应不变法,以 代替其归一化频率，得：,1）,2）,3）三阶巴特沃思LP滤波器,4）,低通变换,124/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,5）,6）,7）,125/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,b.双线性变换法（一）首先确定数字域临界频率,（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率,（三）以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数,并将 代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求H（Z）。,126/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,127/25,从模拟低通原型设计数字
30、滤波器的频率变换,脉冲响应不变法,双线性变换法,128/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,高通变换,模拟低通,数字高通,将低通设计变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器.,129/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,带通变换,带通变换关系,130/25,从模拟低通原型设计数字滤波器的频率变换,带阻变换,带通变换关系,131/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,为便于区分变换前后两个不同的z平面，将变换前的z平面定义为u平面，从u到z的映射关系为：,于是，DF的原型变换可表示为：,函数G（z-1）要保证：1）u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部2）u的
31、单位圆映射到z的单位圆,132/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,若以 ej和ej分别表示u平面和z平面的单位圆,必有，即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，为全通函数,全通函数：,零点1/i*是其极点i的共轭倒数极点i可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即|i|1，以保证变换的稳定性不变,N：全通函数的阶数,133/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字低通,都是低通函数，只是截止频率互不相同当=0 时，相应的=0,134/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字低通,c LP原型截止频率c 变换后截止频率=0时,=呈线性关系，其余为非
32、线性 0时,cc，带宽变宽,确定,135/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字高通,基本思想：将LP变换中的 z 代-z,则 LP HP,136/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字高通,将 z代以z,确定,137/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字带通,138/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字带阻,139/25,从数字低通原型设计数字滤波器的频率变换,数字低通数字带阻,内容提纲,140/25,Ch 5 FIR滤波器设计线性相位特点窗口设计法频率采样法,141/25,线性相位FIR滤波器的特点,IIR系统,FIR系统,142/25,线性相位FIR滤波器的特点,优点
