1、学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆与方程4314.3.1空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标知识点空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案三个思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直梳理(1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，
2、这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标类型一确定空间中点的坐标例1已知正四棱锥PABCD的底面边
3、长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标解因为|PO|12，所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A，B，C，D.引申探究1若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标解各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(5,0,0)，D(0，5,0)2若本例中的条件变为“正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标解因为正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为2，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图
4、所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2)反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上充分利用几何图形的对称性(2)求某点M的坐标的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)xOz平面上的点的纵坐标为0，即(
5、x,0，z)(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且|CG|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0，而E为DD1的中点，故E点坐标为(0,0，)过F作FMAD、FNDC，由平面几何知识，得|FM|，|FN|，故F点坐标为(，0)点G在y轴上，其横坐标x、
6、竖坐标z均为0，又|GD|，故G点坐标为(0，0)过H作HKCG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，故点H的坐标为(0，)类型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)解方法一第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按
7、坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，此点是xOz平面上的点，故选C.类型三空间中点的对称问题例3(1)在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)关于点M(2，1，4)对称的点P3的坐标是()A(0,0,0) B(2，1，4)C(6，3，12) D(2,3,12)(2)已知点A(3,1，4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A(3，1,4) B
8、(3，1，4)C(3,1,4) D(3，1，4)答案(1)C(2)A解析(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，P3(6，3，12)故选C.(2)在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(3,1，4)，点A关于x轴对称的点的坐标是(3，1,4)故选A.反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数跟踪训练3
9、在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(2,3，4)两点的位置关于_对称答案y轴例4在空间直角坐标系中，点P(1,3，5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A(1,3，5) B(1，3,5)C(1,3,5) D(1，3,5)答案C解析两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，点P(1,3，5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5)故选C.反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数跟踪训练4点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称
10、点的坐标分别是(1,2，c)和(d，2，3)，则a，b，c，d的值分别是_答案2,3，3,11点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A. B|a|C|b| D|c|答案D解析点P在xOy平面的射影的坐标是P(a，b,0)，所以|PP|c|.2以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为()A(0，) B(，0，)C(，0) D(，)答案B解析由题图得A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(，0，)3如图所示
11、，点P在x轴的正半轴上，且|OP|2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP|1，则点P的坐标是_答案(2,0,1)4点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为_答案(1,1，1)(1，1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(1，1,1)5如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|2|AB|4，点E在CC1上且|C1E|3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标解以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z
12、轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)1空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标2求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律
13、，才能准确求解(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论课时作业一、选择题1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A(1,0,0) B(1,0,1) C(1,1,1) D(1,1,0)答案C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2在空间直角坐标系中，已知点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A(0，0) B(0，)C(1,0，) D(1，0)答案B3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(2，3，4)两点的位置关系是()A关于x轴对称B关于yOz平面对称C关于坐标
14、原点对称D以上都不对答案C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称4若点P(4，2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A7 B7 C1 D1答案D解析点P(4，2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(4，2，3)，(4，2，3)，c3，e4，则ce1.5设yR，则点P(1，y,2)的集合为()A垂直于xOz平面的一条直线B平行于xOz平面的一条直线C垂直于y轴的一个平面D平行于y轴的一个平面答案A解析点P(1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y,2)的集合为垂直于xO
15、z平面的一条直线，故选A.6如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，|BP|BD|，则P点的坐标为()A. B. C. D. 答案D解析连接BD，点P在xDy平面的射影落在BD上，|BP|BD|，PxPy，Pz，故P.二、填空题7在空间直角坐标系中，自点P(4，2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为_答案(4,0,0)解析过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a为点P在x轴上的分量，所以垂足的坐标为(4,0,0)8已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，3，5)，B(1,3,2)，对角线的交点是E(4，1,7)，则C，D的坐标分别为_答案(6,1,19)
16、，(9，5,12)解析由题意知，E为AC与BD的中点，利用中点坐标公式，可得C(6,1,19)，D(9，5,12)9已知点A(4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为_答案(4,0,0)解析由题意知A1(4，2，3)，则A1关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，3)，则A2关于z轴的对称点A3的坐标为(4，2，3)由中点坐标公式，得M(4,0,0)10如图所示的是棱长为3a的正方体OABCOABC，点M在BC上，且|CM|2|MB|，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为_答案(2a,3
17、a,3a)解析|CM|2|MB|，|CM|BC|2a，点M的坐标为(2a,3a,3a)11在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为_、_.(填序号)答案解析由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是.三、解答题12.
18、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标解(1)由题意知，A(0,0,0)由于点B在x轴的正半轴上，且AB4，所以B(4,0,0)同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5)由于点C在坐标平面xOy内，且BCAB，CDAD，所以C(4,3,0)同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，且CC1AA15，所以C1(4,3,5)(2)由(1)知
19、，C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则CC1的中点N的坐标为(4,3，)13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AD|AA1|2，|AB|4，DEAC，垂足为E，求点E的坐标解如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)在坐标平面xDy内，直线AC的方程为1，即2xy40，DEAC，直线DE的方程为x2y0.由得E(，0)四、探究与拓展14如图是一个正方体截下的一角PABC，其中|PA|a，|PB|b，|PC|c.建立如图所示的空间直角
20、坐标系，则ABC的重心G的坐标是_答案(，)解析由题知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)由重心坐标公式得G的坐标为(，)15如图所示，AF，DE分别是O，O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6，OEAD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标解因为AD与两圆所在的平面均垂直，OEAD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直又因为ABAC6，BC是O的直径，所以BAC为等腰直角三角形且AFBC，BC6.以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，3，0)，B(3，0,0)，C(3，0,0)，D(0，3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)
