1、机械振动习题集同济大学机械设计研究所2010.12第一章 概论1-1概念1. 机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？2. 机械振动研究哪三类基本问题？3. 对机械振动进行分析的一般步骤是什么？4. 在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？5. 惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？6. 什么叫离散元件或集中参数元件？7. 什么叫连续体或分布参数元件？8. 建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？9. 建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模型。一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型
2、。机器板支撑块地基10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？1-2简谐运动及其运算1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅（1） （2） （3）答案：（1）（2）（3） /?2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（3）进行校核（1） （2） （3） 答案：（1）（2）（3）3试计算题1中的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程4设、为同频简谐函数，并且满足。试计算下列问题（1）已知，求（2）
3、已知，求答案：（1） f(t)=85190.82cos(12t+126.45)（2） x(t)=0.018sin(7t-109.81)5简述同向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点6简述同向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点1) 如果频率比值为无理数，则没有共同周期，叠加后为非周期振动。2) 如果频率比值为有理数，叠加后的振动周期为他们周期的最小公共周期，如果比值接近1，将出现“拍”现象，如果相差较大，出现“调制”现象。3) 在“拍”和“调制”的情况下，幅值相差很大时，合成图形依然趋于正弦图形。7简述垂直方向同频简谐振动在不同幅值下合成的特点答： 垂直方向同频简谐振动在i. 同相时：不
4、同幅值下为一条直线，直线的斜率等于y方向上振动的幅值比x方向上振动的幅值。ii. 不同相时：为一椭圆，椭圆形状随相位和幅值的变化而变化。8简述垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下合成的特点？答：垂直方向异频简谐振动在不同频率和不同幅值下的合成运动，一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。但是，当两个互相垂直的振动频率成整数比时，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。9利用“振动计算实用工具”，通过输入具体参数，观察1-5题到1-8题振动合成的图形及其特点答案：（1）同向同频 幅值由两者的幅值和相位决定，频率不变。相位相同时，合
5、成后的幅值为两者之和，相位相反时，合成后的幅值为两者之差。其它相位情况介于两者之间。（2）同向异频 （3）垂直方向同频简谐振动 椭圆l 同幅值 l 不同幅值（4）垂直方向异频简谐振动 合成振动的图形呈现李普里曲线的形式10用一加速度计测得某结构按频率25Hz作简谐振动时的最大加速度为5g（），求此结构的振幅，最大速度和周期答案：11设有两个简谐振动，分别以和表示，试用旋转矢量合成，并写出在实轴和虚轴上的投影12有两个垂直方向振动，证明它们的合成运动是一个椭圆答案：由消去t得到根据椭圆在标准位置旋转一角度后的表达式可以判断该曲线即为椭圆13 如图2-1所示，一小车（重）自高处沿斜面滑下，与缓冲器
6、相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。，第二章 单自由度系统的振动理论2-2单自由度系统振动1 求图示系统的固有频率。其中（a）（b）图中，不计杆的质量m和抗弯刚度EI；（c）（d）图中，简支梁的抗弯刚度为EI，质量不计。受力情况如图所示。图2-1答案：（a）； (b)； （c）；(d) 2求图示系统固有频率。（a）图为一单摆，摆球质量m，摆长L。（b）图中两个弹簧在距单摆固定端a处连接。（c）图为一倒立摆，两弹簧在距底端a处连接。图2-2答案：(a)；(b)；(c) 3求图示系统固有频率。（a） 图中，水平方向的两杆视
