1、京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班2013 全国中考数学试题分类汇编全国中考数学试题分类汇编-解直角三角形解直角三角形试题由京翰教育一对一家教辅导(http:/)整理（2013郴州）我国为了维护队钓鱼岛 P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（APBD），当轮船航行到距钓鱼岛 20km 的 A 处时，飞机在 B 处测得轮船的俯角是 45；当轮船航行到 C 处时，飞机在轮船正上方的 E 处，此时EC=5km轮船到达钓鱼岛 P 时，测得 D 处的飞机的仰角为 30试求飞机的飞行距离 BD（
2、结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684分析：作 AFBD，PGBD，在 RtABF 和PDG 中分别求出 BF、GD 的值，继而可求得BD=BF+FG+DC 的值解答：解：作 AFBD，PGBD，垂足分别为 F、G，由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，在 RtAFB 中，B=45，则BAF=45，BF=AF=5，APBD，D=DPH=30，在 RtPGD 中，tanD=，即 tan30=，GD=5，则 BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）答：飞机的飞行距离 BD 为 25+5km点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关
3、键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般（2013衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到 C 处时的线长为 20米，此时小方正好站在 A 处，并测得CBD=60，牵引底端 B 离地面 1.5 米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684分析：易得 DE=AB，利用 BC 长和 60的正弦值即可求得 CD 长，加上 DE 长就是此时风筝离地面的高度解答：解：依题意得，CDB=BAE=ABD=AED=90，四
4、边形 ABDE 是矩形，（1 分）DE=AB=1.5，（2 分）在 RtBCD 中，（3 分）又BC=20，CBD=60，CD=BCsin60=20=10，（4 分）CE=10+1.5，（5 分）即此时风筝离地面的高度为（10+1.5）米点评：考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法（2013，娄底）2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度.（精确到0.1 米，参考数据：21.
5、41，31.73）（2013湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以 30 海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在 A 处时，测得钓鱼岛 C 在该船的北偏东 30方向上，航行半小时后，该船到达点 B处，发现此时钓鱼岛 C 与该船距离最短（1）请在图中作出该船在点 B 处的位置；（2）求钓鱼岛 C 到 B 处距离（结果保留根号）京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：（1）根据垂线段最短知 B 点应是过 C 点所
6、作南北方向的垂线的垂足（2）在 RtABC 中，利用三角函数的知识求 BC 即可解答：解：（1）如图：（2）在 RtABC 中AB=300.5=15（海里），BC=ABtan30=15=5（海里）答：钓鱼岛 C 到 B 处距离为 5海里点评：考查了解直角三角形的应用方向角问题，此题为基础题，涉及用手中工具解题，如尺规，计算器等（2013益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0 米，PAB=38.5，PBA=26.5请帮助小张求出小桥 PD 的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B
7、 为参照点，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，tan38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50）京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班考点：解直角三角形的应用专题：应用题分析：设 PD=x 米，在 RtPAD 中表示出 AD，在 RtPDB 中表示出 BD，再由 AB=80.0 米，可得出方程，解出即可得出 PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置解答：解：设 PD=x 米，PDAB，ADP=BDP=90，在 RtPA
8、D 中，tanPAD=，AD=x，在 RtPBD 中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0 米，x+2x=80.0，解得：x24.6，即 PD24.6 米，DB=2x=49.2答：小桥 PD 的长度约为 24.6 米，位于 AB 之间距 B 点约 49.2 米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般（2013巴中）2013 年 4 月 20 日，四川雅安发生里氏 7.0 级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点 A、B相距 4 米，探测线与地面的夹角
9、分别为 30和 60，如图所示，试确定生命所在点 C 的深度（结果精确到 0.1 米，参考数据1.41，1.73）考点：解直角三角形的应用245761 分析：过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D，则CAD=30，CBD=60，在 RtBDC 中，CD=BD，在 RtADC 中，AD=CD，然后根据 AB=ADBD=4，即可得到 CD的方程，解方程即可解答：解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D探测线与地面的夹角为 30和 60，CAD=30，CBD=60，在 RtBDC 中，tan60=，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设
10、初三数学辅导补习班BD=，在 RtADC 中，tan30=，AD=，AB=ADBD=4，=4，CD=23.5（米）答：生命所在点 C 的深度大约为 3.5 米点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力（2013，成都）如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角BAC=30，则该山坡的高 BC 的长为_100_米.（2013达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E、F 为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从 A 点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距
11、离 CF=20 3公里，在 A 点测得钓鱼岛最西端 F在最东端 E 的东北方向（C、F、E 在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（21.41，31.73，结果精确到 0.1）解析：由题知，在 RtACF 中，ACF=90,A=30，CF=203公里.京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班cot30=320AC.解得，AC=60（公里）.(2 分)又E 在 B 的东北方向，且ACF=90E=CBE=45，CE=CB.(4 分)又CB=AC-AB=60-22=38(公里)，CE=38 公里.(5 分)EF=CE-CF=38-20
