1、压轴题1、已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，OCA=90，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动设移动的时间为t秒（1）求直线AC的解析式；（2）试求出当t为何值时，OAC与PAQ相似；（3）若P的半径为，Q的半径为；当P与对角线AC相切时，判断Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标。解：（1）（2）当0t2.5时，P在OA上，若OAQ=90时，故此时OAC与PAQ不可能相似当t2.5时，若APQ=90，则APQOCA，t2.5，符合条件若AQP=90，则APQOAC，t2.5，符合条件综上可知，
2、当时，OAC与APQ相似（3）Q与直线AC、BC均相切，Q点坐标为（）。2、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（第2题）（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由解：（1）；（2）在中，设点的坐标为，其中，顶点，设抛
3、物线解析式为如图，当时，解得（舍去）；解得抛物线的解析式为如图，当时，解得（舍去）当时，这种情况不存在综上所述，符合条件的抛物线解析式是（3）存在点，使得四边形的周长最小如图，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点，又，此时四边形的周长最小值是3、如图，在边长为2的等边ABC中，ADBC,点P为边AB 上一个动点，过P点作PF/AC交线段BD于点F,作PGAB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.（1）试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;（2）记DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系
4、式,并求出S的最大值;（3）以P、E、F为顶点的三角形与EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。第3题解：（1）在等边三角形中，60，30，2，为等边三角形，x.又2x，1，2x1，2x1，.（2）S=DEDF=当时，.（3）如图，若t，则两三角形相似，此时可得即解得：如图，若t，则两三角形相似，此时可得，即解得：4、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：（其中是原点）；（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不
5、存在，请说明理由。解：（1）点与在二次函数图像上，解得，二次函数解析式为.（2）过作轴于点，由（1）得，则在中，又在中， ，.（3）由与，可得直线的解析式为， 设，则，.当，解得 （舍去），.当，解得 （舍去），.综上所述，存在满足条件的点，它们是与.5、如图1，在RtABC中，C90，BC8厘米，点D在AC上，CD3厘米点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米设运动的时间为x秒，DCQ的面积为y1平方厘米，PCQ的面积为y2平方厘米（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象
6、；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0OG6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2于点E、F说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；图2G2 4 6 8 10 12108642yOx当0x时，求线段EF长的最大值图1C Q BDAP解：（1），CD3，CQx，图象如图所示（2）方法一：，CP8kxk，CQx，抛物线顶点坐标是（4，12），解得则点P的速度每秒厘米，AC12厘米方法二：观察图象知，当x=4时，PCQ面积为12此时PCACAP8k4k4k，CQ4由，得 解得则点P的速度每秒厘米，A
7、C12厘米方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是图象过（0，0），（4，12），（8，0）， 解得 ，CP8kxk，CQx， 比较得.则点P的速度每秒厘米，AC12厘米（3）观察图象，知线段的长EFy2y1，表示PCQ与DCQ的面积差（或PDQ面积）由得 .（方法二，）EFy2y1，EF，二次项系数小于，在范围，当时，最大6、如图，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.（1）试求的面积；（2）当边与重合时，求正方形的边长；（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长。GFEDCBA解
8、：（1）过作于，. 则在中，.（2）令此时正方形的边长为，则，解得.（3）当时，.当时，. （4）.7、如图已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上（1）求、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为点C，试在轴上找点D，使得以点B、C、D为顶点的三角形与相似解：（1）根据题意，得： 解得BAO1111xyAB （2）四边形A ABB为菱形，则A A=BB= AB=5 = 向右平移5个单位的抛物线解析式为 （3）设D（x，0）根据题意，得：AB=5，
9、A=B BA yBAO1111xCBD) ABCBCD时，ABC=BCD ，BD=6x， 由 得 解得x=3， D（3，0）ABCBDC时， 解得 8、如 图，已知直角梯形ABCD中，ADBC，A BBC ，AD2，AB8，CD10（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度、沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度、沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值
10、，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由（备用图）解：在tDCH中，(2)经计算，PQ不平分梯形ABCD的面积，-9、如图，O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90，AC=AB，顶点A在O上运动（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与O位置关系，并说明理由；（3）设点A的横坐标为x，ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大
11、值与最小值；ABCOxy（4）当直线AB与O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式解：（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=1，点C的坐标为（1，1）；当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=1，点C的坐标为（1，1）；（2）直线BC与O相切，过点O作OMBC于点M，OBMBOM=45, OM=OBsin45=1，直线BC与O相切（3）过点A作AEOB于点E在RtOAE中，AE2=OA2OE2=1x2，在RtBAE中，AB2=AE2+BE2=(1-x2) +（-x）2=3-2xABCOxyES=ABAC= AB2=(3-2x)= 其中1x1，当x=1时，S的最大值为，当x=1时，S的最
12、小值为（4）当点A位于第一象限时(如右图)：连接OA，并过点A作AEOB于点E直线AB与O相切，OAB=90，AB（C）OxyE又CAB=90，CAB+OAB=180，点O、A、C在同一条直线上，AOB=C=45，在RtOAE中，OE=AE=点A的坐标为（，）过A、B两点的直线为y=x+当点A位于第四象限时(如右图)点A的坐标为（，），过A、B两点的直线为y=x 10、已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求A、B、C三点的坐标；
13、（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程x210x160得x12，x28点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBOC点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A的坐标为（6，0）（2）点