7、为弹性系数为k1，k2的弹簧，四个弹簧的连接关系为：k1与k2串联后与k3并联，再与k4串联。（b） 图中，滑轮和绳子的质量以及绳子的弹性略去不计。图2-3答案：(a) ；(b)4 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量时，测得振动频率为。当带有质量时，测得振动频率为。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量为多少？图2-4答案：5 如图2-5所示，具有与竖直线成一微小角的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量时，重摆微小振动的频率。图2-5答案：6 两个滑块在光滑的机体槽内滑动（见图2-18），机体在水平面内绕固定轴以角速度转动。每个
8、滑块质量为，各用弹簧常数为的弹簧支承。试确定其固有频率。图2-18答案：7 确定图2-6所示系统的固有频率。圆盘质量为。图2-6答案：8 确定图2-7系统的固有频率，滑轮质量为。绳子的质量和弹性不计。图2-7答案：9 质量为m半径为r的圆盘在半径为R的轨道上做纯滚动，确定图2-8系统的固有频率。图2-8答案：10用三根长度为的细线将一质量半径的刚性圆盘吊在天花板上，吊点三等分圆周（1）求圆盘绕其垂直中心线作回转运动的固有频率（2）求圆盘只作水平横向振动（不旋转）的固有频率图2-9答案：（1）（2）11横截面为质量为的圆柱型浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低，然后无初速度释放，如不计阻尼
9、，求浮子振动响应图2-10答案：12 各弹簧已预紧（受拉），求图示系统的固有频率。图2-11答案： 12求等截面型管内液体振动周期，阻力不计，管内液柱总长度图2-12答案：T=13如图所示，两个滚轮以相反方向等速转动，两个滚轮中心距，上面放置一块重量长度的棒，棒于滚轮的磨檫系数，现将棒的重心c推出对称位置o,试证棒将作简谐运动，并请导出磨檫系数的表达式图2-16解：设左轮支反力为F1,右轮支反力为F2，去水平x为广义坐标，对某一偏离对称中心可列平衡方程：由于F1*2a=W*(a+x) F2*2a=W*(a-x) F1+F2=W可推得F1-F2=x综上可得：-x=0由方程可知系统做简谐振动14
10、如图2-13所示，一小车（重）自高处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。图2-13答案：，15重物悬挂在刚度为的弹簧上并处在静平衡位置，另一重物从高度为处由静止开始自由降落到上而无弹跳，求振动响应图2-14答案：16 某仪器中一元件为一等截面的悬臂梁，质量可以忽略。在梁的自由端有两个集中质量m1与m2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m2突然释放，试求m1的响应。图2-15答案：17 一均质半圆盘，质量为m,半径为r,自由地铰接于它的中心，如图所示。现以初角度释放，求半圆盘在小摆角振荡的
11、响应。图2-16解：转矩方程：; ；质心与盘中心距离;运动方程：；响应：；。18重吨的重物在吊索上以匀速下降，由于吊索嵌入滑轮卡子，突然停止，重物作上下自由振动。已知吊索在2吨重物静载作用下伸长5，吊索自重不计，求重物振动频率和吊索中的最大张力答案： 19如图，已知图示状态，弹簧已有初压力如平台撤除，求重块下落距离图2-17答案：5.4cm2.3 简谐激励下的强迫振动1. （1） 已知m=3, c=1, k=12, , 求解稳态响应。答案：（2） 已知m=5, c=8, k=20, , 求解稳态响应。答案：（3） 已知m=10, c=15, k=18, , 求解稳态响应。答案：（4） 已知m=
12、12, c=15, k=20, , 求解稳态响应。答案：（5） 已知m=600, k=1176000, , , 求解稳态响应。答案：（6） 已知m=6, c=25, k=800, , 求解稳态响应。答案：已知m=10, c=15, k=40, , 求解稳态响应。答案：（7） 已知m=10, c=15, k=40, , 求解稳态响应。答案：2. ，p(t)的大小如下图的所示，求其稳态响应。（取一项即可）答案： , 取第一项3已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线级相频曲线的大致形状。答：幅频H0u 相频q04. 已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线级相频曲线的大致形状。答：幅频H0u 相频
13、q05. 已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线级相频曲线的大致形状。答：幅频H0u 相频q06. 已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线级相频曲线的大致形状。答：幅频H0u 相频q07. 对于已知m，c，k的系统判定其频响特性曲线大致形状 (1)m=2450kg, c=39600Ns/m k=320000N/m 计算出=0.707(2) m=2450kg, c=28000Ns/m k=320000N/m 计算出=0.5(3)m=2450kg, c=16800Ns/m k=320000N/m计算出=0.3(4) m=2450kg, c=44800Ns/m k=320000N/m计算出=0.