12、33.4（公里）(6 分)答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 公里.(7 分)（2013广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米，高 8 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤（横截面为梯形 ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后，背水坡 EF 的坡比i=1：2（1）求加固后坝底增加的宽度 AF 的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684专题：应用题分析：（1）分别过 E、D 作 AB 的垂线，设垂足为 G、H在 RtEFG 中，根据坡面的铅直高度
13、（即坝高）及坡比，即可求出 FG 的长，同理可在 RtADH 中求出 AH 的长；由 AF=FG+GHAH 求出 AF 的长（2）已知了梯形 AFED 的上下底和高，易求得其面积梯形 AFED 的面积乘以坝长即为所需的土石的体积解答：解：（1）分别过点 E、D 作 EGAB、DHAB 交 AB 于 G、H，四边形 ABCD 是梯形，且 ABCD，DH 平行且等于 EG，故四边形 EGHD 是矩形，ED=GH，在 RtADH 中，AH=DHtanDAH=8tan45=8（米），在 RtFGE 中，i=1：2=，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设
14、初三数学辅导补习班FG=2EG=16（米），AF=FG+GHAH=16+28=10（米）；（2）加宽部分的体积 V=S梯形 AFED坝长=（2+10）8400=19200（立方米）答：（1）加固后坝底增加的宽度 AF 为 10 米；（2）完成这项工程需要土石 19200 立方米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般（2013乐山）如图 11,山顶有一铁塔 AB 的高度为 20 米，为测量山的高度 BC,在山脚点 D 处测得塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别为 60和 45，求山的高度 BC.（结果保留根号
15、）（2013 凉山州）小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在 A 处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角ACE=第二步：小红量得测点 D 处到树底部 B 的水平距离 BD=a第三步：量出测角仪的高度 CD=b之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班ab第一次15.711.3129.5第二
16、次15.831.3330.8第三次15.891.3229.7平均值15.811.3230（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度 AB（参考数据：，结果保留 3 个有效数字）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；条形统计图；折线统计图分析：（1）根据图中的信息将数据填入表格，并求平均值即可；（2）过 C 作 CEAB 于 E，可知四边形 EBDC 是矩形，可得 CE=BD=a，BE=CD=b，在RtAEC 中，根据=30，解直角三角形求出 AE 的长度，继而可求得树 AB 的高度，即风筝的高度解答：解：（1）填写表格如图：ab第一次15.711.3129.5第二次15.831.3330
17、.8第三次15.891.3229.7平均值15.811.3230（2）过 C 作 CEAB 于 E，则四边形 EBDC 是矩形，CE=BD=a，BE=CD=b，在 RtAEC 中，=30，a=15.81，AE=BEtan30=15.819.128（米），则 AB=AE+EB=9.128+1.32=10.44810.4（米）答：风筝的高度 AB 为 10.4 米京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及了条形统计图和折线统计图的知识，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，锻炼了同学们读
18、图的能力（2013泸州）如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为30，在 A、C 之间选择一点 B（A、B、C 三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶 D 的仰角为75，且 AB 间距离为 40m.（1）求点 B 到 AD 的距离；（2）求塔高 CD（结果用根号表示）。（2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长 600 米，高 10 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固。经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比。求加固后坝底增
19、加的宽度 AF；（结果保留根号）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果取）来源:学科网（2013绵阳）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角为 60，又从 A 点测得 D 点的俯角为 30，若旗杆底总 G为 BC 的中点，则矮建筑物的高 CD 为（）A20 米 B10 3米 C15 3米 D5 6米3:1i732.13 ABCDEFi=1:345GDCBA9 题图京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班（2013内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一
20、棵树 DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60 已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC的坡度为 1：（即 AB：BC=1：），且 B、C、E 三点在同一条直线上请根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：过点 A 作 AFDE 于 F，可得四边形 ABEF 为矩形，设 DE=x，在 RtDCE 和 RtABC中分别表示出 CE，BC 的长度，求出 DF 的长度，然后在 RtADF 中表示出 AF 的长度，
21、根据 AF=BE，代入解方程求出 x 的值即可解答：解：如图，过点 A 作 AFDE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形，AF=BE，EF=AB=3，设 DE=x，在 RtCDE 中，CE=x，在 RtABC 中，=，AB=3，BC=3，在 RtAFD 中，DF=DEEF=x3，AF=（x3），AF=BE=BC+CE，（x3）=3+x，解得 x=9答：树高为 9 米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班（2013遂宁）钓
22、鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向，B 的北偏东 15方向有一我国渔政执法船 C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：首先过点 B 作 BDAC 于 D，由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，则可求得ACD 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案解答：解：过点 B 作 BDA
23、C 于 D由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，ACB=180BACABC=30，在 RtABD 中，BD=ABsinBAD=20=10（海里），在 RtBCD 中，BC=20（海里）答：此时船 C 与船 B 的距离是 20海里点评：此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键（2013 宜宾）宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一（如图）喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代（一说是唐代韦皋所建），后毁于兵火，乾隆乙酉年（1765 年）重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一小伟决定
