1、一 元 二 次 方 程一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： 难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。针对练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关
2、于x的一元一次方程。3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知关于x
3、的方程的一个解与方程的解相同。求k的值； 方程的另一个解。3、已知m是方程的一个根，则代数式 。4、已知是的根，则 。5、方程的一个根为（ ）A B 1 C D 6、若 。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。针对练习：下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y
4、的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.针对练习：1、下列说法中：方程的二根为，则 . 方程可变形为正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以与为根的一元二次方程是（）A BC D3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、 试用配方
5、法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、 已知为实数，求的值。例4、 分解因式：针对练习：1、试用配方法说明的值恒小于0。2、已知，则 .3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 例2、在实数范围内分解因式：（1）； （2）. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例1、 已知，
6、求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两
7、个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .4、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解. 5、当取何值时，方程的根与均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,只有一个根，则m为 。 例2、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、
8、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全
9、部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可
10、能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知，求 变式：若，则的值为 。例5、已知是方程的两个根，那么 .针对练习：1、解方程组2已知，求的值。3、已知是方程的两实数根，求的值。