14、8 答：单自由度系统的频响特性为 ，可以为参数来研究的变化特性。已知m，c，k的情况下，计算出，即可判定频响特性曲线的大致形状改用系统固有参数表示的频响特性为其幅值 相位角 幅频特性（纵坐标为，横坐标为） 相频特性图中从下往上依次表示的取值为1，0.7，0.5，0.4，0.3，0.2，0.1，0经过简要推导可知当时，存在峰值，出现在处 当时，曲线单调递减这里总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并且激励频率越高迟后越大；当激励频率等于系统固有频率时，响应与激励的相位差，与阻尼比无关2.4 非简谐激励下的强迫振动1、f(t)=3t2+1 () 为周期为2的周期函数，将它展开
15、成傅里叶级数答案：f(t)= 2、设x(t)如图所示，试求其傅里叶级数展开。答案：3. 设x（t）如图所示，试求其复Fourier级数展开。答案：4. 求下列周期为的函数的Fourier级数展开。(1) 答案：(2) ，答案：(3) ；答案：（4）答案：5、f(x)是周期为2的周期函数，将它在()上的 表达式为，将f(x)展开成傅里叶级数答案： 6、 已知:,c= ,=,=,激振力频率w=3rad/s, 试用“振动计算实用工具”计算系统的稳态响应7、单自由度系统受到激振力f 的作用，f 的变化规律如图所示递减三角脉冲，初始条件为：, 不计阻尼，求系统的响应。解：应用Duhamel积分，分别计算
16、t t0, 两个区间的响应。当t t0时，大于t0的部分积分为零，所以8. 物体振动时受到与运动方向相反的动摩擦力作用，动摩擦系数，物体的质量可集中在一点，振幅，弹簧系数，求等效粘性阻尼。解： 9. 结构阻尼是材料本身的内摩擦阻尼，其耗散的能量与振幅平方成正比，求结构阻尼常数，质量，弹簧系数时的等效粘性阻尼。解： 10. 已知一个非线性阻尼振动系统，系统受到150N的干摩擦力，系统稳态响应为，求系统的等效阻尼。答：第三章 单自由度振动理论的应用1. 如图3-1所示的模型，质量受到正弦激励，f(t)=,m=170千克，k=7000N/m，c=1700Ns/m，作质量位移的频响曲线图3-1答案：
17、下图为计算工具中本模型的一族幅频曲线(仅形状一致，横纵坐标需乘相应系数)系统参数m,c,k决定阻尼比当时，存在峰值，出现在处 当时，曲线单调递减本题=0.779，形状应介于上图最下方两条曲线之间。下图为计算工具中本模型的一族相频曲线(仅形状一致，横坐标需乘相应系数)这里总是小于零的一个值，因此稳态振动的相位总是迟后于激励的相位，并且激励频率越高迟后越大；当激励频率等于系统固有频率时，响应与激励的相位差，与阻尼比无关2. 图3-2所示为简化车辆在路面上通行的振动模型，y(t)=，m=1000kg, k=350kN/m，c=18700Ns/m，求质量位移的频响曲线图3-2答案： 下图为计算工具中本
18、模型的一族幅频特性曲线本题阻尼比=0.5，因此曲线同上图中下起第三条曲线下图为相频曲线3. 已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线级相频曲线的大致形状。答：幅频H0u相频q04. 已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线及相频曲线的大致形状。答：幅频H0u相频05. 已知频响函数曲线，当时，分别画出幅频曲线及相频曲线的大致形状。答：幅频H0u相频q06. 在如图所示系统中,已知m=2kg , C=256Ns/cm, K=20N/cm , 激励力为F=16sin60t (式中t 以s 计，F 以N计)。以质量m的位移作为输出。1) 试求系统的稳态响应。2) 试确定系统的输入，输出方程3) 求出
19、系统的频响表达式并画出频响图。答：1) x=0.00104sin(60t-/2) (cm)2) 输入：p(t)=F=16sin60t 输出：v(t)=x(t)3) 7. 空桶重39. 2kN，浮在水面上，而水面的高度按y=(4/9)sin(3t/2)的规律上下浮动。桶的水平截面积均为5m2。如初始位移和初速度为零，水的阻尼力与相对速度成正比，阻尼系数C=16kNs/m，求桶作强迫振动的稳态响应。答：1）x=cm2）输入：p(t)=y=(4/9)sin(3t/2) 输出：v(t)=x(t)3） 8. 确定图3-18所示系统的稳态响应。假定。9. 在如图所示系统中,已知m=2kg , K=20N/
20、cm , 激励力为F=16sin60t (式中t 以s 计，F 以N计)，C=256Ns/cm。试求系统的稳态响应。答：x=0.00104(60t+/2) (cm)10. 求下图中系统右支撑端有简谐运动时的振动微分方程。1) 试求系统的稳态响应。2) 试确定系统的输入，输出方程3) 求出系统的频响表达式并画出频响图。答案：1）振动方程： 稳态响应： 其中 , 2）输入：p(t)=Kx2= 输出：v(t)=x(t)3)11. 求如下图所示系统在两端都有支撑运动时的稳态响应。图中，式中答案：12. 如下图所示的弹簧质量系统，在质量块上作用有简谐力 kg，同时在弹簧固定端有支撑运动 cm ，试写出此
