1、习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为0, 1. 所求的面积为 . (2) 解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为0, 1. 所求的面积为 , 解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为1, e. 所求的面积为 . (3) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为-3, 1. 所求的面积为 . (4) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为-1, 3. 所求的面积为 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 与x2+y2=8(两部分都要计算); 解: . . (2)与直线y=x及x=2; 解: 所求的面积为 . (3) y=ex, y=
2、e-x与直线x=1; 解: 所求的面积为 . (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (ba0). 解 所求的面积为 3. 求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: y=-2 x+4. 过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y=4(x-3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y=-2x+6. 两切线的交点为, 所求的面积为 . 4. 求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积. 解 2yy=2p . 在点处, , 法线的斜率k=-1, 法线的方程为, 即. 求得法线与抛物线
3、的两个交点为和. 法线与抛物线所围成的图形的面积为 . 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)r=2acosq ; 解: 所求的面积为 =pa2. (2)x=acos3t, y=asin3t; 解 所求的面积为 . (3)r=2a(2+cosq ) 解 所求的面积为 . 6. 求由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱(0t2p)与横轴 所围成的图形的面积. 解: 所求的面积为 . 7. 求对数螺线r=aeq(-pqp)及射线q=p所围成的图形面积. 解 所求的面积为 . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1)r=3cosq 及r=1+cosq
4、 解 曲线r=3cosq 与r=1+cosq 交点的极坐标为, . 由对称性, 所求的面积为 . (2)及. 解 曲线与的交点M的极坐标为M. 所求的面积为 . 9. 求位于曲线y=ex下方, 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y=kx与曲线y=ex相切于A(x0, y0)点, 则有 , 求得x0=1, y0=e, k=e . 所求面积为 . 10. 求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为a. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 . 显然当时, A1=0; 当时, A10. 因此, 抛物线与过焦点的弦
5、所围成的图形的面积的最小值为 . 11. 把抛物线y2=4ax及直线x=x0(x00)所围成的图形绕x轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 解 所得旋转体的体积为 . 12. 由y=x3, x=2, y=0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为 . 绕y轴旋转所得旋转体的体积为 . 13. 把星形线所围成的图形, 绕x轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 解 由对称性, 所求旋转体的体积为 . 14. 用积分方法证明图中球缺的体积为. 证明 . 15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: (1), , 绕y轴
6、; 解 . (2), x=0, x=a, y=0, 绕x轴; 解 . (3), 绕x 轴. 解 . (4)摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 绕直线y=2a. 解 . 16. 求圆盘绕x=-b(ba0)旋转所成旋转体的体积. 解 . 17. 设有一截锥体, 其高为h, 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B, 求这截锥体的体积. 解 建立坐标系如图. 过y轴上y点作垂直于y轴的平面, 则平面与截锥体的截面为椭圆, 易得其长短半轴分别为 , . 截面的面积为. 于是截锥体的体积为 . 18. 计算底面是半径为R的圆, 而垂直于底面上一条
7、固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 解 设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x), 由已知条件知, 它是边长为的等边三角形的面积, 其值为 , 所以 . 19. 证明 由平面图形0axb, 0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 . 证明 如图, 在x处取一宽为dx的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2pxf(x)dx, 这就是体积元素, 即 dV=2pxf(x)dx, 于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 . 20. 利用题19和结论, 计算曲线y=sin x(0xp)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积. 解 . 21. 计算曲线y=ln
8、 x上相应于的一段弧的长度. 解 , 令, 即, 则 . 22. 计算曲线上相应于1x3的一段弧的长度. 解 , , , , 所求弧长为 . 23. 计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧的长度. 解 由得两曲线的交点的坐标为, . 所求弧长为. 因为 , , . 所以 . 24. 计算抛物线y2=2px 从顶点到这曲线上的一点M(x, y)的弧长. 解 . 25. 计算星形线, 的全长. 解 用参数方程的弧长公式. . 26. 将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 , . 计算这曲线上相应于t从0变到p的一段弧的长度.
