1、第十七讲 三角形与全等三角形【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2015温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A1，2，4B4，5，9C4，6，8D5，5，11对应训练1（2015长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A2B4C6D8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2015湘西州）如图，一副分别含有30和45角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中C=90，B=45，E=30，则BFD的度数是（）A15B25C30D10对应训练2（2015鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（）A165B120C150 D135考点三：三角
2、形全等的判定和性质例3 （2015天门）如图，已知ABCADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N请写出图中两对全等三角形（ABCADE除外），并选择其中的一对加以证明例4 （2013宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，B=C，求证：BE=CD对应训练3（2013荆州）如图，ABC与CDE均是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，D在AB上，连结BE请找出一对全等三角形，并说明理由4（2013十堰）如图，点D，E在ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE求证：AD=AE考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=
3、AD请你添加一个适当的条件，使ABCADE（只能添加一个）（1）你添加的条件是 C=E（2）添加条件后，请说明ABCADE的理由对应训练5（2013昭通）如图，AF=DC，BCEF，只需补充一个条件 BC=EF，就得ABCDEF【聚焦山东中考】1（2013威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D已知A=EDF=90，AB=ACE=30，BCE=40，则CDF= 252（2013聊城）如图，四边形ABCD中，A=BCD=90，BC=CD，CEAD，垂足为E，求证：AE=CE3（2013菏泽）如图，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE
4、=BD，连结AE、DE、DC（1）求证：ABECBD；（2）若CAE=30，求BDC的度数4（2013临沂）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：AF=DC；（2）若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论5（2013东营）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝
5、角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状5证明：（1）BD直线m，CE直线m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-，CA
6、E=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中 ，DBFEAF（sas），DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF为等边三角形6（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，
7、AE与BF的位置关系是 AEBF，QE与QF的数量关系式 QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明6解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ和AEQ中 ，BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，AEBF，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中 ，FBQDAQ（ASA），QF=
8、QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，AEBF，1=D，在AQE和BQD中 ，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线，QE=QF【备考真题过关】一、选择题1（2015泉州）在ABC中，A=20，B=60，则ABC的形状是（）A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形2（2015宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A1，2，6B2，2，4C1，2，3D2，3，43（2015衡阳）如图，1=100，C=70，
9、则A的大小是（）A10B20C30D804（2015河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成ABC，且B=30，C=100，如图2则下列说法正确的是（）A点M在AB上B点M在BC的中点处C点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D点M在BC上，且距点C较近，距点B较远5（2015铁岭）如图，在ABC和DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEC，不能添加的一组条件是（）ABC=EC，B=EBBC=EC，AC=DCCBC=DC，A=DDB=E，A=D6（2015台州）已知A1B1C1A2B2C2的周长相等，现有两个判断：若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则A1
10、B1C1A2B2C2；若A1=A2，B1=B2，则A1B1C1A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A正确，错误B错误，正确C，都错误D，都正确7（2015邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）AAOBBOCBBOCEODCAODEODDAODBOC8（2015河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=（）A90B100C130D1809（2015陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A1对B2
11、对C3对D4对二、填空题10（2015黔东南州）在ABC中，三个内角A、B、C满足B-A=C-B，则B= 60度11（2015柳州）如图，ABCDEF，请根据图中提供的信息，写出x= 2012（2015巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，1=2，BC=EF，要使ABCDEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 CA=FD（只需写出一个）13（2015郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使ABEACD，需添加的一个条件是 B=C（答案不唯一）（只写一个条件即可）14（2015达州）如图，在ABC中，A=m，ABC和ACD的平分线交于点A1，得A
12、1；A1BC和A1CD的平分线交于点A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分线交于点A2013，则A2013= 度三、解答题15（2015玉林）如图，AB=AE，1=2，C=D求证：ABCAED16（2015湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，ABED，ACFD，求证：AC=DF117（2015佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据17解：（1