21、系统的稳态响应。已知，.答案：13. 主动隔振的力学模型如图所示，其中m=1000kg，k=4000N/m, C=800Ns/m, ，以作用在m上的力为激励时(1) 输出为基础上产生的力时，求稳态响应函数，并写出其频响函数绘出曲线；(2) 当输出为m的位移时，求稳态响应函数写出频响函数并绘出曲线。(1)(2) 14. 如图所示为一个惯性力激励系统，偏心距，以的角速度运动，总质量m=100kg，弹簧刚度k=400N/m，阻尼c=50Ns/m，求物块m的位移响应，并绘出系统的频率响应曲线。答案：；15. 一机器重4410N，支承在弹簧隔振器上，弹簧的静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激励
22、力，为激励频率，为重力加速度，不计阻尼，机器转速为1200r/min时求：a) 传入地基的力； b) 机器的振幅。答案：a) ;b) 第四章 二自由度系统振动4-1 如图，已知m22m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20=0，试用“振动计算实用工具”计算系统的固有频率，主振型以及相应图3-1 答案： 固有频率：wn1=3.162277rad/s，wn2=5 rad/s主振型：系统响应：4-2已知:,c= ,=,=,激振力频率w=3rad/s, 试用“振动计算实用工具”计算系统的稳态响应。4-3如图所示，已知质量比0.1,固有频率比=0.909,放大系数=1.55, z=0
23、.1846，m1=11,k1=100,根据程序求动力吸振器弹簧的刚度及其质量 图3-2答案：m2=1.1k2=8.262814-4求图示系统运动微分方程图3-34-5求图示两种双摆系统的微分方程，并进行线性化图3-44-6质量为的水平台用长为的绳子悬挂起来，半径为的小球，质量为，沿水平台作无滑动的滚动，试求系统运动微分方程图3-54-7在风洞实验中，可以将机翼翼段简化为图示两种模型，机翼作为刚体重心处，质量为，对重心的转动惯量为。模型1由弹簧和扭簧支撑机翼。模型2由两根弹簧支撑机翼。试导出两种模型的运动微分方程图3-64-8 一辆汽车重17640N，拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧常
24、数为171500N/m。试确定系统的固有频率和模态向量。图3-7答案： 4-9 一个电动机带动一台油泵。电动机转子的转动惯量为，油泵的转动惯量为，它们通过两个轴的端部连接起来。试确定系统的运动微分方程、频率方程、固有频率和模态向量。图3-8答案： ； 4-10 试确定图3-9所示皮带传动系统的固有频率和特征向量。两皮带轮的转动惯量分别为和，直径分别为和。图3-9答案：，刚体运动； 4-11写出图3-10的运动方程及频率方程，设静止时，钢绳为水平，起重臂与铅垂线成角，机体可视为刚体。图3-10答案：； 4-12 解定图题3-11系统的固有频率，假设两圆盘直径相等。图3-11答案： 式中4-13
25、试确定图3-12系统的固有频率，略去滑轮重量。图3-12答案：4-14一建筑物，当研究其受水平地震时，可简化为如图所示的力学模型。如建筑物重，高，转动惯量为，土壤水平刚度系数为，扭转刚度系数为，试求建筑物的固有频率和固有振型（建筑物重力不考虑）图3-13答案：4-15 如图3-14所示的行车，梁的弯曲截面矩，。小车重11760N，另挂一重物，其重量为49000N，钢丝绳弹簧常数，试确定系统的固有频率和振型比。图3-14答案： 4-16 一重块自高处自由落下，然后与弹簧-质量系统一起作自由振动，如图3-15所示，试求其响应。已知。图3-15 ； ，。4-17一卡车简化成系统，如图3-16所示。停
26、放在地上时受到后面以等速驰来的另一辆车的撞击。设撞击后，车辆可视为不动，卡车车轮的质量忽略不计，地面视为光滑，试求撞击后卡车的响应。图3-16答案：，； ，。4-18一机器重，如机器转速转/分，有偏心质量，偏心距，减振器重，试求：（1）减振器弹簧刚度多大，机器振幅为零？（2）此时减振器振幅多大？（3）如要使减振器振幅不超过，应如何改变减振器参数？图3-17答案：4-19 如图3-187所示，一刚性跳板，质量为3，长，左端以铰链支承于地面，右端通过支架支承于浮船上，支架的弹簧常数为，阻尼系数为，浮船质量为。如果水浪引起一的激励力作用于浮船上。试求跳板的最大摆动角度。图3-18答案：。4-21图示
27、为拖车模型，设拖车车厢质量为，车轮质量为，拖车对挂钩点的转动惯量为，板簧刚度为，轮胎刚度为，车厢与车轮间的阻尼力与相对速度成正比，阻尼系数为，拖车速度为，假设挂钩点在垂直方向无位移，路面波由公式表示，其中。试求系统的振动微分方程及当系统共振时拖车的牵引速度（临界牵引速度）图3-20第五章 多自由度系统振动5-1 写出图中所示轴盘扭振系统的刚度矩阵。答案： 5-2 写出图示弹簧阻尼质量系统的刚度矩阵和阻尼矩阵。答案：5-3 写出图中所示梁的柔度矩阵。梁本身的质量忽略不计，抗弯刚度为E I。（提示：用材料力学简支梁的挠度公式）答案：5-4 下图中三级摆的广义坐标为， 求自由振动的微分方程。答案： 5-5 下图所示船用动力装置，它由
