1、第十章 曲线积分与曲面积分(A)1计算，其中为连接及两点的连直线段。2计算，其中为圆周。3计算，其中为曲线，。4计算，其中为圆周，直线及轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。5计算，其中为内摆线，在第一象限内的一段弧。6计算，其中为螺线，。7计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧。8计算，其中是从点到点的直线段。9计算，其中是从点到点的一段直线。10计算，其中为摆线，的一拱(对应于由从0变到的一段弧)：11计算，其中是：1）抛物线上从点到点的一段弧；2）曲线，从点到的一段弧。12把对坐标的曲线积分化成对弧和的曲经积分，其中为：1）在平面内沿直线从点到；2）沿抛物线从点到点；3）沿上半圆周从点到点
2、。13计算其中为，且从大的方向为积分路径的方向。14确定的值，使曲线积分与积分路径无关，并求，时的积分值。15计算积分，其中是由抛物线和所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16利用曲线积分求星形线，所围成的图形的面积。17证明曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值。18利用格林公式计算曲线积分，其中为正向星形线。19利用格林公式，计算曲线积分，其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界。20验证下列在整个平面内是某函数的全微分，并求这样的一个，。21计算曲面积分，其中为抛物面在平面上方的部分。22计算面面积分，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24求抛物面壳的质量，壳的
3、度为。25求平面介于平面，和之间部分的重心坐标。26当为平面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？27计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧。28计算式中为球壳 的外表面。29反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分，其中是平面在第一卦限的部分的上侧。30利用高斯公式计算曲面积：1），其中为平面，所围成的立体的表面和外侧。2），其中为柱面与平面，所围立体的外表面。31计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：1），为立体，流向外侧；2），为椭球面，流向外侧。32求向理场的散度。33利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周，若从轴正向看去，这圆周取逆时针方向。3
4、4证明，其中为圆柱面与的交线。35求向量场，其中为圆周，。36求向量场的旋度。37计算，其中为用平面切立方体，的表面所得切痕，若从轴的下向看去与逆时针方向。(B)1计算，其中为抛物线由到的一段。2计算，其中为摆线，一拱。3求半径为，中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心。4计算，其中为螺线，。5计算，其中为空间曲线，上相应于从0变到2的这段弧。6设螺旋线弹簧一圈的方程为，它的线心度为，求：1）它关于轴的转动惯量；2）它的垂心。7设为曲线，上相应于从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。8计算，其中为圆周(按逆时针方向绕行)。9计算，其中为曲线，从到的一段。10计算，其中为方
5、向为增大的方向。11验证曲线积分与路径无关并计算积分值。12证明当路径不过原点时，曲线积分与路径无并，并计算积分值。13利用曲线积分求椭圆的面积。14利用格林公式计算曲线积分，其中是圆周上由点到点的一段弧。15利用曲线积分，求笛卡尔叶形线的面积。16计算曲线积分，其中圆周，的方向为逆时针方向。17计算曲面积分，其中为抛物面在平面上的部分。18计算，其中是锥面被柱面所截得的有限部分。19求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量。20求均匀的曲面被曲面所割下部分的重心的坐标。21计算曲面积分，其中。22计算，其中是平面，所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。23计算，其中为椭球面。24计算，式中
6、为圆锥面的外表面。25设，是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，、依次表示，沿外法线方向的方向导数。证明：，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线，从到的一段。27设是有两阶连续偏导数，求证：。(C)1求曲线的弧长，从到。2计算，其中为悬链线。3求均匀的弧，的重心坐标。4计算，其中是沿由点逆时针方向到的半圆周。5设在内有连续的导函数，求，其中是从点到点的直线段。6计算，沿着不与轴相交的路径。7已知曲线积分与路径无关，是可微函数，且，求。8设在平面上有构成内场，求将单位质点从点移到场力所作的功。9已知曲线积分，其中为逆时针