9、解 由参数方程弧长公式 . 27. 在摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标. 解 设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0), 则 . 当t0=2p时, 得第一拱弧长s(2p)=8a. 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A(x, y), 令 , 解得, 因而分点的坐标为: 横坐标, 纵坐标, 故所求分点的坐标为. 28. 求对数螺线相应于自q=0到q=j的一段弧长. 解 用极坐标的弧长公式. . 29. 求曲线rq=1相应于自至的一段弧长. 解 按极坐标公式可得所求的弧长 . 30. 求心形线r=a(1+cos q )的全长.
10、解 用极坐标的弧长公式. . 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F(单位: N)与伸长量s(单位: cm)成正比, 即F=ks (k为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm, 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A, 另一端在自由长度时的点O为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW=ksds, 所求功为 k(牛厘米). 2. 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2, 则 ,
11、 . 功元素为, 所求功为 (J). 3. (1)证明: 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 , 其中g是地面上的重力加速度, R是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg, 在高于地面630km处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g=9.8m/s2, 地球半径R=6370km. 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m的物体升高的功元素为 , 所求的功为 . (2)(kJ). 4. 一物体按规律作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x=0移至x=a时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为, 所以 ,
12、 阻力. 而, 所以 . 功元素dW=-f(x)dx, 所求之功为 . 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm. 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm, 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比, 即f=kx, 功元素dW=f dx=kxdx, 击第一次作功为 , 击第二次作功为 . 因为, 所以有 , 解得(cm). 6. 设一锥形贮水池, 深15m, 口径20m, 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ 解 在水深x处,
13、水平截面半径为, 功元素为 , 所求功为 =1875(吨米)=57785.7(kJ). 7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m. 求闸门上所受的水压力. 解 建立x轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为 , 闸门上所受的水压力为 (吨)=205. 8(kN). 8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力. 解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为 . 压力元素为 , 所求压力为 (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为) 9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m和6m, 高为20m. 较
14、长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线AB的方程为 , 压力元素为 , 所求压力为 (吨)=14388(千牛). 10. 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm, 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图. 腰AC的方程为, 压力元素为 , 所求压力为 (克)=1.65(牛). 11. 设有一长度为l、线密度为m的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M, 试求这细棒对质点M的引力. 解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy, 引力元素为 , dF在x轴
15、方向和y轴方向上的分力分别为 , . , . 12. 设有一半径为R、中心角为 j 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 m . 在圆心处有一质量为m的质点F. 试求这细棒对质点M的引力. 解 根据对称性, Fy=0. , . 引力的大小为, 方向自M点起指向圆弧中点. 总 习 题 六 1. 一金属棒长3m, 离棒左端xm处的线密度为(kg/m). 问x为何值时, 0, x一段的质量为全棒质量的一半? 解 x应满足. 因为, , 所以 , (m). 2. 求由曲线r=asinq, r=a(cosq+sinq)(a0)所围图形公共部分的面积. 解 . 3. 设抛物线通过点(0, 0), 且当x0, 1
16、时, y0. 试确定a、b、c的值, 使得抛物线与直线x=1, y=0所围图形的面积为, 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线通过点(0, 0), 所以c=0, 从而 . 抛物线与直线x=1, y=0所围图形的面积为 . 令, 得. 该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 . 令, 得, 于是b=2. 4. 求由曲线与直线x=4, x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 . 5. 求圆盘绕y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 . 6. 抛物线被圆所需截下的有限部分的弧长. 解 由解得抛物线与圆的两个交点为, , 于是所求的弧长为 . 7. 半径为r
17、的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出, 需作多少功? 解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时, 球的各点上升的高度均为2r. 在x处取一厚度为dx的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r+x, 在水上上升的高度为r-x. 在水下对薄片所做的功为零, 在水上对薄片所做的功为 , 对球所做的功为 . 8. 边长为a和b的矩形薄板, 与液面成a 角斜沉于液体内, 长边平行于液面而位于深h处, 设ab, 液体的比重为r, 试求薄板每面所受的压力. 解 在水面上建立x轴, 使长边与x轴在同一垂面上, 长边的上端点与原点对应. 长边在x轴上的投影区间为0, bcosa, 在x处x轴到薄板的距离为h+xtana. 压力元素为 , 薄板各面所受到的压力为 . 9. 设星形线, 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 解 取弧微分ds为质点, 则其质量为 , 其中. 设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy, 则有 , ,所以.
