1、武汉理工大学2014年数学建模课程论文题目：金属板切割问题 姓名： 学院： 专业： 学号： 选课老师： 年月日 目录摘要1一 、问题的重述2二、 问题的分析2三、数学建模和问题求解33.1模型假设：33.2符号说明：33.3问题求解4四、批注7五、结果分析和检验7六、模型的优缺点7七、结论8八、附录8 摘要金属板切割问题是工厂生产中的一个大问题，它往往涉及到原料的使用总量和切割过程的生产费用。而本题中的金属板切割问题要求我们以订单所需小金属板的数量和尺寸为限制条件，对切割方式进行设计，通过数学建模来达到原料最省这一目的，不考虑不同切割方案所带了的切割成本不一样这一因素。我先通过穷举的方法找到所
2、有可能性，在所有可能性中保留最优的可能性。以这些可能性的方案为基础，以订单中小金属板的尺寸和数量为限制因素，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。由于每种方案不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立的数学模型对最少材料成本下的方案分配问题进行了研究。本问题中首先找出所有可能的切割方案，再以消耗的总金属板为目标函数，最后使用matlab对目标函数求最优解得出最终结果，最后通过计算检验证明，该模型求解出的切割方法和题目的要求是完全符合的。关键词：穷举法 转化 非线性 检验一 、问题的重述在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属
3、板。此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米50分米的矩形金属板，13块大小为24分米36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米30分米的矩形金属板。这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？二、 问题的分析根据题目可知，即将原料36分米50分米的矩形金属板切割成36分米50分米的矩形金属板，13块大小为24分米36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米30分米的矩形金属板四种样式的产品。由于题中所涉及数据量较少，因此因此我们可以先用穷举法找到所有可能且合理的切割方法，然后只需建立一个简单的非线性规划模型，求解目标函Z最
4、优解即可。 在求解目标函数最优值的时候，根据订单所需的各项指标，采用原料使用量最少原则，以达到工厂经济效益的最大化三、数学建模和问题求解 3.1模型假设：1 不使用切割后的余料2 每次切割都很精确，不会出现意外而使金属板报废3 忽略金属板切割线上的损耗4 不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加。作为简单的直线切割问题，5 没有另外增加的订单3.2符号说明：Xi： 选用第i种方案的个数MinY： 使用大块金属板的个数A：36分米50分米产品 B：24分米36分米产品C：18分米30分米产品 3.3问题求解 3.3.1分析找出所有的可能解决方案：方案123456789A111000000B1203
5、21401C1033461863.3.2构造方程 1.变量 用Xi表示按照第i种方案（i=1 2 3.9）切割的原材料金属板的个数。 2.目标 以消耗的的大金属板个数最少为目标函数，则可得： MinY=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9订单条件 按照订单要求，按方案表应有： X1+ X2+X3=8 X1+2X2 +3X4+2X5+X6+4X7+X9=13 X1+3X3+3 X4+4X5+6X6+X7+8X8+6X9=15模型求解 设X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9分别表示按照上述9种方案所用的大金属板块数，则：MinZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6+
6、X7+X8+X9 X1+ X2+X3=8 X1+2X2 +3X4+2X5+X6+4X7+X9=13 X1+3X3+3 X4+4X5+6X6+X7+8X8+6X9=15Xi=0,j=1,2,3,8,9 即按照模式1,2,3,4,5,6,7,8切割原材料金属板，使用的原材料数最少为10张。结果表明：应该按第一个方案切5块，第二个方案切3块，第三个方案切1块，第四个方案切1块，其他方案不接受。此时最佳，即最少可以使用10块大金属板。四、批注（1）X后面的数字为下角标，前面数字为系数。（2）方案中颜色最深的代表36分米50分米的矩形金属板,颜色第二深的代表24分米36分米的矩形金属板，颜色最浅的代表1
7、8分米30分米的矩形金属板五、结果分析和检验由运算结果可知，将17块金属板材分别用模式1、2、3进行切割，最终可得：12块A型板，15块B型板，9块C型板，20块D型板，虽然部分产品型号超过了订单需求，而使超过需求的部分成为废料，但如此规划切割模式，仍然能使所用大金属板的数量达到最小。在实际生产当中，成型的板材废料比切割过程中出现的边角废料的可利用率更高。因此，该模型求解结果依然具有较强的现实意义。六、模型的优缺点模型优点：1 在建立过程中，充分考虑了在解决此问题当中的工业生产的实际意义，确立了以所用原料大金属板最少的目标函数，使模型的大体方向正确，利于解决实际问题。2 在类似的其它工业生产中
8、，此模型也可使用。模型的缺点：1对于一个二维的非线性规划问题，如果题目要求更复杂，要考虑的因素非常之多，很难采用穷举法将所有可能的情况全部举例说明，而且在这种情况下很有可能遗漏一些情况。2因此，对待更加复杂的非线性规划问题，应该采用模型约束条件来限制目标函数。七、结论由运算结果可知，将8块金属板材分别用方式3进行切割，最终可得：8块A型板，16块B型板，16块C型板。多出了3块B型板和1块A型板。虽然部分产品型号超过了订单需求，但是我们根据严格的节约成本的原则，已经做了优化的选择。这个题目充分显示了，数学建模在实际应用中强大的生命力。 八、附录 minz=1 1 1 1 1 1 1 1 1a=
9、1 1 1 0 0 0 0 0 0;1 2 0 3 2 1 4 0 1;1 0 3 3 4 6 1 8 6b=8 13 15lb=zeros(9,1)x,y=linprog(minz,-a,-b,lb)minz = 1 1 1 1 1 1 1 1 1a = 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 2 1 4 0 1 1 0 3 3 4 6 1 8 6b = 8 13 15lb = 0 0 0 0 0 0 0 0 0Optimization terminated.x = 0.0000 6.5000 1.5000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.3125 0.0000y = 9.3125 6