13、）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（2）已知：在ABC与DEF中，A=D，C=F，BC=EF求证：ABCDEF证明：如图，在ABC与DEF中，A=D，C=F（已知），A+C=D+F（等量代换）又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和定理），B=E在ABC与DEF中， ，ABCDEF（ASA）18（2015随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，ABC=DEF能否由上面的已知条件证明ABCDEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使ABCDEF，并给出证明提供
14、的三个条件是：AB=DE；AC=DF；ACDF19（2015内江）已知，如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90，D为AB边上一点求证：BD=AE20（2015舟山）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且A=D，AB=DC（1）求证：ABEDCE；（2）当AEB=50，求EBC的度数？21（2015荆门）如图1，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC=45，原题设其它条件不变求证：AEFBCF第十八讲 等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形 1
15、、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形 2、等腰三角形的性质： 等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 3、等腰三角形的判定： 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 ，讨论角时应主要底角只被为 角】4、等边三角形的性质：等边三角形的
16、每个内角都 都等于 等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴1、 等边三角形的判定： 有三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角是 度的 三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在 【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作
17、是 的点的集合。2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理： 勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】2、直角三角形的性质： 除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：直角三角形两锐角 直角三角形斜边的中线等于 在直角三角形中如果有一个锐角是3
18、00，那么它所对 边是 边的一半3、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 有两个角 的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1 （2015丽水）如图，在RtABC中，A=Rt，ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则BDC的面积是 15对应训练1（2015泉州）如图，AOB=70，QCOA于C，QDOB于D，若QC=QD，则
19、AOQ= 35考点二：线段垂直平分线例2 （2015义乌市）如图，ADBC于点D，D为BC的中点，连接AB，ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若AOC=125，则ABC= 70对应训练2（2015天门）如图，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A4cmB3cmC2cmD1cm考点三：等腰三角形性质的运用例3 （2015武汉）如图，ABC中，AB=AC，A=36，BD是AC边上的高，则DBC的度数是（）A18B24C30D36对应训练3（2015云南）如图，已知ABCD，AB
20、=AC，ABC=68，则ACD= 44考点四：等边三角形的判定与性质例4 （2015黔西南州）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 15度对应训练4（2015黄冈）已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= 考点五：三角形中位线定理例5 （2015昆明）如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，A=50，ADE=60，则C的度数为（）A50B60C70D80对应训练5（2013厦门）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，O
21、AB的周长是18厘米，则EF= 3厘米考点六：直角三角形例6 （2015衢州）将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为（）A3cmB6cmC3cmD6cm对应训练6（2015重庆）如图，在ABC中，A=45，B=30，CDAB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A2B2 C +1D +1考点七：勾股定理例7 （2015扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 6对应训练7（2015莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角
22、形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是 10【聚焦山东中考】1（2015临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）AAB=ADBAC平分BCDCAB=BDDBECDEC2（2015枣庄）如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A20B12C14D1323（2015淄博）如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A B
23、 C3D44（2015威海）如图，在ABC中，A=36，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）AC=2ABBD平分ABCCSBCD=SBODD点D为线段AC的黄金分割点5（2015莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A4B5C6D86（2013滨州）在等腰ABC中，AB=AC，A=50，则B= 657（2015滨州）在ABC中，C=90，AB=7，BC=5，则边AC的长为 8（2015烟台）如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O点
24、E是CD的中点，BD=12，则DOE的周长为 159（2015泰安）如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则BE的长是 210（2015烟台）如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为 108度11（2015菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”
25、长可以是 之间的任意两个实数）（写出1个即可）12（2015威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长12【备考真题过关】一、选择题1（2015成都）如图，在ABC中，B=C，AB=5，则AC的长为（）A2B3C4 D52（2015南充）如图，ABC中，AB=AC，B=70，则A的度数是（）A70B55C50 D403（2015淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A5B7C5或7D64（2015长沙）下列各图中，1大于2的是（）
