1、2003-2012年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编专题5：函数的图像与性质一、 选择题1. ( 江苏省无锡市2010年3分)若一次函数，当的值减小1，的值就减小2，则当的值增加2时，的值【 】A增加4B减小4C增加2D减小2【答案】A。【考点】一次函数的性质。【分析】当x的值减小1，x变成x1，y的值就减小2，则y变为y2，y2=k(x 1)+b，整理得，y2=kxk+b，而y=kx +b，kx+b2=kxk+b解得k=2。一次函数为y=2x +b。当x的值增加2时，即x变为x+2，故y=2(x+2)+b=2x+4+b=2x+b+4=y+4，y增加了4。故选A。2. ( 江苏省无锡市20
2、10年3分)如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BCAO，ABAO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB=1:2，若OBC的面积等于3，则k的值【 】A等于2 B等于C等于D无法确定【答案】B。【考点】反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】求反比例系数k的值，一般有两种方法，一种是求反比例函数上一点，用待定系数法求k；另一种是抓住反比例系数k的几何意义。因此，延长BC交y轴与M点，过D作DNx轴于N。由题意易知，四边形OABM为矩形，且SOBM=SOBA由k的几何意义知，SCOM=SDON，S四边形DNAB= SBOC=3而ODNOBA，相似比为OD：OB=1:
3、3，SODN：SOBA=1:9。SODN：S四边形DNAB=1:8。SODN=，k=。故选B。3. (江苏省无锡市2011年3分)下列二次函数中，图象以直线为对称轴、且经过点(0，1)的是【 】 A B C D【答案】C【考点】二次函数图象的性质，点的坐标与方程的关系。【分析】根据二次函数对称轴的概念知二次函数为A、C之一；又根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点(0，1) 的坐标分别代入A、C，使等式成立的即为所求。故选C4. (江苏省无锡市2011年3分)如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式的解集是【 】 A1 B1 C01 D10 【答案】D【考点】点的坐标与方
4、程的关系, 不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。【分析】由抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1, 代入可得交点A的纵坐标是2。把(1，2) 代入可得。从而。则求不等式的解集等同于问当为何值时函数图像在函数图像下方。由二次函数图像性质知，函数图像开口向下，顶点在（0，1），与图像的交点横坐标是1。故当10时，函数图像在函数图像下方，从而关于的不等式的解集是10。5. （2012江苏无锡3分）若双曲线与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为1，则k的值为【 】A1B1C2D2【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系
5、，将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标：y=2+1=1，从而，将该交点坐标代入即可求出k的值：k=1（1）=1。故选B。二、填空题1. （江苏省无锡市2004年2分）若函数的图象经过点（1，2），则k的值是 。【答案】2。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k0）即可求得k的值：函数的图象经过点（1，2），得k=2。2. （江苏省无锡市2005年2分）反比例函数的图象经过点（2，1），则k的值为 .【答案】2。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为函数经过一定点，
6、将此点坐标代入函数解析式（k0）即可求得k的值：函数的图象经过点（2，1），得k=2。3. （江苏省无锡市2006年2分）函数的图象经过点（l，），则 _。【答案】3。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（l，）代入求解即可：函数的图象经过点（l，），。4. （江苏省无锡市2007年2分）反比例函数的图象经过点（1，2），则的值为 【答案】。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，2）代入求解即可：函数的图象经过点（1，2），解得。5. （江苏省无锡市2008年2分）若反比例函数的图象经过点（
7、），则的值为 【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，2）代入求解即可：函数的图象经过点（1，2），解得。6. （江苏省无锡市2008年2分）已知平面上四点，直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则的值为 【答案】。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质， 梯形的面积。【分析】如图，设直线与AB、CD分别交于点P、Q。 当时，P（，0）。 当时，Q（，6）。 AP=，BP=10， DQ=，CQ=10。 由得，由于AD=BC，即 ，解得。7. （江苏省2009年3分）反比例函数的图象在第 象限【答案】二、
8、四。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：反比例函数的系数，图象两个分支分别位于第二、四象限。8.（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 【答案】y=x2+4x3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1。 又抛物线y=a（x2）2+1经过点B（1，0），（1，0）满足y=a（x2）2+1。 将点B（1，0）代入y=a（x2）2得，
9、0=a（12）2即a=1。 抛物线的函数关系式为y=（x2）2+1，即y=x2+4x3。三、解答题1.（江苏省无锡市2003年10分）已知抛物线yax2bxc（a0，直线l过点N（0，3），M点在x轴正半轴上。点P到x轴的距离为2，点P的纵坐标为2。把y=2代入yax3得，P点坐标为（，2）。直线与抛物线交于点P，点P在上，解得a=1。直线l的函数关系式为。（2）如图2，若点P在y轴的右边，记为P1。过点P1作P1Ax轴于A，。，MP1=3P1N，MN=MP1P1N=4P1N。ON=3，即点P1的纵坐标为。把代入yax3，得。点P1的坐标为（）。又点P1是直线l与抛物线的交点。点P1在抛物线上
10、，解得抛物线的函数关系式为。如图2，若点P在y轴的左边，记为P2。作P2Bx轴于B，。，MP2=3P2N，MN=MP2P2N=2P1N。ON=3，即点P2的纵坐标为。由P2在直线l上可求得，又P2在抛物线上，解得。抛物线的函数关系式为。综上所述，若线段MP与PN的长度之比为3:1，则抛物线的函数关系式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由于抛物线的顶点为C（0，1），因此抛物线的解析式中b=0，c=1即抛物线的解析式为y=ax2+1已知了P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2可根据直线l的解析式求出P点的坐标，然后将P点坐标代入抛物线
11、的解析式中即可求得a的值，也就能求出直线l的函数关系式。（2）分点P在y轴的左右边两种情况分别求解即可。已知了线段MP与PN的长度之比为3：1，如果过P作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值，从而可仿照（1）的方法，先代入直线的解析式，然后再代入抛物线中即可求出a的值，也就求出了抛物线的解析式。5. （江苏省无锡市2007年9分）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置与家的距离为千米，且与之间