7、方向曲线：1）当为何值时，使？2）当为何值时，使取的最大值？并求最大值。10计算其中为曲面的下侧。11计算，其中的方程为。12计算曲面积分，其中是曲线绕轴旋转一周所得曲面的外侧。13计算，其中为由点到点的上半圆周14证明与路径无关，其中不经过直线，且求的值。15求圆锥的侧面关于轴的转动惯量。16选择，值使为某个函数的全微分，并求原函数。17计算曲面积分，其中为曲面，平面，所围立体外面的外侧。18证明1）；2）第十章 曲线积分与曲面积分(A)1解：两点间直线段的方程为：， 故 所以。2解：的参数方程为， 则 所以 3解：故4解：如图：，：，：， 5解： 6解：。7解：8解：直线段的方程为，化成参
8、数方程为 ，从1变到0 故 9解：直线的参数方程为，() 10解： 11解：1)原式 2)原式 12解：1）的方向余弦，2），故3），故13解：因为 故原积分与路径无关，于是原式 。14解：，由，得，解得故当时，所给积分与路径无关 取计算，其中，15解：原式 又 16解取，可得面积设为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积 注：还可利用17解：， ， 因为，所以积分与路径无关 取路径 原式18解：， 原式。19解：， 原式 20解：1），故是某个的全微分。2）， 21解：，故原式 22解：原式 这里为在第一象限部分23解：，原式 24解： 25解：平面这部分的面积因而 故重心坐标为26解
9、：因为曲面积分有向曲面，所以当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：，面积为0，原式。28解：根据轮换对称，只要计算 ： 注意到：，再利用极坐标可得 于是原式29解：原式，这里，是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上侧，取。，故原式。30解：1） 原式 20， 故原式。31解： 2） 。32解：，故33解：取为平面，被所围成的部分的上侧，的面积为，的单位法向量为原式 。34证：平面的单位法向理由斯托克斯公式得左边 35解：闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向)，它的参数方程为，故环流量为.36解：。37解：证平面合科立方体内的部分为，它在平面上的射影为，面积为，取平面的上侧
10、，单位法向量，于是由斯托克斯公式得原式 。(B)1解：的参数方程，则所以2解： 所以 3解：取坐标系如图，设重心坐标为，由扇形的对称性可知，又4解： 所以5解 所以 6解： 1） 2） 7解：由，得，故 故8解：圆周的参数方程为，故9解： 10解：如图，：，：故原式 11解：由于， 又，故曲线积分与路径无关，取折线，则原式。 12解：由于，又故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线，得原式13解：取参数方程，面积14解：不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图，因为故，所以原式15解：作代换，得曲线的参数方程 ，由于， 从而，故面积 16解：由于时，被积函数无意义，故所包
11、围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：，使全部补所包围，在和为边界的区域内，根据格要公式，有 ，故上式为零。17解：， 原式 18解：， 原式 。19解：半球壳的方程为 ： 。20解：质量为从而垂心的坐标为 即重心坐标为。21解：由于曲面得分成上下两部分，记成，又由解得：，所以 22解：证在，平面上的部分分别为，在面上的部分为。故原式 (另解：可求得，由对称性可得原式也可用高斯公式)23解：，由轮换对称，只要计算积分再利用广义极坐标可得于是原式。24解：证，分别为锥面的底面和侧面而，为锥面外法线的方向余弦：，则 又对上的任一点有故在各坐标平面上射影分别为，于是 故
12、原式25证：由格林第一公式得同理两式相减得：。26解：设，其中为从到的直线段，则为封闭曲线，由斯托克斯公式得，其中是以为边界且与构成右手系的任曲面。 27证： (C)1解：，于是当时，有当时，有故当时，有2解：，于是 3解： 质量为 于是垂心坐标为 4解： ， 但，又 原式5解：，故当时，因此只要路径不过轴，点到点的曲线积分与路径无关，取路径，有原式 6解：时，有， 改右半平面，由于是单连通区域，且在其上，故在上的是某函数的全微分，且可取 于是原式7解：， ，即解此一阶线性微分方程得 由得，故所求函数为8解：所求的功， ， 当时，此积分与路径无关故 9解：由格林公式各1）当（舍去），时，2）由，得（舍去），故当时，取最大值，10解：补上：，上侧由高斯公式 11解：由对称性可知 原式，： 而 故原式12解：取：，方向与轴同上，则 13解：利用格林公式 原式14解：， 当时，有，积分与路径无关 15解： 16解：， ， 令，得 比较系数得， 故的形式17解：，其中，分别是在，上的曲面块。 18证：设，且，具有二阶连续导数 35