14、C（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上，c8，将A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得解得 所求抛物线的表达式为yx2x8（3）依题意，AEm，则BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC，即，EF过点F作FGAB，垂足为G，则sinFEGsinCABFG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m 自变量m的取值范围是0m8（4）存在理由：Sm24m（m4）28且0，当m4时，S有最大值，S最大值8m4，点E的坐标为（2，0）BCE为等腰三角形11、数学课上，张老师出示了问题1：如图25-1，四边形ABCD是正方形， BC =1，对角
15、线交点记作O，点E是边BC延长线上一点联结OE交CD边于F，设，求关于的函数解析式及其定义域来源:学科网ZXXK（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线过点O作OMBC，垂足为M求解你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC =1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图25-2），请直接写出条件改变后的函数解析式；图25-3图25-1题图（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC =1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，ADBC，(其中，为常量)”其余条件不变（如图25
16、-3），请你写出条件再次改变后关于的函数解析式以及相应的推导过程图25-2解：（1）四边形ABCD是正方形，OB=ODOMBC，OMB=DCB=，OMDCOMDC，CMBCOMDC，即，解得定义域为 （2）（） （3）ADBC，过点O作ONCD，交BC于点N，ONCD， ONCD，即 关于的函数解析式为（）12、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻
17、折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=x+b (bk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.解：(1)由题意得，168(k1)0k3k为正整数，k1，2，3(2)当k1时，方程2x24xk10有一个根为零；当k2时，方程2x24xk10无整数根；当k3时，方程2x24xk10有两个非零的整数根综上所述，k1和k2不合题意，舍去；k3符合题意当k3时，二次函数为y2x24x2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y2x24x6 (3)设二次函数y2x24x6的图象与x轴交于A、B两点，则A(3，0)，B(1，0)依题意翻折后的图象如图所示
18、当直线经过A点时，可得； 当直线经过B点时，可得 由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为 13、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？解：（1）设抛物线解析式为，把代入得，顶点
19、（2）假设满足条件的点存在，依题意设，由求得直线的解析式为，它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则则，点到的距离为又平方并整理得：，存在满足条件的点，的坐标为ABCOxyDFHPE（3）由上求得若抛物线向上平移，可设解析式为当时，当时，或 若抛物线向下移，可设解析式为由，有，向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90得点D，点D随点P的运
20、动而运动，连接DP、DA（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，DPA的面积最大，最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中，DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值若不能，请说明理由； （第14题）（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长解：（1）过点D作DEx轴，垂足为E，则PEDCOP，故D（t+1，）（2）S= 当t=2时，S最大，最大值为1（3）CPD=900，DPA+CPO=900，DPA900，故有以下两种情况：当PDA=900时，由勾股定理得，又，即，解得，（不合题意，舍去）当PAD=900时，点D在BA上，故AE=3t，得t=3综上，经过2秒或3
21、秒时，PAD是直角三角形；（4）；15、设抛物线与x轴交于两个不同的点A（1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且ACB90。（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，3 ）是否在抛物线上；（3）已知过点A的直线交抛物线于另一点E. 问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由。解：（1）令x0，得y2 C（0，2）ACB90，COAB ，AOC COB ，OAOBOC2OB m4 （2）将A（1，0），B（4，0）代入，解得抛物线的解析式为（2分）当x=1时，=3，点D（1，3）在抛物线上
22、。（3）由 得 ，E（6，7）过E作EHx轴于H，则H（6，0）， AHEH7 EAH45作DFx轴于F，则F（1，0）BFDF3 DBF45EAH=DBF=45 DBH=135，90EBA135则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：若DBP1EAB，则,，（2分）若BAE，则, （2分）综合、，得点P的坐标为：16、如图1，在ABC中，ABBC5，AC=6.ECD是ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QRBD，垂足为点R
23、.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；当线段BP的长为何值时，PQR与BOC相似？ 解：（1）四边形ABCE是菱形。 ECD是由ABC沿BC平移得到的，ECAB，且ECAB，四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，四边形ABCE是菱形 . （2）四边形PQED的面积不发生变化。方法一：ABCE是菱形，ACBE，OC=AC=3，BC=5，BO=4，过A作AHBD于H，（如图1）.SABCBCAHACBO，即：5AH64，AH. 【或 AHCBOC90，BCA公用，AHCBOC，AH:BOAC:BC，即：AH:46:5，AH.】由
24、菱形的对称性知，PBOQEO，BPQE，S四边形PQED（QE+PD）QR（BP+PD）AHBDAH1024. 方法二: 由菱形的对称性知，PBOQEO，SPBO SQEO， ECD是由ABC平移得到得，EDAC，EDAC6，又BEAC，BEED，S四边形PQEDSQEOS四边形POEDSPBOS四边形POEDSBEDBEED8624. 方法一：如图2，当点P在BC上运动，使PQR与COB相似时，2是OBP的外角，23，2不与3对应，2与1对应，即21，OP=OC=3,过O作OGBC于G，则G为PC的中点，OGCBOC， CG:COCO:BC，即：CG:33:5，CG=，PBBCPCBC2CG52. 方法二：如图3，当点P在BC上运动，使PQR与COB相似时，2是OBP的外角，23，2不与3对应，2与1对应， QR:BOPR:OC，即：:4PR:3，PR， 过E作EFBD于F，设PBx，则RF=QE=PB=x，DF=， BDPBPRRFDFxx10，x. 方法三: 如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，由菱形的对称性知，O为PQ的中点，CO是RtPCQ斜边上的中线，CO=PO，OPCOCP，此时，RtPQRRtCBO， PR:COPQ:BC，即PR:36:5，PR PBBC-PR5.
