1、直线与双曲线的位置关系知识梳理：1、直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题：可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线有且只有一个交点2、涉及直线与双曲线相交弦的问题：主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|=|x2x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入
2、曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决）3、韦达定理的运用：由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用4、 弦长公式：若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 5、焦半径：P在右支上时： ； P在左支上时：典型示例例1（1）（2010辽宁）双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(D )（A） （B） （C） （D）【解析】设双曲线的一个焦点F（c,0）,B(0,b)直线F
3、B：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）（2）(09湖北卷)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）A.B. C. D. 【变式】（09浙江）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D例2已知双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)，求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.【变式】直线与双曲线的左支相交于，两点，设过点和中点的直
4、线在轴上的截距为，求的取值范围例3已知双曲线和定点（I）过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点；（II）双曲线的弦中，以点为中点的弦是否存在？并说明理由【变式1】已知双曲线x2=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点。（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦【变式2】设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率例4 已知双曲线的方程是16x29y2=144（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大
5、小【变式2】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【变式3】设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率例5.w.k.s.5.u.c.o.m已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|F1B|的最小值解：设A(x1,y1),B(x2,y2),A到双曲线的左准线x= = 的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=, |AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2
6、+2, |F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|F1B|;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), |F1A|F1B|=由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|F1B|取最大值【变式】已知，是过点的两条互相垂直的直线，且，与
7、双曲线各有，和，两个交点(1)求的斜率的取值范围；(2)若，求，的方程； 练习：1已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的（ ）A焦距为10 B实轴和虚轴长分别是8和6C离心率是或 D离心率不确定2如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是（ ）AB10CD3直线与双曲线的公共点的个数最多是（ ）A1B2C3D44、双曲线的右准线与渐近线在第一象限的交点与右焦点连线的斜率为（ ）ABCD5、设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的的距离为，则双曲线的离心率为_6、点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_7、求双曲线，被点平分的弦的方程8、求直线与双曲线的
8、两个交点和原点构成三角形的面积9、已知、是过点的两条互相垂直的直线，且、与双曲线各有两个交点，求的斜率的取值范围练习1已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的（ C ）A焦距为10 B实轴和虚轴长分别是8和6C离心率是或 D离心率不确定2如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是（A）AB10CD3直线与双曲线的公共点的个数最多是（B）A1B2C3D44、双曲线的右准线与渐近线在第一象限的交点与右焦点连线的斜率为（A ）ABCD5、设双曲线的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的的距离为，则双曲线的离心率为_26、点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_7、求双曲线，被点平分的弦的方程解：令，得：，即，设的斜率为，则弦的方程为8、求直线与双曲线的两个交点和原点构成三角形的面积设直线与双曲线的两个交点分别为、，将代入，整理得，此方程的两个根、分别是、的横坐标，由韦达定理可得，9、已知、是过点的两条互相垂直的直线，且、与双曲线各有两个交点，求的斜率的取值范围依题意、的斜率均存在，则，（），由8