24、用自己所学习的知识测量大观楼的高度 如图，他利用测角仪站在 B 处测得大观楼最高点 P的仰角为 45，又前进了 12 米到达 A 处，在 A 处测得 P 的仰角为 60请你帮助小伟算算京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班大观楼的高度（测角仪高度忽略不计，1.7，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：应用题分析：设大观楼的高 OP=x，在 RtPOB 中表示出 OB，在 RtPOA 中表示出 OA，再由AB=12 米，可得出方程，解出即可得出答案解答：解：设大观楼的高 OP=x，在 RtPOB 中，OBP=4
25、5，则 OB=OP=x，在 RtPOA 中，OAP=60，则 OA=OPcotOAP=x，由题意得，AB=OBOA=12m，即 xx=12，解得：x=18+6，故大观楼的高度 OP=18+628 米答：大观楼的高度约为 28 米点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用（2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围 12 海里范围内均属于禁区,不允许它国船支进入.如图 7，今有一中国海监船在位于钓鱼岛 A 正南方向距岛 60 海里的 B 处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向 52 海里的 C 处有一艘日本渔船，正以 9
26、节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西 30的方向以 12 节的速度前往拦截，其间多次发出警告，2 小时后海监船到达 D 处，与此同时日本渔船到达 E处，此时海监船再次发出严重警告.（1）当日本渔船收到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛 12 海里禁区？（4 分）（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度、原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛 12 海里，且位于线段 AC 上的F 处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达 F 处？（5 分）（注注：中国海监船的最大航速为 18 节，1 节=1 海里/时；参考数据：sin2
27、6.30.44，sin20.50.35，sin18.10.31，21.4图 7京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班）(1)过点 E 作A 的切线 EG，连结 AG，AE=AC-CE=52-18=34，AG=12，2 分sinGEA=0.35，3 分转向的角度至少应为北偏东 69.5 度；4 分(2)过点 D 作 DHAB 于 H，由题意知，BD=24，DH=12，BH=12，5 分易求四边形 FDHA 为矩形，FD=AH=60-12，7 分 海监船到达 F 处的时间为（60-12）18 2.2 时，8 分日本渔船到达 F 处的
28、时间为（34-12）92.4 时，海监船比日本船先到达 F 处.9 分（2013自贡）在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1km 的码头 MN（如图），在码头西端 M的正西 19.5km 处有一观察站 A 某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西 30，且与 A 相距 40km 的 B 处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏东 60，且与 A相距km 的 C 处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由考点：解直角三角形的应用-方向角问题3718684分析：（1）根据1=30，2
29、=60，可知ABC 为直角三角形根据勾股定理解答（2）延长 BC 交 l 于 T，比较 AT 与 AM、AN 的大小即可得出结论解答：解：（1）1=30，2=60，ABC 为直角三角形AB=40km，AC=km，BC=16（km）1 小时 20 分钟=80 分钟，1 小时=60 分钟，60=12（千米/小时）（2）作线段 BRx 轴于 R，作线段 CSx 轴于 S，延长 BC 交 l 于 T2=60，4=9060=30AC=8（km），CS=8sin30=4（km）AS=8cos30=8=12（km）31.7AGAE333京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业
30、对初中学生开设初三数学辅导补习班又1=30，3=9030=60AB=40km，BR=40sin60=20（km）AR=40cos60=40=20（km）易得，STCRTB，所以=，解得：ST=8（km）所以 AT=12+8=20（km）又因为 AM=19.5km，MN 长为 1km，AN=20.5km，19.5AT20.5故轮船能够正好行至码头 MN 靠岸点评：此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键（2013 鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由 45降为30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米
31、，点 D、B、C 在同一水平地面上求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：在 RtABC 中，根据 AB=5 米，ABC=45，求出 AC 的长度，然后在 RtADC 中，解直角三角形求 AD 的长度，用 ADAB 即可求出滑板加长的长度解答：解：在 RtABC 中，AB=5，ABC=45，AC=ABsin45=5=，京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三数学辅导补习班在 RtADC 中，ADC=30，AD=5=51.414=7.07，A
32、DAB=7.075=2.07（米）答：改善后滑滑板会加长 2.07 米点评：本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键（2013大连）如图，为了测量河的宽度，测量人员在高 21的建筑物 CD的顶端处测得河岸处的俯角 45，测得河对岸处的俯角为 30（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度 AB 约为 m（精确到 0.1）。（参考数据：1.41，1.73）（2013沈阳）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形 CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点 B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点 G
33、处（点 G 在 FE 的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离 BC=5 米，建筑物底部宽 FC=7 米，风筝所在点 G 与建筑物顶点 D 及风筝线在手中的点 A 在同一条直线上，点 A 据地面的高度 AB=1.4 米，风筝线与水平线夹角为 37。（1）求风筝据地面的告诉 GF；（2）在建筑物后面有长 5 米的梯子 MN，梯脚 M 在距离 3 米处固定摆放，通过计算说明；若兵兵充分利用梯子和一根 5 米长的竹 竿能否触到挂在树上的风筝？（2013铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线 l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即 tan 的值测量员在山坡 P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖 C 的仰角为 37，塔底 B 的仰角为 26.6已知塔高 BC=80 米，塔所在的山高京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教专业对初中学生开设初三