12、的函数关系的图像如图中的折线段所示（1）试求折线段所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图像（友情提醒：请对画出的图像用数据作适当的标注）【答案】解：（1）设线段对应的函数关系式为，将（12，1）代入得。线段对应的函数关系式为：（）。又线段对应的函数关系式为：。折线段所对应的函数关系式为。（2）图中线段的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟。（3）如图中折线段：【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点
13、的坐标与方程的关系。【分析】（1）为正比例函数图象，可以用待定系数法求出。（2）AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动。（3）妈妈的速度正好是小明的2倍，所以妈妈走弧线路用（2012）2=4分钟。6. （江苏省无锡市2007年10分）如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）【答案】解：
14、（1）轴。理由如下： 中，。设交于点，交轴于点，矩形的对角线互相平分且相等，。过点作轴于，则，。，轴。（2）设在运动过程中与射线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，则。，。当，即时，。当，即时，设直线交于，交于，则，。当，即时， 。 综上所述，矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积为。【考点】二次函数综合题，运动问题，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，矩形的性质，平行的判定。【分析】（1）证与轴平行，可根据的值得出特殊角的度数，然后利用矩形的性质：对角线互相垂直平分，得出，根据点的坐标可得出，即由此可证得 轴。（2）先找出关键时刻的的值=2，因此，。
15、然后分三种情况进行讨论：当时，此时直线在上运动，扫过部分是个直角三角形，此时，易求得直角三角形的两条直角边分别为和，由此可求出扫过部分的面积。当4 时，扫过部分是个直角梯形可根据的长求出梯形的上底，从而求出梯形的面积当时，重合部分是个多边形，可用矩形的面积减去右边的小三角形的面积进行求解。7. （江苏省无锡市2008年9分）已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正半轴交于（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线交轴于是线段上一动点（点异于），过作轴交直线于，过作轴于，求当四边形的面积等于时点的坐标【答案】26解：（1）点是抛物线的顶点，解得。抛物线的函数关系式为。（2）由（1）知，
16、点的坐标是设直线的函数关系式为，则，解得。直线的函数关系式为。由，得，点的坐标是。设直线的函数关系式是，则，解得。直线的函数关系式是。 设点坐标为，则。轴，点的纵坐标也是。设点坐标为，点在直线上，。轴，点的坐标为。，。，即，解得或。当时，而，点坐标为和。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，梯形的面积，解一元二次方程。【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点就是，因此由顶点坐标公式即可求出、的值，从而可得出抛物线的解析式。（2）四边形是个直角梯形，可先求出，所在直线的解析式，根据所在直线的解析式设出的坐标，又由于轴，、两点的纵坐标相同，然后根据
17、所在直线的解析式得出点的坐标，进而可求出点的坐标根据求出的、三点坐标，可得出梯形的上下底、的长以及直角梯形的高的长（即点纵坐标的绝对值），根据梯形的面积公式即可得出关于梯形的面积与点坐标的函数解析式，然后将= 代入函数中即可求出点的坐标。8. （江苏省2009年10分）如图，已知二次函数的图象的顶点为二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式【答案】解：（1），顶点的坐标为，对称轴为。又二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，点和点关于直线对称。点的坐标为。（2）四边形是菱形，点和点关于直线
18、对称。点的坐标为。二次函数的图象经过点，解得二次函数的关系式为。【考点】二次函数的性质，点关于直线对称的性质，菱形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把化为顶点式，即可求得点的坐标。根据的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，可知点和点关于直线对称，从而根据点关于直线对称的性质求得点的坐标。 （2）由于四边形是菱形，根据菱形的性质，知点和点关于直线对称，从而求得点的坐标。由二次函数的图象经过点，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列方程组求解即可。9. （江苏省2009年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线
19、所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元（销售利润（售价成本价）销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），销售量为（万升）。点的坐标为。设线段所对应的函数关系式
20、为，则解得。线段所对应的函数关系式为。从15日到31日销售5万升，利润为（万元），本月销售该油品的利润为（万元）。点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润（售价成本价）销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量销售利润（售价成本价）。 （2）分别求出点、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。 （3）段的利润率=； 段的利润率=；段的利润率=。段的利润率最大。10. ( 江苏省
21、无锡市2010年10分)如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC与直线x=4交于点E（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求CMN面积的最大值【答案】解：（1）由矩形ABCD，B的坐标为（2，0），BC=得点C的坐标。设抛物线的函数关系式为y=a(x4)2+m，则，解得。所求抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为,则，解得。直线AC的函数关系式为。点E的坐标为。把x=4代入，得，此抛物线过E点。（2）（1
22、）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MGx轴于G，则SCMN=SMNG+S梯形MGBCSCBN=当x=5时，SCMN有最大值。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）以x=4为对称轴的抛物线，可以设其关系式为y=a(x4)2+m，然后再根据抛物线经过点O、点C，可以求出a与m的值，从而求得抛物线的函数关系式。由A、C的坐标求出直线AC的函数关系式，从而求得点E的坐标，并验证点E在抛物线上。 （2）求CMN的面积的最大值，关键是将该三角形进行合理的分割，用“割”或“补”的方法，将三角形转化为可以求解的形式。本题可由SCMN=SMNG+S梯形MGBCSCBN求得SCM
