1、【例3】某大学某班学生总数为 32人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国2004B-46】 A.10 B.4 C.6 D.8应用公式26+24-22=32-X X=4 所以答案选B【例9】某单位有青年员工 85人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东 2004-13】 A.57 B.73 C.130D.69 应用公式： 68+62-X=85-12 X=57人抽屉原理：【例1】在一个口袋里有10个黑球，6 个白球，4 个
2、红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？【北京应届2007-15】A.14 B.15 C.17 D.1849.采取总不利原则 10+4+1=15这个没什么好说的剪绳问题核心公式 一根绳连续对折N 次，从中M 刀，则被剪成了（2NM+1）段 【例5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？【浙江2006-38】 A.18段 B.49段C.42段 D.52段 23*6+1=49方阵终极公式假设方阵最外层一边人数为N，则一、实心方阵人数=NN 二、最外层人数=（N1）4 【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有
3、学生多少人？【国2002A-9】【国2002B-18】 A.256人 B.250人 C.225人 D.196人 （N-1）4=60N=1616*16=256所以选A【例3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙江2003-18】 A.600人 B.615人 C.625 人D.640人 （N-1）4=96 N=25N*N=625过河问题：来回数=（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）*2+1次数=（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）+1【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？【广东2005上-10】
4、A.7次B.8次C.9次D.10次 37-1/5-1所以是9次 【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7人的橡皮船，过一次河需3 分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ）【北京应届 2006-24】 A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=1515*3=45【例4】有一只青蛙掉入一口深10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?A.7 B.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7核心提示 三角形内角和180N 边形内角和为（N-2）180【例1】三角形的内角和为180度，问六边形的内角和
5、是多少度？【国家2002B-12】 A.720度B.600度 C.480度 D.360度 （6-2）180=720盈亏问题：（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈： （大盈-小盈）（3）两次都是亏： （大亏-小亏）（4）一次亏，一次刚好：亏（5）一次盈，一次刚好：盈例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）（10-8）=162=8（个）人数 108-9=80-9=71（个）桃子还有那个排方阵，一排加三个人，剩29人的题，也可用盈亏公式解答。行程问题模块平均速度问题V=2V1V2/V1+V2【例 1
6、】有一货车分别以时速 40km 和 60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少？【国家1999-39】 A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，则它的平均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】 A.24千米时B.24.5千米时C.25千米时D.25.5 千米/时 2*30*20/30+20=24比例行程问题路程速度时间（ 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ）路程比速度比时间比，S1/S2=V1/V2=T1/T2运动时间
7、相等，运动距离正比与运动速度 运动速度相等，运动距离正比与运动时间 运动距离相等，运动速度反比与运动时间 【例2】A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是1516，那么，甲火车在什么时刻从A站出发开往B站。【国2007-53】 A.8时12分B.8时15分C.8时24分D.8时30分 速度比是4：5路程比是15：1615S：16S5V : 4V 所以T1:T2=3:4 也就是45分钟60-45=15 所
8、以答案是B在相遇追及问题中： 凡有益于相对运动的用“加” ，速度取“和” ，包括相遇、背离等问题。凡阻碍相对运动的用“减” ，速度取“差” ，包括追及等问题。从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？）【北京社招2005-20】 A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米X/90+X/210=10X=630某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用1
9、20 秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】 A.10米/秒B.10.7米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分 列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度1000+X=120V1000-X=80V解得 10米/秒为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？15顿和12顿都是超额的，所以62.5（3X5）例1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100千
10、米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？ A.5.5小时 B.5小时C.4.5小时 D.4小时假设有m个人（或者m组人），速度v1，一个车，速度v2。车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。T=（S/v2）*（2m-1）v2+v1/v2+（2m-1）v13. 【分享】排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！C5取3（543）/（321） C6取2（65）/（21） 通过这2
11、个例子 看出 CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母 P5353 P666531 通过这2个例子 PMN从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当NM时 即M的阶层 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m （mn）个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办
12、法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完
13、 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.
14、 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. * 提供10道习题供大家练习 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） （A）25个 （B）26个 （C）36个 （D）37个 -【解析】 根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边
15、之差小于第三边 可见最大的边是11 则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。2， （不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是1197。1（111）6236 2、 （1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？-【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，
16、有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3334 （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？-【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4443 （3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？【解析】分步来做 第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取356种 第二步：分配给3个同学。 P336种 这 里稍微介绍一下为什么是
17、P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即31 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。所以该题结果是566336 3、 七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600） -这个题目我们分2步完成 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取15 剩下的6个人即满足P原则 P66720 所以 总数是72053600 （2）某乙只
18、能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440） -确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取12 剩下的6个人满足P原则 P66720 则总数是 72021440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120） -【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取14， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5P555120600 总数是46002400 第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的6个位置满足P66720 因为
19、是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 24007203120 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？-【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论 第1： 选位置 C6取16 第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P222 则安排甲乙符合情况的种数是2612 剩下的5个人即满足P55的规律120 则 最后结果是 120121440 （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） -这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P775040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边
20、的情况种数是504022520 4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300） -【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则5360 即总数是 605300 （2）能组成多少个自然数？ （1631） -【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1位数： C6取16 2位数： C5取2P22C5取1P1125 3位数： C5取3P33C5取2P222100 4位数： C5取4P44C5取3P333300 5位数： C5取5P55C5取4P444600 6位数： 5120600 总数是
21、1631 这里解释一下计算方式 比如说2位数：先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288） 【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3P441224288 （4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21） -【解析】 能被25整除的4位数有2种可能 后2位是25： 339 后2位是50： P424312 共计91221 （5）能组成多少个比201345大的数？ （479） -从数字2013
22、45 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？P554120480 去掉 201345这个数 即比201345大的有4801479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640） 【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100P52（5+4+3+2+1） 十位上的和：M2=410（5+4+3+2+1） 个位上的和：M3=44（5+4+3+2+1） 总和 MM1+M2+M3=32640 5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. （1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096） 【解析】 也就是说被抽查的5件中
23、有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2C98取3152096 （2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560） 【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1C98取47224560 （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864） 【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取567910864 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的 C100取5C98取57376656 （5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424） 【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100取5C98取375135424 6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，
